《数字电子技术基础：第二章 逻辑代数基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字电子技术基础：第二章 逻辑代数基础（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础p 介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法p 内容提要：内容提要： 逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理；逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理； 逻辑函数及其表示方法；逻辑函数及其表示方法； 化简逻辑函数。化简逻辑函数。1第二章第二章 复复习要点要点l基本概念：与、或、非、门电路、卡诺图、约基本概念：与、或、非、门电路、卡诺图、约束项、任意项、无关项束项、任意项、无关项l基本方法：公式化简法、卡诺图化简法基本方法：公式化简法、卡诺图化简法l（与或式）（与或式） 与非与非式与非与非式l（与或式）（与或式） 或非或非式或非或非
2、式l两套符号（国际、国标）两套符号（国际、国标）2什么是逻辑？什么是逻辑？请听一个故事请听一个故事.什么是逻辑？什么是逻辑？两工自烟囱出，一净一脏，谁会去洗澡呢？ 事物间的因果关系事物间的因果关系32.1 2.1 2.1 2.1 概述概述概述概述p 二值逻辑：二值逻辑： 用用1 1位二进制位二进制数码数码的的0 0和和1 1表示一个事物的两种不同逻表示一个事物的两种不同逻辑状态，如：是和非、真和伪、有和无、好和坏等；辑状态，如：是和非、真和伪、有和无、好和坏等；只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑二值逻辑。p 逻辑代数（布尔代数）：逻辑代数（布尔代数）：
3、 进行逻辑运算的数学方法；进行逻辑运算的数学方法； 英国数学家乔治英国数学家乔治. .布尔首先提出；布尔首先提出； 广泛用于广泛用于开关电路开关电路和和数字逻辑电路数字逻辑电路的分析与设计的分析与设计 也称为也称为开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数p 逻辑变量：逻辑变量： 逻辑代数中用字母表示的变量；逻辑代数中用字母表示的变量；4乔治乔治布尔布尔 George BooleGeorge Boole，18151815年年1111月月18641864年，爱尔兰数学家，哲学家。乔治年，爱尔兰数学家，哲学家。乔治布布尔是一个皮匠的儿子，生于英格兰的林肯。尔是一个皮匠的儿子，生于英格兰的林肯。由于家境贫
4、寒，考虑过以牧师为业，但最终由于家境贫寒，考虑过以牧师为业，但最终还是决定从教，而且不久就开办了自己的学还是决定从教，而且不久就开办了自己的学校。校。 18481848年年，布尔出版了，布尔出版了The Mathematical The Mathematical Analysis of LogicAnalysis of Logic。18491849年年。他被任命位于。他被任命位于爱尔兰爱尔兰科克科克的皇后学的皇后学院（现院（现考克爱尔兰国立大学考克爱尔兰国立大学或或UCCUCC）的数学）的数学教授。教授。18541854年年，他出版了，他出版了The Laws of The Laws of T
5、houghtThought，这是他最著名的著作。，这是他最著名的著作。 18641864年年，布尔死于，布尔死于肺炎肺炎，肺炎是他在，肺炎是他在暴风雨暴风雨天气中尽管已经湿淋淋了仍坚持上课引起的。天气中尽管已经湿淋淋了仍坚持上课引起的。n乔治乔治布尔布尔19世纪最伟大的数学家世纪最伟大的数学家52.2 2.2 逻辑代数的三种基本运算：与、或、非逻辑代数的三种基本运算：与、或、非1.1.与运算与运算与逻辑关系：与逻辑关系：决定事件的全部条件都满决定事件的全部条件都满足时，事件才会发生足时，事件才会发生（正）逻辑赋值（正）逻辑赋值/ /状态赋值状态赋值条件：条件：1(1(开关闭合开关闭合) )；0
6、(0(开关断开开关断开) )；结果：结果：1(1(灯亮灯亮) )；0(0(不亮不亮) )； A B A B Y Y 0 00 0 0 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 1 1Y=AB =AB =A and B = A&B真值表真值表-true table矩形轮矩形轮廓符号廓符号特定外特定外形符号形符号图形符号图形符号6782.2.或运算或运算或逻辑关系：或逻辑关系：决定事件的全部条决定事件的全部条件只要有一个满足时，事件就会件只要有一个满足时，事件就会发生发生 A B A B Y Y 0 00 0 0 0 0 10 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 1 1
