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1、3.6 向量空间向量空间一、向量空间的概念一、向量空间的概念二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换, 过渡矩阵过渡矩阵一、向量空间的概念一、向量空间的概念定义定义3.8设设V为为n维向量的集合维向量的集合,若若V非空且对加非空且对加法及数乘两种运算封闭法及数乘两种运算封闭,则称集合则称集合V为向量空间为向量空间说明说明: 1. 集合集合V 对加法及数乘两种运算封闭是指对加法及数乘两种运算封闭是指:1) 若若 , V, 则则 + V .2) 若若 V, k R, 则则 k V .2n 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作Rn
2、 .例例1 1 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax= 的的解集解集 S= x| Ax= 是是一个向量空间一个向量空间.例例2 2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b 的的解集解集 S= x| Ax=b 不是不是一个向量空间一个向量空间.二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数定义定义3.9 设设 V 是向量空间是向量空间, 若若V 中有中有 r 个向量个向量 1, 2, , r 满足满足:(1) 1, 2, , r 线性无线性无关关,(2) V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1, 2, , r 线线性表示性表示,则向量组则向量组 1, 2, , r 就称为向量空间就称为向量空间V的一的一个个基基, r 称为向量空间称为向量空间V的的维数维数, 并称并称V为为r 维向量空间维向量空间
