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1、 计算梁在多个载荷作用下的变形，计算梁在多个载荷作用下的变形，有时有时只关心个别截面的挠度和转角，只关心个别截面的挠度和转角，这时采用叠加法是很方便的。这时采用叠加法是很方便的。7.4 7.4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移F1F2F1F2车床主轴车床主轴车床主轴车床主轴wC1F1F2CwC2F F1 1单独作用单独作用单独作用单独作用受力图受力图受力图受力图F F1 1、F F2 2共同作用共同作用共同作用共同作用F F2 2单独作用单独作用单独作用单独作用 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移 一、条件一、条件一、条件一、条件 1. 1. 材料服从胡克定律；材料服从胡克定律；材料服从
2、胡克定律；材料服从胡克定律； （变形与力成线性关系）（变形与力成线性关系）（变形与力成线性关系）（变形与力成线性关系） 2. 2. 小变形。小变形。小变形。小变形。 二、二、二、二、 原理原理原理原理 在上述条件下，在上述条件下，在上述条件下，在上述条件下，M = M = MMi i , , 而而而而 EIwEIwi i= M= Mi i 所以所以所以所以 EIw=M= EIw=M= MMi i =EI=EI w wi i w = w = w wi i叠加原理叠加原理 在材料服从胡克定律和小变形的条件在材料服从胡克定律和小变形的条件在材料服从胡克定律和小变形的条件在材料服从胡克定律和小变形的条
3、件下，几个力共同作用引起梁的变形下，几个力共同作用引起梁的变形下，几个力共同作用引起梁的变形下，几个力共同作用引起梁的变形 ，等于，等于，等于，等于 这几个力分别单独作用时引起梁的变形的这几个力分别单独作用时引起梁的变形的这几个力分别单独作用时引起梁的变形的这几个力分别单独作用时引起梁的变形的 代数和。代数和。代数和。代数和。 三、方法三、方法三、方法三、方法 1. 1.分解分解分解分解每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型； 2. 2.分别计算分别计算分别计算分别计算查表；查表；查表；查表； 3. 3.叠加叠加叠加叠加。简单模型简单模型- 悬臂
4、梁悬臂梁AlFAlMeAlq简单模型简单模型-简支梁简支梁BACqBACMeBACF例题例题1已知：已知：q , a , EI = 常数常数求：求： A, wC解：解： 1. 分解分解qaBACaaq2. 分别计算分别计算qaBACaaqwCqaBACaawCFBACaaqwCqqaBACaaqwCqaBACaawCFBACaaqwCqAq3. 叠加叠加 wC = wCF+ wCq =AAF例题例题2已知：已知：EI=常数常数求求: wC 分析：分析：分析：分析：w wC C的组成的组成的组成的组成F F单独作用：单独作用：单独作用：单独作用：MMe e单独作用：单独作用：单独作用：单独作用：
5、 w wBFBF + + B Bl/ l/2 2 （ ）w wCMCM （ ）CFlABFCABFwBFBCFlABwCM例题例题2 结果：结果：结果：结果：CFlABFCABFwBFBCFlABwCMBA2aqa例题例题3分析：分析：AB段段B截面转角引起截面转角引起 B a （）EI=常数，常数，求求wC 注意：引起注意：引起 B的有两项的有两项: q 和和qa2，他们的转向不同，他们的转向不同，叠加时注意正负号。叠加时注意正负号。qaBACa2aqqa2qaBCaFBvCF结果结果 wC= wCF - B a BC段弹性弯曲引起段弹性弯曲引起 wCF()CFB例例 变截面变截面悬臂梁悬臂
6、梁AC 如图，如图，EI=常数常数wAPBC段段B截面向下位移截面向下位移wB ,转角引起转角引起B a求求: A , wA AB段弹性弯曲引起段弹性弯曲引起 wAF分析：分析： 分为分为悬臂梁悬臂梁AB和和BCBAaFCEI2EIaABFEIBFBAaC2EIawBwBB aCFB例例wAP求求: A , wA BAaFCEI2EIaABFEIBFBAaC2EIavBwBB a( )( )怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 C 和和 wC ?例题例题4CAB CwCq 自己练习自己练习CAB CwCqABqABqABq怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定w wC C