7、 1Y = A+B = A or B矩形轮矩形轮廓符号廓符号特定外特定外形符号形符号9103 3. .非运算非运算非逻辑关系：非逻辑关系：p 只要条件具备了，结果便不会发只要条件具备了，结果便不会发生；生；p 而条件不具备时，结果一定发生。而条件不具备时，结果一定发生。A AY Y0 0 1 11 10 0矩形轮矩形轮廓符号廓符号特定外特定外形符号形符号11某公司保险柜有两把不同的锁，钥匙分别由A和B两人保管，必须由两人同时开锁才可将保险柜打开，用于描述其逻辑关系的运算称为：124.4.一些常用的复合逻辑运算一些常用的复合逻辑运算p 复合逻辑运算：复合逻辑运算：用两个以上基本运算构成的逻辑运算
8、，用两个以上基本运算构成的逻辑运算， 包括包括与非与非、或非或非、与或非与或非、异或异或和和同或同或运算。运算。 A B A B Y Y 0 00 0 1 1 0 10 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 1 0 0 A B A B Y Y 0 00 0 1 1 0 10 1 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 0 0p 与非与非p 或非或非13A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0
9、1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0p 与或非与或非14A B0 0010 1101 0101 101 p 异或异或p 同或同或 151617182.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 2.3.1 基本公式基本公式返返 回回序号序号公公 式式序号序号公公 式式求反求反10 1= 0; 0= 1变量与变量与常量常量10A = 0111 + A= 121A = A120 + A = A重叠律重叠律3AA = A13A + A = A互补律互补律4AA= 014A + A= 1交换律交换律5
10、AB = BA15A +B = B + A结合律结合律6A (BC) = (AB) C16A + (B +C) = (A + B) + C分配律分配律7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B) (A +C)反演律反演律8(A B)= A+ B18(A+ B)= AB还原律还原律9(A)= A证明方法：证明方法：推演真值表19p真值表法证明公式（真值表法证明公式（1717）A B CBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0 0 0000000 0 1000100 1 0001000 1 1111111 0 0011111 0 1011111 1 0011
11、111 1 111111A + B C = (A +B)(A +C)pp 推演法证明公式（推演法证明公式（推演法证明公式（推演法证明公式（1717）202.3.2 2.3.2 若干常用公式若干常用公式序序 号号公公 式式21A + A B = A22A +AB = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B+AC + BC = AB + ACA B+AC + BCD = AB + AC26A (AB) = A B; A(AB) = A 2121: A + A B = A证明：证明：A + A B = A 1 + A B =A (1+B)=A 1=A解释：
12、解释：两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。因子，则该项是多余的，可以删去。证明：证明：A + AB = (A+A) ( A+B) = 1 ( A+B)= A+ B解释：解释：两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则该因子是多余的，可以消去。项的因子，则该因子是多余的，可以消去。22: A +AB = A + B2223: A B + A B = A证明：证明： A B + A B = A ( B+B)= A 1 = A解释：解释：两个乘积项相加时，若它们分别包含两个乘积项相加
13、时，若它们分别包含B和和B两个因子而其它因子相同，则两项定能合并，且可两个因子而其它因子相同，则两项定能合并，且可将将B和和B两个因子消去。两个因子消去。证明：证明： A ( A + B) = A A+ A B = A + A B = A ( 1+B ) = A解释：解释：变量变量A和包含和包含A的和相乘时，其结果等于的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。即可以将和消掉。24: A ( A+B ) = A 2325: A B+AC + BC = AB + AC证明：证明： A B+AC + BC = AB + AC + (A +A) BC = AB + AC + ABC + ABC = A
