《54柯西不等式与排序不等式_课件(人教A版选修4-5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《54柯西不等式与排序不等式_课件(人教A版选修4-5)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲第三讲柯西不等式与柯西不等式与排序不等式排序不等式 一一 二维形式二维形式的柯西不等式的柯西不等式若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:你能证明吗你能证明吗？推论推论 向量形式：向量形式：设设,是两个向量是两个向量,则则 当且仅当当且仅当是零是零向量向量,或存在实数或存在实数k,使使=k时时,等号成立等号成立.定理定理2: （柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P
2、2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的根据两点间距离公式以及三角形的边长关系边长关系:观观察察定理定理（二维形式的三角不等式）（二维形式的三角不等式）设，那么设，那么 例题例例1.已知已知a,b为实数为实数,证明：证明： (a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2例例3.设设a,bR+,a+b=1,求证求证练习：作业第第37页页,第第1,5,6题题 二二 一般形式一般形式的的 柯西不等柯西不等式式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）维形式的柯西不等式）:定理
3、定理 设设是实数，则是实数，则当且当且仅当仅当 (i=1,2,n) 或或 存存在一在一个个 数数k使使得得 (i=1,2,n) 时时等号等号成立。成立。 以上以上不等不等式称式称为为一一般形般形式的式的柯西柯西不等不等式式。一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式例例1 已知已知都是实数，求证：都是实数，求证：例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：是不全相等的正数，证明：ab+bc+cd+da.例例3 已知已知x+2y+3z=1,求求 的最小值。的最小值。例例4：设：设a、b、c为正数且各不相等。为正数且各不相等。求证：求证： 又又a、b、c各不相等，故等号不能成立各不相等，故
4、等号不能成立 原不等式成立。原不等式成立。例5 若abc 求证： 例6：若求证：分析：左端变形分析：左端变形只需证此式只需证此式 即可即可 三三 排序不等排序不等式式反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和例例1 ：有：有10人各拿一只水桶去接水，设水人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第龙头注满第i(i=1,2,10)个人的水桶需个人的水桶需要要ti分，假定这些分，假定这些ti各不相同。各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？这个最少的总时间等于多少？解：解：总时
5、间总时间(分）是分）是10t1+9t2+2t9+t10根据排序不等式，当根据排序不等式，当t1t2t9t10时，时，总时间取最小值。总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，即：按水桶的大小由小到大依次接水，则则10人等候的总时间最少。人等候的总时间最少。最少的总时间是最少的总时间是: 10t1+9t2+2t9+t10例例2 设设a1,a2,an是是n个互不相等的正整数，个互不相等的正整数，求证：求证：证明证明：设：设b1,b2,bn是是a1,a2,an的一个排列，的一个排列， 且有且有 b1b2bn因为因为b1,b2,bn是互不相等的正整数，是互不相等的正整数，所以所以b11,b22,bnn. 又因又因由排序不等式，得：由排序不等式，得：练习练习练习练习练习练习练习练习
