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1、一、偏导数的定义及其计算法或或或或存在存在存在存在偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 解解由偏导数的定义可知，求由偏导数的定义可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在应并不需要新的方法，只在应用一元函数求导法就可以了：用一元函数求导法就可以了：求求时，把时，把 y 看成是常数而对看成是常数而对 x 求导；求导；求求时，把时，把 x 看成是常数而对看成是常数而对 y 求导；求导；证证原结论成立原结论成立例例4 求求的偏导数。的偏导数。解解练习：练习：1.（1）（）（3）（）（5）解解不存在不存在证证结果不是结果不是1，说明偏导，说明偏导 不
2、能看成微商，但导数不能看成微商，但导数能看成微商。能看成微商。有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义: :练习：5.例例 5 5解解按定义可知：按定义可知：偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的
3、偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .二、高阶偏导数解解原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：练习：6.（1）（3）解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？例例 8 8解解按定义可知：按定义可知：问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？证毕证毕解解证：证：例例8 设设 ,证明：函数证明：函数 满足方程满足方程所以所以和和都叫拉普拉斯方程，都叫拉普拉斯方程，在研究热传导、流体运动等问题中有着重要的应用。在研究热传导、流体运动等问题中有着重要的应用。练习：8.偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练练 习习 题题练习题答案练习题答案