14、B(1+C) + AC (1+B) = AB + AC解释：解释：上式说明，若两个乘积项中分别包含上式说明，若两个乘积项中分别包含A和和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。2426: A (AB) = A B; A(AB) = A 证明：证明： A (AB) = A (A +B) = A A +A B= A B解释：解释：上式说明，当上式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则为乘积项的因子时，则A这个因子可以消去
15、。这个因子可以消去。证明：证明： A (AB) = A (A +B) = A A +A B= A(1+B) = A 解释：解释：上式说明，当上式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，其结果就等于为乘积项的因子时，其结果就等于A。25p 应用举例应用举例u式式(17)(17)： A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)u德德.摩根定理：摩根定理：2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理代入定理定理：在任何一个包含变量定理：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，
16、若以另外一个的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。的位置，则等式仍然成立。262.4.2 反演定理反演定理应用应用应用应用: : 求已知逻辑式的反逻辑式求已知逻辑式的反逻辑式Y=A(B+C)+CDY=(A+BC)(C+D) =AC+AD +BCC +BCD = AC+AD + BCD p 优先次序：先括号、然后乘、最后加优先次序：先括号、然后乘、最后加p 不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变u 应用举例应用举例规则规则规则规则: :272.4.3 2.4.3 对偶定理对偶定理例如：例如： 证明式（证明式（1717）
17、A+BC=(A+B)(A+C) A+BC 的对偶式：的对偶式：A(B+C) (A+B)(A+C) 的对偶式：的对偶式： AB+AC 因为：因为： A(B+C)= AB+AC 所以：所以：式（式（1717）得证。）得证。 对偶式对偶式: :将逻辑式将逻辑式Y Y中的中的”+”+”换成换成”，”换成换成”+”+”，0 0换成换成1 1，1 1换成换成0 0，得到，得到Y Y的对偶式，记做的对偶式，记做Y YD D对偶定理对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。28序号序号公公 式式序号序号公公 式式求反求反10 1= 0; 0= 1变量与变量与常量常
18、量10A = 0111 + A= 121A = A120 + A = A重叠律重叠律3AA = A13A + A = A互补律互补律4AA= 014A + A= 1交换律交换律5AB = BA15A +B = B + A结合律结合律6A (BC) = (AB) C16A + (B +C) = (A + B) + C分配律分配律7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B) (A +C)反演律反演律8(A B)= A+ B18(A+ B)= AB还原律还原律9(A)= A1和和11，2和和12，3和和13，4和和14，5和和15，6和和16，7和和17，8和和18
19、互为对偶式互为对偶式292.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法举重裁判电路：举重裁判电路：设有三个裁判，设有三个裁判，分别用分别用A,B,C表示，其中表示，其中A是主裁是主裁判。规定至少有两个裁判确认判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用动员的试举才算成功。当用Y表示表示举重结果时，举重结果时，Y与与A,B,C的逻辑关的逻辑关系可表示为：系可表示为：Y=A(B+C)2.5.1 2.5.1 逻辑函数逻辑函数Y=F(Y=F(A,B,CA,B,C,),) - -若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值若以逻
20、辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入确定以后，输出的取值也随之而定。输入/ /输出之间是一种函输出之间是一种函数关系。数关系。举重裁判电路302.5.2 2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法p 常用的有五种：常用的有五种： 真值表；逻辑函数式；逻辑图；波形图；卡诺图；硬件描述真值表；逻辑函数式；逻辑图；波形图；卡诺图；硬件描述语言。语言。一、真值表一、真值表举重裁判的真值表：举重裁判的真值表：左侧是左侧是输入变量输入变量的所有取值组合，右侧是的所有取值组合，右侧是输出输出变量变量对应数值，即逻辑函数值。对应数值，即逻辑函数值。当输入变量个数
