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1、第七章第七章 摩擦摩擦7.1 摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角一、摩擦力与摩擦角一、摩擦力与摩擦角本章主要分析刚体在考虑摩擦时的力学行为。本章主要分析刚体在考虑摩擦时的力学行为。 摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角 可以看出：当外力可以看出：当外力F比较小时，物体保持静止，并且全约束反力比较小时，物体保持静止，并且全约束反力的水平方向的水平方向Fx的大小随着外力的大小随着外力F的大小增加而同数量地增加，的大小增加而同数量地增加，d也随着也随着外力外力F的大小增加而增大。的大小增加而增大。 像所示的像所示的Fx这样，物体保持静止时，全约束反力在约束面切线方这样，物体保持静止时，全约束反力在约束面切线方向上
2、的分力称为静滑动摩擦力，记为向上的分力称为静滑动摩擦力，记为Fs。 摩擦力摩擦力Fs随着外力随着外力F的增加而增加，但摩擦力的增加而增加，但摩擦力Fx的大小不能一直随的大小不能一直随着外力着外力F的增加而增加，而是只在一定的范围内随着外力的增加而增加，而是只在一定的范围内随着外力F的增加而增的增加而增加，所以当达到最大值，即：最大静滑动摩擦力加，所以当达到最大值，即：最大静滑动摩擦力Fmax时，物体处于将时，物体处于将动还未动的滑动临界状态。其中：最大静滑动摩擦力动还未动的滑动临界状态。其中：最大静滑动摩擦力Fmax大小与法向大小与法向约束反力约束反力FN之间的关系有：之间的关系有：摩擦力与摩
3、擦角摩擦力与摩擦角 该规律就是我们以前所熟知的静滑动摩擦定律，也称静摩擦定律或库该规律就是我们以前所熟知的静滑动摩擦定律，也称静摩擦定律或库仑摩擦定律。其中仑摩擦定律。其中fs称为静摩擦系数，是无量纲的比例常数。称为静摩擦系数，是无量纲的比例常数。 动摩擦定律动摩擦定律。其中fd称为动滑动摩擦系数动滑动摩擦系数，简称动摩擦系数动摩擦系数。 摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角 前面的分析需要一个前提，就是要保证满足：前面的分析需要一个前提，就是要保证满足：d摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角和和d一样，角度一样，角度 也随着外力也随着外力F的大小增加而增大。自然地，的大小增加而增大。自然地，随着外力随着外力
4、F增大，物体达到滑动临界状态时，全约束反力与公增大，物体达到滑动临界状态时，全约束反力与公切面的法线夹角切面的法线夹角 也将达到最大值也将达到最大值 m，该角度称为物体与接，该角度称为物体与接触面之间的触面之间的摩擦角摩擦角。 摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角 假设：（假设：（1）两个物体的接触面在沿任意方向的静摩擦系）两个物体的接触面在沿任意方向的静摩擦系数均相同，（数均相同，（2）主动力）主动力F在水平面内的方向变化不会改变两在水平面内的方向变化不会改变两个临界状态的先后顺序，则当物体个临界状态的先后顺序，则当物体A处于先滑动临界状态时，处于先滑动临界状态时，改变主动力改变主动力F 在水平面内
5、的方向，则全约束反力的作用线将绕在水平面内的方向，则全约束反力的作用线将绕公法线画出一个顶角为的正锥面，该锥面称为公法线画出一个顶角为的正锥面，该锥面称为摩擦锥摩擦锥。 摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角 当物体当物体A保持静止并且临界状态为先滑动时，只要保证所有主动保持静止并且临界状态为先滑动时，只要保证所有主动外力的合力与公法线的夹角小于等于摩擦角外力的合力与公法线的夹角小于等于摩擦角 m，则，则无论外力多大，无论外力多大，全约束反力总可以与其形成平衡，而不会滑动全约束反力总可以与其形成平衡，而不会滑动。这种现象称为。这种现象称为自锁现自锁现象象。如果主动力合力的作用线位于摩擦锥以外，则无论力多
6、小，物体如果主动力合力的作用线位于摩擦锥以外，则无论力多小，物体都不能保持平衡。都不能保持平衡。摩擦力与摩擦角摩擦力与摩擦角7.2 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 考虑滑动摩擦力时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述的平衡问题大考虑滑动摩擦力时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述的平衡问题大致相同，但有如下特点：致相同，但有如下特点： . 分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力，通常增加了未知分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力，通常增加了未知力的数目；力的数目； . 为确定这此新增加的未知量，还需列出补充方程，即，补充方程的数为确定这此新增加的未知量，还需列出
