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1、第九章第九章 系统模型与模型化系统模型与模型化一、模型及模型化的定义一、模型及模型化的定义 模型：现实系统的理想化抽象模型：现实系统的理想化抽象 模型化：用一定方式（数学、图形等）描模型化：用一定方式（数学、图形等）描述现实系统的构成和行为的方法。述现实系统的构成和行为的方法。9.1 概述例：例：电流关系的数学模型电流关系的数学模型1：i = i1 + i2电压关系的数学模型电压关系的数学模型2：模型有三个特征：模型有三个特征：（1）模型是现实系统的抽象或模仿；）模型是现实系统的抽象或模仿；（2）模型是由反映系统本质或特征的）模型是由反映系统本质或特征的主要因素构成的；主要因素构成的；（3）模
2、型集中体现了上述主要因素之）模型集中体现了上述主要因素之间的关系。间的关系。二、模型化的本质、作用及地位二、模型化的本质、作用及地位三、模型的分类三、模型的分类概念模型概念模型：通过人们的经验、知识和直觉形成的。：通过人们的经验、知识和直觉形成的。符号模型符号模型：用符号表示系统的因素及因素间关系。：用符号表示系统的因素及因素间关系。形象模型形象模型：以相似形象表示现实系统的模型。：以相似形象表示现实系统的模型。类比模型类比模型：用来表示现实系统的功能、行为类似的模型。：用来表示现实系统的功能、行为类似的模型。仿真模型仿真模型：用计算机对系统进行仿真时用的模型。：用计算机对系统进行仿真时用的模
3、型。3-2四、构造模型的一般原则四、构造模型的一般原则 1. 建立方框图建立方框图：简化对系统内部相互作用的说明。：简化对系统内部相互作用的说明。2. 考虑信息相关性考虑信息相关性：模型只应包括与研究目的有关的信息。：模型只应包括与研究目的有关的信息。3. 考虑准确性考虑准确性：考虑构建模型的信息的准确性。：考虑构建模型的信息的准确性。4. 考虑结集性考虑结集性：考虑模型的详细程度。：考虑模型的详细程度。3-3五、建模的基本步骤五、建模的基本步骤 （1）明确建模的目的和要求；）明确建模的目的和要求； （2）对系统进行一般语言描述；）对系统进行一般语言描述； （3）弄清系统中的主要因素及其相互关
4、系；）弄清系统中的主要因素及其相互关系； （4）确定模型的结构；）确定模型的结构； （5）估计模型的参数；）估计模型的参数； （6）实验研究；）实验研究； （7）必要修改。）必要修改。六、模型化的基本方法六、模型化的基本方法 1. 分析方法分析方法 利用逻辑演绎方法，从公理、定律导出系统模型。利用逻辑演绎方法，从公理、定律导出系统模型。规律规律f = maf = - (Bv + kx) + mg+ F(t)整理得整理得3-42. 实验方法实验方法 对实验结果观察分析，利用逻辑归纳法导出系对实验结果观察分析，利用逻辑归纳法导出系统模型。统模型。 例，通过大量统计数据分析表明，核武器杀伤例，通过大
5、量统计数据分析表明，核武器杀伤力力(k)与其命中精度与其命中精度(c)、威力、威力(Y)的关系为：的关系为： kY2/3/c2模拟法模拟法统计数据分析法统计数据分析法试验分析法试验分析法实验方法实验方法包括包括3. 综合法综合法 将实验数据与理论推导相结合。将实验数据与理论推导相结合。 例，从经济理论知道，由劳动力例，从经济理论知道，由劳动力A和资本投入和资本投入P可以得出产值可以得出产值Y，即，即 Yf（A，P） 假设假设 YcAP 利用实验统计数据得出利用实验统计数据得出c、4. 老手法（如老手法（如Delphi法）法） 通过专家们之间启发式的讨论，逐步完善对系通过专家们之间启发式的讨论，
6、逐步完善对系统的认识，构造出模型。统的认识，构造出模型。 如社会系统规划、决策模型等。如社会系统规划、决策模型等。 这种方法集中了专家们对系统的认识与经验。这种方法集中了专家们对系统的认识与经验。5. 辩证法辩证法 构成两个相反的分析模型，相同的数据可以通构成两个相反的分析模型，相同的数据可以通过两个模型来解释。过两个模型来解释。一、系统结构模型化基础一、系统结构模型化基础（一）结构分析的概念和意义（一）结构分析的概念和意义 结构分析是实现系统结构模型化并加以解释的结构分析是实现系统结构模型化并加以解释的过程。其内容包括：过程。其内容包括： （1）对系统目的和功能的认识；）对系统目的和功能的认