7、 ? ?例题例题5CABwCqbdF=qdxdxx7.5 梁的刚度条件梁的刚度条件梁的设计：梁的设计：梁的设计：梁的设计：利用强度条件设计，利用刚度条件校核。利用强度条件设计，利用刚度条件校核。利用强度条件设计，利用刚度条件校核。利用强度条件设计，利用刚度条件校核。刚度条件：刚度条件：刚度条件：刚度条件： max 精密机床主轴精密机床主轴精密机床主轴精密机床主轴 齿轮齿轮齿轮齿轮 ( 0.001( 0.0010.005) rad 0.005) rad 土建土建土建土建吊车梁吊车梁吊车梁吊车梁 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 本节留作阅读作业本节留作阅读作业7.6 简单静不定梁简单静不定梁
8、静不定静不定静不定静不定静定静定静定静定简单静不定梁简单静不定梁BACAFB一、静不定次数的判断一、静不定次数的判断 1. 根据定义根据定义 全部未知力数目全部未知力数目全部未知力数目全部未知力数目 全部独立平衡方程数目全部独立平衡方程数目全部独立平衡方程数目全部独立平衡方程数目 2.根据多余约束根据多余约束 静不定次数静不定次数静不定次数静不定次数 = = 多余约束的数目多余约束的数目多余约束的数目多余约束的数目4 43 31 15 53 32 26 63 33 3判断静不定次数判断静不定次数AFBFBFAYFAXMAAFBAFBAFBlABlABlFFB静不定问题静不定问题静不定问题静不定
9、问题静定基静定基解除所有外力和多余约束解除所有外力和多余约束相当系统相当系统静定基加全部载荷和多余静定基加全部载荷和多余未知力未知力 解静不定问题转化为解静不定问题转化为解静不定问题转化为解静不定问题转化为 在静定结构上求解。在静定结构上求解。在静定结构上求解。在静定结构上求解。二、在相当系统上解静不定问题二、在相当系统上解静不定问题二、在相当系统上解静不定问题二、在相当系统上解静不定问题1. 1.相当系统的建立相当系统的建立相当系统的建立相当系统的建立 相当系统的特点：相当系统的特点：相当系统的特点：相当系统的特点： 静定；静定；静定；静定； 含有多余未知力；含有多余未知力；含有多余未知力；
10、含有多余未知力； 载荷、变形与原结构相同。载荷、变形与原结构相同。载荷、变形与原结构相同。载荷、变形与原结构相同。 建立相当系统的步骤：建立相当系统的步骤：建立相当系统的步骤：建立相当系统的步骤： 判断静不定次数；判断静不定次数；判断静不定次数；判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余未知力；解除多余约束，代之以多余未知力；解除多余约束，代之以多余未知力；解除多余约束，代之以多余未知力； 其余照原问题画。其余照原问题画。其余照原问题画。其余照原问题画。 2. 2.如何在相当系统上解静不定问题如何在相当系统上解静不定问题如何在相当系统上解静不定问题如何在相当系统上解静不定问题 第一步第一步第一
11、步第一步 解出多余未知力；解出多余未知力；解出多余未知力；解出多余未知力； 建立变形协调方程建立变形协调方程建立变形协调方程建立变形协调方程（几何方程）；（几何方程）；（几何方程）；（几何方程）； 方法：相当系统多余未知力作用点的位移，方法：相当系统多余未知力作用点的位移，方法：相当系统多余未知力作用点的位移，方法：相当系统多余未知力作用点的位移， 等于静不定结对应多余约束处的实际位移等于静不定结对应多余约束处的实际位移等于静不定结对应多余约束处的实际位移等于静不定结对应多余约束处的实际位移 建立物理方程建立物理方程建立物理方程建立物理方程（变形与力的关系）；（变形与力的关系）；（变形与力的关
12、系）；（变形与力的关系）； 解补充方程解补充方程解补充方程解补充方程（物理方程代入几何方程）。（物理方程代入几何方程）。（物理方程代入几何方程）。（物理方程代入几何方程）。 第二步第二步第二步第二步 解其余问题。解其余问题。解其余问题。解其余问题。 （在相当系统上进行）（在相当系统上进行）（在相当系统上进行）（在相当系统上进行）例题例题解：解：解：解：1. 1. 判断判断判断判断 一次静不定一次静不定一次静不定一次静不定 2. 2. 建立相当系统建立相当系统建立相当系统建立相当系统 3. 3. 几何方程几何方程几何方程几何方程 w wB B = = w wB B( (q q)+)+w wB B