7、补充方程，即，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；目与摩擦力的数目相同； . 由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，所以有摩擦时平衡问题的解亦由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。有一定的范围，而不是一个确定的值。 注意摩擦力的计算与物体状态之间的关系。注意摩擦力的计算与物体状态之间的关系。例例7-1 物体重为物体重为W，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fs，如图（，如图（a）所示。当物体处于平衡时，试求水平力）所示。当物体处于平衡时，试求水平力F1大小的范围。大小的范围。解：解：先求力先求
8、力F1的最大值。当力的最大值。当力F1达到此达到此值时，物体处于将要向上滑动的临界状值时，物体处于将要向上滑动的临界状态。在此情形下，摩擦力态。在此情形下，摩擦力Fs沿斜面向下，沿斜面向下，并达到最大值并达到最大值Fmax。物体共受。物体共受4个力作用，个力作用，如图（如图（a）所示。列平衡方程）所示。列平衡方程 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 补充方程：补充方程： 再求F1的最小值。物体的受力如图（b）所示。 补充方程：补充方程： 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 例例7-2 如图（如图（a）所示，梯子）所示
9、，梯子AB（视为均质（视为均质杆）一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置在杆）一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间光滑，而水平地面上。假设梯子与墙壁之间光滑，而与地面之间存在摩擦，静滑动摩擦系数为与地面之间存在摩擦，静滑动摩擦系数为fs，梯子重为，梯子重为W。（1）若梯子在倾角）若梯子在倾角 的位置保持平衡，试求的位置保持平衡，试求A、B处的约束力；处的约束力；（2）若使梯子不致滑倒，试求其倾角）若使梯子不致滑倒，试求其倾角 的范的范围。围。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 解：解： （1）梯子的受力图如图（）梯子的受力图如图（b）所示，）所示，其中摩擦
10、力其中摩擦力Fs作为一般约束力，其方向作为一般约束力，其方向可以假设如图示。列平衡方程可以假设如图示。列平衡方程求解可得：求解可得： (a)(b)(c) 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 （2）这属于平衡的临界状态。首先）这属于平衡的临界状态。首先求角度的最小值，此时梯子的受力求角度的最小值，此时梯子的受力图如图（图如图（c）所示，摩擦力的方向必）所示，摩擦力的方向必须根据梯子在地上的滑动趋势预先须根据梯子在地上的滑动趋势预先确定。同样可以列出上述平衡方程确定。同样可以列出上述平衡方程（a）、（）、（b）、（）、（c）（只是方程中）（只是方程中得角度得角度 取为取为 min）和
11、物理条件）和物理条件 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 思考：思考：几何法？几何法？ 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 思考：思考： 若不考虑梯子若不考虑梯子AB的质量，一的质量，一个重为个重为P的人沿梯子从下面往上缓慢的人沿梯子从下面往上缓慢爬，人安全到达的最高位置在哪里？爬，人安全到达的最高位置在哪里？假设梯子与墙壁之间光滑，而与地面假设梯子与墙壁之间光滑，而与地面之间存在摩擦，静滑动摩擦系数为之间存在摩擦，静滑动摩擦系数为fs。将人视为质点，将人视为质点， =60 。另外，如果另外，如果梯子与墙壁之间的静滑动梯子与墙壁之间的静滑动摩擦系数也为摩擦系数也为f