7、识； （2）系统构成要素的选取；）系统构成要素的选取； （3）对要素间的联系及其层次关系的分析；）对要素间的联系及其层次关系的分析； （4）系统整体结构的确定及其解释。）系统整体结构的确定及其解释。9.2 系统结构模型化技术（二）系统结构的基本表达方式（二）系统结构的基本表达方式 通常，表达系统的结构可采用通常，表达系统的结构可采用集合集合、有向图有向图、矩矩阵阵等方式。等方式。 1. 系统结构的集合表达系统结构的集合表达 设系统由设系统由n（n=2）个要素（）个要素（S1,S2,Sn）组成，）组成，用集合表示为：用集合表示为： S S1, S2, , Sn 二元关系二元关系：根据系统的性质和
8、研究的目的所约：根据系统的性质和研究的目的所约定的一种存在于系统中的两个要素（定的一种存在于系统中的两个要素（Si,Sj）之间的）之间的关系关系Rij（简记为（简记为R）。）。影响关系影响关系因果关系因果关系包含关系包含关系隶属关系隶属关系比较关系比较关系（大小、先后、轻重、优劣等）（大小、先后、轻重、优劣等）二二元元关关系系二元关系一般有三种情形：二元关系一般有三种情形：（1）Si与与Sj间间有某种二元关系有某种二元关系R，即，即SiRSj（2）Si与与Sj间间无某种二元关系无某种二元关系R，即，即SiRSj（3）Si与与Sj间间某种二元关系某种二元关系R不明，即不明，即SiRSj 二元关系
9、具二元关系具传递性传递性，若，若SiRSj， SjRSk，则，则有有SiRSk。传递性二元关系记作。传递性二元关系记作Rt （t为传递为传递次数），如，将次数），如，将SiRSk记作记作SiR2Sk强连接关系强连接关系： 系统的构成要素系统的构成要素Si和和Sj之间，既有之间，既有SiRSj，也有也有SjRSi 系统系统S上的二元关系集合：满足某种二元关上的二元关系集合：满足某种二元关系系R的要素对（的要素对（ Si，Sj）的集合，记作）的集合，记作Rb Rb（ Si,Sj）| Si,SjS, SiRSj ,i、j=1,n用用S和和Rb可以表示系统的某种基本结构！可以表示系统的某种基本结构！
10、例例9-1：某系统由：某系统由7个要素组成，其中：个要素组成，其中：S2影响影响S1, S3影响影响S4, S4影响影响S5, S7影响影响S2, S4、S6互相影响。互相影响。 该系统结构为：该系统结构为： S= S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7 Rb=(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S7,S2),(S4,S6),(S6,S4)2. 系统结构的有向图表达系统结构的有向图表达 有向图有向图：用节点表示系统构成要素，用有向：用节点表示系统构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。弧表示要素之间的二元关系。3-53-1节点间路长节点间路长：从节点：从节点 i 到到 j 的
11、最少有向弧数。的最少有向弧数。3. 系统结构的矩阵表达系统结构的矩阵表达（1）邻接矩阵邻接矩阵 邻接矩阵（邻接矩阵（A）是表示系统要素间基本）是表示系统要素间基本二元关系的方阵。二元关系的方阵。 A（aij）nn ，其定义为：，其定义为：与图与图9-5对应的邻接矩阵对应的邻接矩阵A为：为：9-59-1在邻接矩阵中：在邻接矩阵中： 若有一列（设第若有一列（设第j列）元素全为列）元素全为0，则，则Sj为系统为系统的的输入要素输入要素，如图，如图3-5中的中的S3和和S7； 若有一行（设第若有一行（设第i行）元素全为行）元素全为0，则，则Si为系统为系统的的输出要素输出要素，如图，如图3-5中的中的