21、为当输入变量个数为n n时，真值表共有时，真值表共有2 2n n行。行。p 特点：特点： 描述逻辑问题方便；直观；但较繁琐。描述逻辑问题方便；直观；但较繁琐。A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 131二、逻辑函数式二、逻辑函数式 将输入将输入/ /输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/ /或或/ /非非的运算式的运算式表示就得到逻辑式。表示就得到逻辑式。举重裁判的函数式：举重裁判的函数式：Y=A(B+C)p 特点：特点：便于运算、化简；便于画逻辑图；便于运算、化简；便于画逻辑图； 不便从逻辑问题直接
22、得到。不便从逻辑问题直接得到。三、逻辑三、逻辑( (电路电路) )图图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。逻辑电路的实现相对应。举重裁判函数的逻辑图：举重裁判函数的逻辑图：p 特点：特点：便于用电路实现。便于用电路实现。Y=A(B+C)举重裁判电路32五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换四、波形图四、波形图真值表真值表函数式函数式逻辑图逻辑图波形图波形图 将输入变量每一种取值与对应将输入变量每一种取值与对应将输入变量每一种取值与对应将输入变量每一种取值与对应的输出值按时间顺序排列起来，就的输出值按时间顺序排列起来，就的
23、输出值按时间顺序排列起来，就的输出值按时间顺序排列起来，就得到波形图得到波形图得到波形图得到波形图。 主要用于描述时序逻辑。主要用于描述时序逻辑。主要用于描述时序逻辑。主要用于描述时序逻辑。举重裁判电路的波形图举重裁判电路的波形图举重裁判电路的波形图举重裁判电路的波形图33各种表示方法间的相互转换：p 真值表 逻辑函数式例例2.5.1：奇偶判别函数的真值表：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使使 ABC=1A=1,B=0,C=1使使 ABC=1A=1,B=1,C=0使使 ABC =1这三种取值的任何一种都使这三种取值的任何一种都使Y=1,所以所以 Y= ABC+ ABC+ ABC AB
24、 CY乘积项乘积项0000001001000111ABC10001011ABC1101ABC111034p 真值表 逻辑函数式1.找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。3.将取值为1的乘积项相加，得到Y的逻辑函数式。p 逻辑函数式 真值表1.把输入变量取值的所有组合逐一代入逻辑式中求出Y，列表，即可得到真值表例例 2.5.2p 真值表 逻辑函数式的一般方法351.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符号。2.按运算优先顺序将它们连接起来p 逻辑函数式 逻辑图p 逻辑函数式 逻辑图361. 从输入端到输出端逐级
25、写出每个图形符号的输出逻辑式p 逻辑图 逻辑函数式p 逻辑图 逻辑函数式37p 波形图 真值表1.从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值；2.将这些输入、输出取值对应列表。p 真值表 波形图1.将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列，画成以时间为横轴的波形；38p n变量逻辑函数中的最小项 m：包含n个因子m是乘积项n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次对于对于对于对于n n变量函数变量函数变量函数变量函数有有有有2 2n n个最小项个最小项个最小项个最小项“最小项之和 ”及“最大项之积”2.5.32.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式39最
26、小项举例：p 两变量两变量A, B的最小项的最小项p 三变量三变量A,B,C的最小项的最小项输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于的值等于140三变量最小项的编号：三变量最小项的编号：最小项取值对应编号A B C 十进制数0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m741最小项的性质p在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。p全体最小项之和为1 。p任何两个最小项之积为0 。p两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。p