12、s。又如何求解？。又如何求解？C 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 例例7-3 均质物体均质物体A的宽度的宽度b=lm，高，高h=2m，重，重W=200kN，放在，放在倾角的斜面上，如图（倾角的斜面上，如图（a）所示。物体与斜面的静滑动摩擦系）所示。物体与斜面的静滑动摩擦系数数f=0.2。在物体的点。在物体的点C处作用一拉力处作用一拉力F，方向如图。求系统保，方向如图。求系统保持平衡时，力持平衡时，力F的取值范围。的取值范围。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 解解: 假设物体处于非临界的平衡状态，如图假设物体处于非临界的平衡状态，如图（b）所示。由于考虑到物体
13、的几何尺寸，由上）所示。由于考虑到物体的几何尺寸，由上节分析假设斜面的约束反力最后简化后作用点在节分析假设斜面的约束反力最后简化后作用点在D点，并建立图示坐标系点，并建立图示坐标系Oxy，则由静力学的平，则由静力学的平衡方程衡方程 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 (1) 当物体处于向下滑动的临界状态时，摩擦力方向如图当物体处于向下滑动的临界状态时，摩擦力方向如图b。 (2) 当物体处于向上滑动的临界状态时，摩擦力方向与图（当物体处于向上滑动的临界状态时，摩擦力方向与图（b）所示的）所示的摩擦力方向相反。摩擦力方向相反。 (3) 当物体处于绕当物体处于绕O点翻倒的临界状态时，此
14、时有：点翻倒的临界状态时，此时有：x=0 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 这一结果与这一结果与F是拉力的实际情况不符。因此，物体是拉力的实际情况不符。因此，物体A不可能绕点不可能绕点O翻倒。翻倒。(4) 当物体处于绕当物体处于绕B点翻倒的临界状态时，此时有：点翻倒的临界状态时，此时有：x=b综合以上四个结果，可得系统保持平衡时，拉力综合以上四个结果，可得系统保持平衡时，拉力F的取值范围为的取值范围为 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 例例7-4 等厚均质矩形体等厚均质矩形体A和和B，如图，如图7.14所示。所示。A重重20kN，A与铅垂墙间是光与铅垂墙间是光滑
15、的，滑的，A与与B和和B与水平固定面间的摩与水平固定面间的摩擦系数均为擦系数均为fs。试求系统平衡时。试求系统平衡时fs至至少应为多大？少应为多大？B的重量的重量W2至少应为多至少应为多少？少？ 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 解：解：本题是考虑摩擦的两个物体组成的物体系本题是考虑摩擦的两个物体组成的物体系统平衡问题。首先讨论物体统平衡问题。首先讨论物体A的受力，如图的受力，如图（b）所示。当系统处于开始滑动的临界状态）所示。当系统处于开始滑动的临界状态时，物体时，物体A与与B之间在之间在D点处接触，而与墙壁的点处接触，而与墙壁的接触点为接触点为G点。由平衡方程及摩擦定律得点
16、。由平衡方程及摩擦定律得 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 取物体取物体B为研究对象，物体为研究对象，物体B既有顺时针倾倒既有顺时针倾倒的趋势也有向右滑动的趋势。受力分析如图（的趋势也有向右滑动的趋势。受力分析如图（c）所示。由平衡方程可得：所示。由平衡方程可得： 不妨考虑物体不妨考虑物体B处于开始翻倒的临界状态，此时有处于开始翻倒的临界状态，此时有:解得：解得： 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 即当时，物体即当时，物体B不会滑动。故：为保持系统在图示位置平衡，摩擦系不会滑动。故：为保持系统在图示位置平衡，摩擦系数至少应为数至少应为0.5，物体，物体B至少应重
17、至少应重30kN。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 对于两个或多个物体组成的物体系统的摩擦问题，求解的方法一般有对于两个或多个物体组成的物体系统的摩擦问题，求解的方法一般有两种：两种：方法一：（适用于摩擦点或摩擦面较少的情况）方法一：（适用于摩擦点或摩擦面较少的情况）（1）确定所有打破物体系统平衡的模式；）确定所有打破物体系统平衡的模式；（2）对每一种模式，如果是相对滑动，令摩擦力取最大静滑动摩擦力）对每一种模式，如果是相对滑动，令摩擦力取最大静滑动摩擦力，如果是翻倒，令法向约束反力的位置取极限位置。然后根据每一，如果是翻倒，令法向约束反力的位置取极限位置。然后根据每一个物体