12、S1和和S5；（2）可达矩阵可达矩阵 可达矩阵可达矩阵M（mij）nn，定义为：，定义为：tt 0，表示，表示Si自身到达，即自身到达，即Si R0 Sit 1，表示基本的二元关系，表示基本的二元关系t 2，表示传递性二元关系，表示传递性二元关系t例，图例，图9-5对应的可达矩阵对应的可达矩阵M为：为：9-59-1 系统的可达矩阵系统的可达矩阵M的计算方法：的计算方法： M（AI）r 其中其中I为与为与A同阶次的单位矩阵，最大传同阶次的单位矩阵，最大传递次数（路长）递次数（路长）r 根据下式确定：根据下式确定： AI（AI）2 （AI）3 （AI）r （AI）r1 （AI）n 注意：可达矩阵（
13、注意：可达矩阵（M）的计算要符合）的计算要符合布布尔代数的运算规则尔代数的运算规则： 000；011；101；111 000；010；100；111 例：图例：图9-5所对应的邻接矩阵所对应的邻接矩阵A加加 I 后：后：其中带圆圈的其中带圆圈的“1”表示要素间通过两步到表示要素间通过两步到达。达。进一步计算发现：（进一步计算发现：（AI）2（AI）3故可达矩阵故可达矩阵M为：为：（3）其它矩阵）其它矩阵 缩减矩阵缩减矩阵（M）：将可达矩阵）：将可达矩阵M中具有强连中具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中某个代接关系的一组要素看作一个要素，保留其中某个代表要素，删除该组的其余要素而得到的
14、矩阵。表要素，删除该组的其余要素而得到的矩阵。如何确定保留的元素？参考方法参考方法：（1）已知相邻矩阵已知相邻矩阵A和可达矩阵和可达矩阵M的情况下的情况下，在在A上判断强连接元素中哪个元素和其它元素有最上判断强连接元素中哪个元素和其它元素有最多的相邻关系（包括影响和被影响关系），将其多的相邻关系（包括影响和被影响关系），将其作为代表元素而保留，如果有同样多的相邻关系，作为代表元素而保留，如果有同样多的相邻关系，任意保留一个强连接元素。任意保留一个强连接元素。（2）如果仅知道）如果仅知道M而而A未知的情况下，任意保留未知的情况下，任意保留一个强连接元素。一个强连接元素。 骨架矩阵骨架矩阵 实现某
15、一可达矩阵实现某一可达矩阵M的邻接矩阵的邻接矩阵A可以有多个。可以有多个。其中具有最小二元关系个数（其中具有最小二元关系个数（A中中“1”的元素最的元素最少）的邻接矩阵叫做骨架矩阵，记作少）的邻接矩阵叫做骨架矩阵，记作A。 骨架矩阵的作用骨架矩阵的作用：参考它可较容易地绘制出系：参考它可较容易地绘制出系统的多级递阶有向图。统的多级递阶有向图。（三）常用系统结构模型化技术（三）常用系统结构模型化技术 主要有：主要有：关联树法关联树法、解释结构模型化技术解释结构模型化技术 ( ISM )、系统动力学结构模型化技术系统动力学结构模型化技术。 ISM技术：美国技术：美国J.N.沃菲尔德教授于沃菲尔德教
16、授于1973开发。开发。 基本思想：提取系统的构成要素，利用有向图、基本思想：提取系统的构成要素，利用有向图、矩阵、计算机技术，对要素及其相互关系进行处理，矩阵、计算机技术，对要素及其相互关系进行处理，最后用文字加以解释说明，确定系统的层次结构、最后用文字加以解释说明，确定系统的层次结构、整体结构，提高对系统的认识和理解。整体结构，提高对系统的认识和理解。9-6AMA总人口总人口死亡率死亡率出生率出生率国民生育能力国民生育能力计划生育政策计划生育政策国民思想风俗国民思想风俗期望寿命期望寿命医疗保健水平医疗保健水平食物营养食物营养环境污染程度环境污染程度国民收入国民收入国民素质国民素质逻辑模型逻
17、辑模型社会问题的解释社会问题的解释结构模型举例：结构模型举例：多级递阶有向图多级递阶有向图103121145862197二、建立递阶结构模型的规范方法二、建立递阶结构模型的规范方法 四个阶段：四个阶段：区域划分区域划分、级位划分、骨架矩阵提级位划分、骨架矩阵提取取、多级递阶有向图绘制多级递阶有向图绘制。 以图以图9-5为例：为例：1. 区域划分区域划分 将系统分割成关于给定关系将系统分割成关于给定关系R的相互独立的区域。的相互独立的区域。可理解为根据关系可理解为根据关系R划分子系统划分子系统。 （1）可达集可达集R( Si ) Si可到达的要素的集合，即可到达的要素的集合，即 R(Si)Sj