27、相邻性：只有一个因子不同的两个最小项具有相邻性，例如：42逻辑函数的最小项之和形式：例：1.将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式（积之和）；2.再利用基本公式 将每个乘积项中缺少的因子补全。43逻辑函数的最小项之和形式：例2.5.6：44最大项：M是n个变量之和；n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A, B的最大项对于对于对于对于n n变量函数变量函数变量函数变量函数2 2n n个最大项个最大项个最大项个最大项p n变量逻辑函数中的最大项 M：45最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不
28、同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项和最小项之间存在如下关系： 46数字电子技术基础数字电子技术基础数字电子技术基础数字电子技术基础第五版第五版第五版第五版最大项的编号：最大项最大项取值取值对应对应编号编号A B CA B C十进制数十进制数1 1 11 1 1 7 7MM7 71 1 01 1 0 6 6MM6 61 0 11 0 1 5 5MM5 51 0 01 0 0 4 4MM4 40 1 10 1 1 3 3MM3 30 1 00 1 0 2 2MM2 20 0 10 0 1 1 1MM1 10 0 00 0 0 0 0MM0 0三、逻辑函数的最大项之积形式三、逻辑函数的最大项
29、之积形式根据反演律根据反演律,得：得：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1482.5.42.5.4 逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换p 变换为与非与非- -与非与非形式： 与非门p 与或式： 与门/或门p 与或非形式： p 或非-或非形式？ 492.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法p 化简的目的：化简的目的： 消去多余的乘积项；消去多余的乘积项； 消去每个乘积项中多余的因子；消去每个乘积项中多余的因子；p 常用的化简方法：常用的化简方法： 公式化简法；公式化简法； 卡诺图化简法；卡诺图
30、化简法； Q-MQ-M法（适用于编制计算机辅助分析程序）；法（适用于编制计算机辅助分析程序）；与或与或式使用最多，因此我们只讨论式使用最多，因此我们只讨论与或与或式的最简标准：式的最简标准：1.1.与项与项/ /乘积项数量最少；乘积项数量最少；2.2.每个乘积项里的因子不能再减少。每个乘积项里的因子不能再减少。502.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法逻辑函数式有多种形式，如逻辑函数式有多种形式，如与或与或式，式，或与或与式，式，与非与非式与非与非式等等。等等。 AB+AC 与或式与或式=(AB) (AC) 与非与与非与非式非式=(A+
31、B)(A+C) 或与式或与式=(A+B) + (A+C) 或非或非式或非或非式=(AB +AC) 与或非式与或非式先与门后或门先与门后或门用与非门实现电路用与非门实现电路先或门后与门先或门后与门用或非门实现电路用或非门实现电路用与或非门实现电路用与或非门实现电路51p 公式化简法的原理：反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子 p 常用方法： 并项法： 吸收法： 消项法： 消因子法： 配项法：灵活、交替运用上述方法！灵活、交替运用上述方法！52p 化简逻辑函数，例2.6.7：根据 A+AB=A，消去ABCD根据 A+AB=A+B，消去A(BC)中的(BC)因子根
32、据 A+AB=A，消去AC和ABDE根据 AB+AC+BC=AB+AC，消去CD531924 生于纽约生于纽约代表成果卡诺图代表成果卡诺图1952年年Yale大学博士大学博士.1952-1966，工作于贝尔实验室，工作于贝尔实验室，54年年提出著名的卡诺图提出著名的卡诺图1966-1993年工作于年工作于IBM Adjunct Prof. Polytechnic of NY until 1995E_mail: karnaugh_ n莫里斯莫里斯卡诺（卡诺（Maurice Karnaugh） 542.6.2 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法一、逻辑函数的卡诺图表示法
33、几何相邻几何相邻=逻辑相邻逻辑相邻实质：实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的全部最小项，将它们排列成矩阵，并使在逻辑上相邻的（只有一个变量不同）最小项在几何位置上也相邻地排列起来，就得到n变量最小项的卡诺图。 55二变量卡诺图 四变量的卡诺图p 表示最小项的卡诺图三变量的卡诺图几何相邻几何相邻=逻辑相邻逻辑相邻相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的56五变量的卡诺图在几何位置上，将卡诺图看成是上下、左右闭在几何位置上，将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形合的图形571.将函数表示为最小项之和的形式 。p 用卡诺图表示逻辑函数的方法，例2.6.8582.