18、的受力平衡，确定问题的解；个物体的受力平衡，确定问题的解；（3）考察所有模式下问题的解，并确定正确答案。）考察所有模式下问题的解，并确定正确答案。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 方法二：（适用于摩擦点或摩擦面较多的情况）方法二：（适用于摩擦点或摩擦面较多的情况）（1）确定所有打破物体系统平衡的模式；）确定所有打破物体系统平衡的模式；（2）选取一种打破物体系统平衡的模式，令摩擦力取最大静滑动摩擦力，）选取一种打破物体系统平衡的模式，令摩擦力取最大静滑动摩擦力，如果是翻倒，令法向约束反力的位置取极限位置。然后与平衡方程联如果是翻倒，令法向约束反力的位置取极限位置。然后与平衡方程
19、联立求解，确定其他摩擦点或摩擦面处的摩擦力及法向约束反力。立求解，确定其他摩擦点或摩擦面处的摩擦力及法向约束反力。（3）如果（）如果（2）中所求的摩擦力都能够满足摩擦定律，则选取的模式就是）中所求的摩擦力都能够满足摩擦定律，则选取的模式就是实际打破物体系统平衡的模式，从而求得的解也就是实际问题的解。实际打破物体系统平衡的模式，从而求得的解也就是实际问题的解。如果有不能满足摩擦定律的摩擦点或摩擦面存在，则说明选取的模式如果有不能满足摩擦定律的摩擦点或摩擦面存在，则说明选取的模式不是实际打破物体系统平衡的模式，可以选择包含上述求解中求解得不是实际打破物体系统平衡的模式，可以选择包含上述求解中求解得
20、到的摩擦力与最大静滑动摩擦力差别最大处的模式进行分析。直至寻到的摩擦力与最大静滑动摩擦力差别最大处的模式进行分析。直至寻找到每一处都满足摩擦定律的模式，并确定正确答案。找到每一处都满足摩擦定律的模式，并确定正确答案。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 例例7-5 图图7.15所所示示物物体体系系统统，已已知知BC杆杆的的质质量量为为6kg，物物体体A的的质质量量为为3kg。若若在在A、B、C三三处处的的静静摩摩擦擦因因数数分分别别为为fA=0.4，fB=0.6，fC=0.3，试试确确定定维维持持系系统统在在图图示示位位置置平平衡衡时力偶矩时力偶矩M的最大值。图中长度尺寸为的最大
21、值。图中长度尺寸为mm。 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 考虑摩擦时物体系统的平衡考虑摩擦时物体系统的平衡 7.3 滚动摩阻滚动摩阻 图示的力系是不平衡力系，不管轮重有多大，图示的力系是不平衡力系，不管轮重有多大，只要施加微小的拉力只要施加微小的拉力FP，轮都会在力偶（，轮都会在力偶（FP, F）的作用下发生滚动。而事实上，当拉力）的作用下发生滚动。而事实上，当拉力FP未达到一定的数值时，轮子是静止不动的。未达到一定的数值时，轮子是静止不动的。为什么会出现这样的矛盾呢？为什么会出现这样的矛盾呢？ 是由于没有考虑轮子与支承在接触处的变形。是由于没有考虑轮子与支承在接触处的变形。
22、 当水平拉力当水平拉力FP不大时，滚动摩阻力偶与力偶（不大时，滚动摩阻力偶与力偶（FP, F）平衡）平衡 比例系数比例系数 是法向约束力是法向约束力FN的最大偏差距离的最大偏差距离emax，称为滚动摩阻系数。，称为滚动摩阻系数。 滚动摩阻滚动摩阻 上述各种状态下的受力有什么特征？上述各种状态下的受力有什么特征？ 滚动摩阻滚动摩阻 例例7-4 重重W，半径为，半径为r的轮子，沿角度为的轮子，沿角度为 的斜面匀速向上滚动，如的斜面匀速向上滚动，如图（图（a）所示，轮子上施加一平行于斜面的力）所示，轮子上施加一平行于斜面的力F，设轮子和斜面间的，设轮子和斜面间的滚动摩阻系数为滚动摩阻系数为 ，试求力
23、，试求力F的大小。的大小。 解解: 轮子的受力图如图（轮子的受力图如图（b）所示。轮子匀速向上，处于平衡，并且：）所示。轮子匀速向上，处于平衡，并且： 滚动摩阻滚动摩阻 滚动摩阻滚动摩阻 7.4 柔性体的摩擦柔性体的摩擦 由平衡方程可得由平衡方程可得 由于绳索处于滑动的临界状态，故由摩擦定律知：由于绳索处于滑动的临界状态，故由摩擦定律知： 柔性体的摩擦柔性体的摩擦 or ： 非临界状态下有：非临界状态下有：例例7-7 图图7.21(a)所示转盘受力矩所示转盘受力矩M作用，转作用，转盘缠以粗糙皮带并与杆件盘缠以粗糙皮带并与杆件AC连接。若转连接。若转盘与皮带之间的静摩擦因数为，试确定盘与皮带之间的静摩擦因数为，试确定维持转盘静平衡时力维持转盘静平衡时力F的最小值。的最小值。 柔性体的摩擦柔性体的摩擦 解：解：分别绘制转盘和杆件分别绘制转盘和杆件AC的受力分析图，如图的受力分析图，如图7.21（b）、（）、（c）所示。）所示。 分别对分别对A和和B取矩，列力矩的平衡方程可得：取矩，列力矩的平衡方程可得： 柔性体的摩擦柔性体的摩擦 2024/8/140