18、| SjS, mi j1, j1,n上例中：上例中：R(S1)S1; R(S2) = S1 , S2; R(S3)S3 , S4 ,S5 , S6 （2）先行集先行集A（Si） 可到达可到达Si的要素的集合，即的要素的集合，即 A(Si)Sj | SjS, mj i1, j1,n上例中：上例中：A(S1)S1 ,S2 , S7; A(S2)S2 , S7; A(S3)S3（3）共同集共同集C（Si） Si要素可达集与先行集的交集，即要素可达集与先行集的交集，即 C（Si） R( Si ) A( Si ) Sj | SjS, mi j1 ，mj i1, j1,n上例中：上例中：C(S1)S1;
19、C(S2)S2;C(S3)S3;R( Si ) 、A( Si ) 、C（Si）之间的关系：）之间的关系：9-7（4）起始集起始集B（S）和终止集）和终止集E（S） B(S) ：只到达其它要素，不被其它要素：只到达其它要素，不被其它要素到达的要素的集合，即到达的要素的集合，即 B(S)= Si | SiS, C( Si ) =A( Si ) , i1,n E(S)：只被其它要素到达，不能到达其它要：只被其它要素到达，不能到达其它要素的要素集合。素的要素集合。 E(S)= Si | SiS, C( Si ) =R( Si ) , i1,n9-59-1上例中：上例中：B(S)= S3 , S7; E
20、(S)= S1 , S5判断区域能否划分的规则：判断区域能否划分的规则：（1）B(S)只有只有1个要素时系统只有个要素时系统只有1个区域；个区域；（2）B(S) 的要素的要素2个时，任取其中要素个时，任取其中要素bu、bv： （a）如果）如果R(bu) R(bv)，则，则bu、bv属同一区属同一区域，若域，若B(S)中所有任取中所有任取2个要素均有此结果，则系个要素均有此结果，则系统只有统只有1个区域，不可分割。个区域，不可分割。 （b）如果）如果R(bu) R(bv)，则，则bu、bv不属同一不属同一区域，系统至少可以被划分成区域，系统至少可以被划分成2个区域，逐对要素个区域，逐对要素进行分
21、析后确定系统区域数。进行分析后确定系统区域数。区域划分的结果可记为：区域划分的结果可记为： （S）P1，P2，Pk，Pm例：对图例：对图3-5对应的系统进行区域划分对应的系统进行区域划分:9-1 因因B(S)= S3 , S7, 且且R(S3) R(S7)，所，所以以S3、S7属不同区域。即有：属不同区域。即有： (S)P1，P2S3,S4,S5,S6,S1,S2,S7此时，可此时，可将可达矩将可达矩阵行列重阵行列重排，得到排，得到对角矩阵：对角矩阵： 2. 级位划分级位划分 级位划分是确定某区域内各要素所处的层次地位。级位划分是确定某区域内各要素所处的层次地位。 设区域设区域P的各级要素集合
22、为：的各级要素集合为：L1,L2,Ll, 即：即： (P) L1,L2,Ll , 则划分结果如下则划分结果如下 L1=Si | SiP, C( Si ) =R( Si ) , i=1,n L2=Si | SiP -L1, C( Si ) =R( Si ) , in Lk=Si | SiP -L1 -Lk-1, C( Si ) =R( Si ) , in （直到把（直到把Ll划分出来）划分出来）如，对例如，对例91中的区域中的区域P1进行级位划分：进行级位划分：结果为：结果为： (P1) L1,L2, L3S5,S4,S6,S33469-2iiiii同理可得到同理可得到P2的级位划分结果为：的级
