多面体与球的切接问题

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1、多面体与球的切接问题多面体与球的切接问题基本知识回顾：基本知识回顾： 一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内

2、切球外接球球心到各顶点的距离相等外接球球心到各顶点的距离相等(R) 内切球球心到各面的距离相等内切球球心到各面的距离相等(r)一、棱柱与球一、棱柱与球 典例典例1 1： 有三个球有三个球, ,一球切于正方体的各一球切于正方体的各面面, ,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱, ,一一球过正方体的各顶点球过正方体的各顶点, ,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比. .中截面中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方形的对角线等于球的直径。正方形的对角线等于球的直径。.ABCDD1C1B1A

3、1O对角面对角面球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。变题：变题： 典例典例典例典例2 2反馈训练反馈训练1：小结小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的它的球心是连接上下两个多边形的外心外心的的线段的中点；线段的中点；（2） 再构造直角三角形，勾股定理求再构造直角三角形，勾股定理求 解。解。二、棱锥与球二、棱锥与球 典例典例1 1：正四面体正四面体ABCDABCD的棱长为的棱长为a a，求其内切球半径，求其内切球半径r r与外接球半与外接球半径径R.R.ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正

4、四面体外接球的半径正方体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径法法1.补成正方体补成正方体PABCMOPAMDEOD法法2.勾股定理法勾股定理法难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径OHPABCDMh 2R法法3.射影定理法射影定理法难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径变题：变题：1.法法1.勾股定理法勾股定理法法法2.射影定理法射影定理法变题：变题：找三棱锥的外接球的球心找三棱锥的外接球的球心（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性）（利用外接球球心到锥体各

5、顶点距离相等的特性） 可选择以下思路可选择以下思路 法法1、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例2） 法法2、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外接球球心。（如以上变式接球球心。（如以上变式1） 法法3、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，两个垂线交点即为外接球球心两个垂线交点即为外接球球心 典例典例2 2：变题：变题：变题：变题： 典例典例3 3：变题：变题：变题：变题：求棱锥外接球半径常见的补形有：求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；正四面体

6、常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结总结反馈训练反馈训练2：反馈训练反馈训练2：反馈训练反馈训练2：【设计意图：巩固棱锥外接球半径的求法】小结小结2 求棱锥外接球半径的方法：求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）补形法（适用特殊棱锥）（2）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落在高线上的的棱锥）在高线上的的棱锥）（3）勾股定理法）勾股定理法 （通法）（通法） 关键是关键是找球心找球心，画出截面图，构造与，画出截面图，构造与R有关有关的直角三角形。的直角三角形。