13、( (F FB B) = 0) = 0 4. 4. 物理方程物理方程物理方程物理方程M 已知：已知：已知：已知：EI EI = = 常数常数常数常数 求：求：求：求：作作作作M M 图图图图5. 5. 补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解6. 6.作作作作M M 图图图图AlqBAlqBxyFB例题例题解：解：解：解：1. 1. 判断判断判断判断 一次一次一次一次超静超静定定定定 2. 2. 建立相当系统建立相当系统建立相当系统建立相当系统 3. 3. 几何方程几何方程几何方程几何方程 w wB B = = w wBqBq+ +w wBFBF = = l l 4. 4. 物
14、理方程物理方程物理方程物理方程已知：已知：已知：已知：EI ,EAEI ,EA , , I I= =Al Al 2 2/ /3 3 求：杆的轴力求：杆的轴力求：杆的轴力求：杆的轴力, ,作梁的作梁的作梁的作梁的M M 图图图图llABCqBClqABEIEAFNFN例题例题w wB B = = w wBqBq+ +w wBFBF = = l l M 5. 5. 补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解6. 6.作作作作M M 图图图图llABCqBClqABEIEAFNFN讨论讨论简化计算的一些方法简化计算的一些方法 1. 小变形概念的运用；小变形概念的运用； 2. 对称性的利
15、用；对称性的利用； 3. 相当系统的选择。相当系统的选择。 1.应用应用小变形概念小变形概念可以推知某些未知量：可以推知某些未知量：FXAFXB= 0AlqBFYAFXAMAFYBFXB 2.应用应用对称性对称性分析可以推知某些未知量：分析可以推知某些未知量：FXA= FXB= 0 ,FYA= FYB= q l / 2 ,MA=MBAlqBFYAFXAMAFYBFXBMBAlqBAlqB3.相当系统的选取与变形协调条件的建立相当系统的选取与变形协调条件的建立(1)FyBFxBMBFXB= 0 三次静不定三次静不定相当系统的选取与变形协调条件的建立相当系统的选取与变形协调条件的建立(2)AlqB
16、BACqlMAMBMA=MBF FN M M 对称对称对称对称 内力内力内力内力F FS S 反对称反对称反对称反对称AqCFSMCCBqFSMCw w 对称对称对称对称 位移位移位移位移 反对称反对称反对称反对称AlqB 利用对称性利用对称性利用对称性利用对称性 再利用对称性再利用对称性再利用对称性再利用对称性FS =0=0 C = 0AlqBAqCFSMCCBqFSMC力的条件力的条件力的条件力的条件位移条件位移条件位移条件位移条件( ( ( (力的条件力的条件力的条件力的条件) ) ) )（位移条件）（位移条件）（位移条件）（位移条件）对称问题对称问题（对称面反对称量为零）（对称面反对称
17、量为零）利用对称性建立相当系统利用对称性建立相当系统(3)对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷 对称问题对称问题对称问题对称问题对称面上的内力和变形应满足的条件：对称面上的内力和变形应满足的条件：对称面上的内力和变形应满足的条件：对称面上的内力和变形应满足的条件： 对称性要求；对称性要求；对称性要求；对称性要求； 作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。 F FS S = 0 ; = 0 ; = 0= 0 对称面上反对称量为零对称面上反对称量为零对称面上反对称量为零对称面上反对称量为零AlqBAqCMCCBqM
18、C思考思考反对称问题：反对称问题： 结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。 如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？ABMe对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零MC = 0wC = 0思考思考反对称问题：反对称问题： 结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。 如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？AMe/2对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零MC = 0wC = 0FS 7 - 8（b），），7-12，7-21， 7-23 作作 业业