23、位划分结果为： (P2) L1,L2, L3S1,S2,S7这时的可达矩阵为：这时的可达矩阵为：3. 提取骨架矩阵提取骨架矩阵 第一步，检查强连接要素，保留代表要素，得第一步，检查强连接要素，保留代表要素，得到缩减矩阵（此例保留到缩减矩阵（此例保留S4，去掉，去掉S6）：）： 第二步，去掉缩减矩阵中的越级二元关系（即第二步，去掉缩减矩阵中的越级二元关系（即非相邻级关系），得到新的矩阵非相邻级关系），得到新的矩阵M(L) 第三步，去掉自身到达的二元关系，得到骨架第三步，去掉自身到达的二元关系，得到骨架矩阵矩阵A4. 绘制多级递阶有向图绘制多级递阶有向图D(A) 根据骨架矩阵绘制图后，将强连接元素
24、补充完整。根据骨架矩阵绘制图后，将强连接元素补充完整。9-8小结：递阶结构模型的建立过程如下：小结：递阶结构模型的建立过程如下：9-9缩减矩阵缩减矩阵骨架矩阵骨架矩阵例例9-1：某系统由：某系统由7个要素组成，其中：个要素组成，其中： S7影响影响S2 ，S2影响影响S1, S3影响影响S4, S4影响影响S5, S4与与S6互相影响。互相影响。三、建立递阶结构模型的实用方法三、建立递阶结构模型的实用方法1. 判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵据系统要素情况绘制右图，其中据系统要素情况绘制右图，其中V：代表行要素直接影响列要素；：代表行要素直接影响列要
25、素；A：代表列要素直接影响行要素；：代表列要素直接影响行要素；X：代表行列两要素相互影响；：代表行列两要素相互影响；( )：代表递推二元关系。：代表递推二元关系。9-10 （ 说明：此实用方法在系统说明：此实用方法在系统较简单时使用较便利，复杂系较简单时使用较便利，复杂系统不建议使用。）统不建议使用。）根据要素关系图，加入单位矩阵，得出可达矩阵：根据要素关系图，加入单位矩阵，得出可达矩阵：2. 对可达矩阵的缩减矩阵进行层次化处理对可达矩阵的缩减矩阵进行层次化处理按每行按每行“1”的数量，由少到多调整行和列，再从左上角到右的数量，由少到多调整行和列，再从左上角到右下角依次分解出最大阶数的单位矩阵
26、，每个表示一个层次。下角依次分解出最大阶数的单位矩阵，每个表示一个层次。结果：第一层次结果：第一层次: S1,S5; 第二层次第二层次: S2,S4,S6; 第三层次第三层次: S7,S33. 根据根据M(L)绘制多级递阶有向图绘制多级递阶有向图9-8ISM应用实例2 猪猪5 沼气沼气6 鱼鱼1 果树果树3 草料草料4 蔬菜蔬菜某生态农场能量循环基本模型某生态农场能量循环基本模型该生态系统该生态系统S的邻接矩阵的邻接矩阵A和可达矩阵和可达矩阵M为：为： 从从A可知，系统只有一个起始集元素可知，系统只有一个起始集元素S3，即只有，即只有一个区域，故进行级位划分：一个区域，故进行级位划分：要素集合
27、SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si) =R(Si)(P)P12345611,2,4,5,61,2,3,4,5,641,2,4,5,661,2,3,52,3,532,3,4,52,3,52,3,5,612,5342,56L1=1,4,6P-L12352,52,3,52,52,3,532,3,52,532,5L2=2,5P-L1-L23333L3=3多层递阶有向图：多层递阶有向图：325614第第1级级第第2级级第第3级级分析说明：分析说明：（1）第）第1层（系统输出层）有水果（层（系统输出层）有水果（S1）、蔬菜）、蔬菜（S4）和鱼（）和鱼（S6），是系统的核心部分，是生），是系统的核心部分，是生产工作的重点；产工作的重点；（2）第）第2层的猪（层的猪（S2）是产品，同时猪养殖中的衍）是产品，同时猪养殖中的衍生物（如猪粪）是生产沼气（生物（如猪粪）是生产沼气（S5）的原材料，）的原材料，其会影响到蔬菜（其会影响到蔬菜（S4）大棚和养猪（）大棚和养猪（S2）的供）的供暖。因此养猪工作也同样重要；暖。因此养猪工作也同样重要；（3）第）第3层是系统最低层（输入层），为养殖提供层是系统最低层（输入层），为养殖提供基础饲料（基础饲料（S3）。）。