34、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余的位置填入0。p 用卡诺图表示逻辑函数（续）59原理：原理：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。地反映出来。二、用卡诺图化简逻辑函数（卡诺图化简法或图形化简法）合并最小项的原则：合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对
35、因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子601011010010110100ABCD11111111如果有如果有2 2n n个最小项相邻并排列成一个矩形组，则它们可以合并个最小项相邻并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去为一项，并消去n n对因子。合并后的结果中只包含公共因子。对因子。合并后的结果中只包含公共因子。u 红框合并红框合并2 2个最小项，对应与项个最小项，对应与项ABC, 相对于最小项相对于最小项少少1(n)1(n)个变量个变量u 蓝（绿）框合并蓝（绿）框合并4 4个最小项，对个最小项，对应与项应与项AB（AC）少）少2(n)2(n)个变量。个变量。u 紫框合并紫框合
36、并8 8个最小项，对应与个最小项，对应与项项A少少3(n)3(n)个变量。个变量。几何相邻和逻辑相邻一致！几何相邻和逻辑相邻一致！1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8611011010010110100ABCD111111图中黑框对应与项图中黑框对应与项ABD。图中蓝框对应与项图中蓝框对应与项AD。图中红框对应与项图中红框对应与项BD。11图中紫框对应与项图中紫框对应与项 D。1. 在包含所有最小项的前提下，在包含所有最小项的前提下，“圈圈”越少越好越少越好化简的原则是：化简的原则是：2. 在每个圈中包含的最小项的
37、个数为在每个圈中包含的最小项的个数为2 2n n个的前提下，圈越大越好个的前提下，圈越大越好3. 每个圈至少要包含一个只被自己包含的最小项每个圈至少要包含一个只被自己包含的最小项62例2.6.10： 00 01 1 1 1 00011111101ABCl 卡诺图化简法的步骤卡诺图化简法的步骤1. 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数63 00 01 1 1 1 00011111101ABCl 卡诺图化简法的步骤（续）卡诺图化简法的步骤（续）2. 找出可以合并的最小项并用线圈出找出可以合并的最小项并用线圈出例2.6.10 ： 00 01 1 1 1 00011111101ABC64 00 0
38、1 1 1 1 00011111101ABCl 卡诺图化简法的步骤（续）卡诺图化简法的步骤（续）3. 选取化简后的乘积项选取化简后的乘积项例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC化简结果不化简结果不化简结果不化简结果不唯一唯一唯一唯一65 选取的乘积项应包含函数式中所有的最小项，选取的乘积项应包含函数式中所有的最小项，即覆即覆盖图中所有的盖图中所有的1 1。 乘积项的数目最少，乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少即圈成的矩形最少。 每个乘积项包含的因子最少，每个乘积项包含的因子最少，即圈成的矩形最大即圈成的矩形最大。p 选取乘积项的原则66l 卡诺图化简法的示例卡诺图化简法的示
39、例p 用卡诺图化简法将下式化为最简与或逻辑式00011110001001011001111111101111ABCDp 合并0 ？ 可重复使用可重复使用可重复使用可重复使用最小项最小项最小项最小项例2.6.11：672.7 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 2.7.1 无关项无关项无关项：无关项：约束项和任意项的总称。约束项和任意项的总称。1.1.约束项约束项: :恒等于恒等于0 0的最小项的最小项例如例如，用，用A,B,C分别表示一台电动机分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，的正转、反转和停止的命令，A=1表表示正转，示正转，B=1表示反转，
40、表示反转，C=1表示停表示停止。则，表示正转、反转和停止工作止。则，表示正转、反转和停止工作状态的逻辑函数可写成：状态的逻辑函数可写成：000,011,101,110,111000,011,101,110,111五个值不可能出现，五个值不可能出现，则称则称ABC,ABC,ABC,ABC,ABCABC,ABC,ABC,ABC,ABC为为约束项约束项；在真值表和卡诺图中都用；在真值表和卡诺图中都用X X表表示。示。Y Y1 1=ABC (=ABC (正转正转) )Y Y2 2=ABC (=ABC (反转反转) )Y Y3 3=ABC (=ABC (停止停止) )p 约束条件：ABCY1Y2Y300
