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1、问题探索一a aC Ca aA AB Ba aO O-a aQ Q-a aMMN N-a aP P 思考思考1:比较比较这两个量与向这两个量与向量量 的关系的关系？是实数还是向量?与 的 方向是 的长度相同向量向量相反3倍|-3|倍? ?（1 1） 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量，这种运算叫做向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 . .（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反. .特别地，当特别地，当 时时, 它的长度和方向规定如下：它的长度和方向
2、规定如下：向量的加、减、数乘运算统称为向量的向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算线形运算.例例1:1:已知四边形已知四边形ABCD是菱形，是菱形，P点在对角线点在对角线AC上（不包括端点上（不包括端点A、C），则），则AP等于等于 ( )( )AAB DPOC=问问题题探探索索二二(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2a ) 和和(6a) (a为非零向量为非零向量)，并进行比较，并进行比较.(2)已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b) 和和2a+2b，并进行比较并进行比较.思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同向量数乘和实数乘法有那些相同点点? 那些不同
3、点那些不同点?相同点相同点: :这两种运算都满足结合律和分配律;不同点不同点: :实数乘法结果(积)是一个实数,而向量数乘的结果是一个向量.像整式的乘法吗像整式的乘法吗? ? 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b问题探索三问题问题1：如果：如果 b=a , 那么，向量那么，向量a与与b是否共线？是否共线？问题问题2：如果：如果向量向量a与与b共线共线 那么，那么，b=a？对于向量对于向量 a (a0), b ，以及实数，以及实数.若将条件若将条件(a0), 去去掉如何掉如何? 对于两个向量对于两个向量
4、a (a0), b ，如果有一个实，如果有一个实数数,使使b=a,那么那么向量向量 b 与向量与向量 a 共线共线; 反之反之,如果如果向量向量 b 与向量与向量 a 共线共线,那么那么有且只有且只有有一个实数一个实数，使得，使得b=a. 对于两个向量对于两个向量 a (a0), b ，如果有一个实，如果有一个实数数,使使b=a,那么那么向量向量 b 与向量与向量 a 共线共线; 反之反之,如果如果向量向量 b 与向量与向量 a 共线共线,那么那么有且只有且只有有一个实数一个实数，使得，使得b=a.思考思考: :定理如何证明定理如何证明? ?阅读课本P.65页.提示：如果两个向量共提示：如果两
5、个向量共线，那么其中的一个向线，那么其中的一个向量可由另一个（非零）量可由另一个（非零）向量的数乘来表示，即向量的数乘来表示，即线性表示线性表示. 向量是数学中的一种运算 能否仅用向量知识证明? 向量也是向量也是研究问题一研究问题一种工具种工具.本课收获本课收获直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CD.CD. 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明向量共线证明向量共线证明向量共线证明向量共线. . 2. 2. 证明两直线平行证明两直线平行证明两直线平行证明两直线平行: : ABAB= = CDCD ABABCDCD ABAB与与与与CDCD不在同
6、一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上 3. 3. 证明三点共线证明三点共线证明三点共线证明三点共线: : ABAB= = ACAC , , A A, ,B B, ,C C三点共线三点共线三点共线三点共线. .一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 向量也是研究向量也是研究问题一种工具问题一种工具.课堂练习课堂练习求向量DE.作业：P.66 5.6.7 思考题一思考题一: :O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平是平面上不共线的三个点，动点面上不共线的三个点，动点P P满足满足 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的的( ) ( ) A A外心外心 B B内心内心 C C重心重心 D D垂心垂心 思考题二思考题二:如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BNBN= = BDBD，求证：求证：求证：求证：MM、N N、C C三点共线三点共线三点共线三点共线. .用向量知识证明用向量知识证明. .