41、0XXX001001010010011XXX100100101XXX110XXX111XXX682.2.任意项任意项: :是最小项是最小项, ,若使其值为若使其值为1 1时时, ,函数值可为函数值可为0 0也可为也可为1,1,并并不影响电路的功能不影响电路的功能, ,则称该为任意项。则称该为任意项。A AB BC CY Y1 1Y Y2 2Y Y3 3Y Y4 40 00 00 0X XX XX X1 10 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 00 01 11 1X XX XX X1 11 10 00 01 10 00 00 01 10 01 1X X
42、X XX X1 11 11 10 0X XX XX X1 11 11 11 1X XX XX X1 1令令Y Y4 4表示电路自动切断供电，表示电路自动切断供电，那么这时那么这时Y Y1 1,Y,Y2 2和和Y Y3 3等于等于1 1还还是是0 0已无关紧要。已无关紧要。000,011,101,110,111000,011,101,110,111五个值出五个值出现与否对现与否对Y Y1 1,Y,Y2 2和和Y Y3 3没有影响，没有影响，则称则称ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABCABC为为Y Y1 1,Y,Y2 2和和Y Y3 3的的任意项任意项；在真；在真
43、值表和卡诺图中都用值表和卡诺图中都用X X表示。表示。691. Y(ABCD)=m1+m7+m8约束条件为约束条件为: :m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=0Y(ABCD)=AD+AD2. Y=ACD+ABCD+ABCD约束条件为约束条件为: :AB+AC=0Y=AD+BD+CD注意注意: :被圈进去的约束项的值为被圈进去的约束项的值为1,1, 未圈进去的约束项的值为未圈进去的约束项的值为0 0。1011010010110100ABCD111XXXXXXX1011010010110100ABCD1111XXXXXX702.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用l合理地利用无关项，
44、可得更简单的化简结果。合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。l加入的无关项应与函数式中尽可能多的最小项具有加入的无关项应与函数式中尽可能多的最小项具有逻辑相邻性。逻辑相邻性。l从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形组合最大，矩形组合数最少。组合最大，矩形组合数最少。710001111000101111101ABCDp 化简具有约束的逻辑函数，例2.7.1：约束条件：720001111000 01x001 0x1011 x0xx10 1x0xABCD73000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD7400011110
45、00000101100111xxxx1010xxABCDp 化简具有无关项的逻辑函数，例2.7.2：75本章小结本章小结p 介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法p 内容提要：内容提要： 逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理；逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理； 逻辑函数及其表示方法；逻辑函数及其表示方法； 逻辑函数的化简方法。逻辑函数的化简方法。76作业：作业：2.2（2） 2.3（a）2.5（1）2.6（b)2.82.10 (2)2.11(3)(5)2.12(2)2.12(2)2.13(3)2.13(3)2.15(4)2.15(4)2.18(4)2.18
46、(4)2.20(a)2.20(a)2.23(2)2.23(2)77一、逻辑等式的证明，例如：题2.2习题类型与解题方法方法一，分别列出等式两边逻辑式的真值表，若真值表完全相同，则等式成立。方法二，利用逻辑代数的基本公式和定理，将等式两边化为完全相同的形式。方法三，分别画出等式两边逻辑式的卡诺图，若卡诺图相等，则等式成立。78二、逻辑函数不同表示方法之间的转换，例如：题2.3，题2.7 真值表逻辑式 逻辑式逻辑图 逻辑式卡诺图 波形图真值表 逻辑式真值表 逻辑图逻辑式79三、逻辑函数式的变换，例如：题2.11，题2.12，题2.13 与或形式与非-与非形式 与或形式与或非形式 与或形式或非-或非
47、形式80p 题题2.11 2.11 将下列各式化为最大项之积的形式将下列各式化为最大项之积的形式81p 题题2.12 2.12 化为与非化为与非- -与非形式，画出全部由与非与非形式，画出全部由与非逻辑单元组成的逻辑电路图逻辑单元组成的逻辑电路图82p 题题2.13 2.13 化为或非化为或非- -或非形式，画出全部由或非或非形式，画出全部由或非逻辑单元组成的逻辑电路图逻辑单元组成的逻辑电路图83四、逻辑函数的化简，例如：题2.14，题2.15，题2.17，题2.18，题2.19， 题2.22，题2.23公式化简法卡诺图化简法p 熟练掌握逻辑代数的基本公式和常用公式熟练掌握逻辑代数的基本公式和常用公式p 掌握无关项掌握无关项84p 题题2.17 2.17 用卡诺图化简法化简下列逻辑函数用卡诺图化简法化简下列逻辑函数85可重复可重复86p 题题2.22 2.22 化为最简与或式化为最简与或式87一、根据逻辑图，通常需要写出最简逻辑表达式，如：题2.6二、画卡诺图存在问题，如：题2.17 三、化简时灵活运用公式和定理，化为最简与或式作业中出现的问题88
