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1、第五节第五节 正态分布正态分布一、正态分布的意义一、正态分布的意义1 1、客观世界确有许多现象的数据是服从正态分布的，因此可以用来配合这些现象、客观世界确有许多现象的数据是服从正态分布的，因此可以用来配合这些现象的样本分布从而发现这些现象的理论分布。的样本分布从而发现这些现象的理论分布。2 2、在适当的条件下，它可以用来作为二项分布及其它间断性随机变量或连续型随、在适当的条件下，它可以用来作为二项分布及其它间断性随机变量或连续型随机变量的近似分布，这样就可以用正态分布替代其它分布以计算概率和进行假设机变量的近似分布，这样就可以用正态分布替代其它分布以计算概率和进行假设测验。测验。3 3、虽然有
2、些总体不做正态分布，但从总体中随机抽取的样本平均数及其它一些统、虽然有些总体不做正态分布，但从总体中随机抽取的样本平均数及其它一些统计数的分布，在样本容量适当大时，仍然趋近于正态分布，因此可以用来研究这计数的分布，在样本容量适当大时，仍然趋近于正态分布，因此可以用来研究这些统计数的抽样分布。些统计数的抽样分布。1二、正态分布的密度函数和累积函数二、正态分布的密度函数和累积函数1、密度函数和正态曲线、密度函数和正态曲线 对于平均数是对于平均数是，标准差是，标准差是 的正态分布，其密度函数为：的正态分布，其密度函数为：其中：其中：- x 0 。2正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线正态分布
3、密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线x 决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越陡峭，数据越整齐。N N（ ， 2 2 ）N（156，4.82），），N（15，4）正态曲线有一组而不是一条正态曲线有一组而不是一条32、正态分布的累积函数、正态分布的累积函数对于任何总体分布，随机变量对于任何总体分布，随机变量X的值落入任意区间（的值落入任意区间（a，b）的概率，为：）的概率，为：4非标准正态分布：非标准正态分布：567三、标准正态分布三、标准正态分布称称 =0， =1时的正态分布为标准正态分布，记为时的正态分布为标准正态分布，记为N（0，1）。）
4、。1、标准正态分布的密度函数和累积函数、标准正态分布的密度函数和累积函数密度函数：密度函数：其中：其中：- u 8累积函数：累积函数：标准正态分布的分布曲线标准正态分布的分布曲线9标准正态分布的累积分布曲线标准正态分布的累积分布曲线u102、标准正态分布的特性、标准正态分布的特性 在在u=0时，时， （u）达到最大值）达到最大值 当当u不论向哪个方向远离不论向哪个方向远离0时，时，e的指数都变成一个绝对值值越来越大的负数，因的指数都变成一个绝对值值越来越大的负数，因此此 （u）的值都减小。）的值都减小。 曲线以纵坐标为对称轴，即曲线以纵坐标为对称轴，即 （u）= （-u）112、标准正态分布的
5、特性、标准正态分布的特性 曲线在曲线在 u=-1和和u=1处有两个拐点处有两个拐点 曲线和横轴所夹的面积为曲线和横轴所夹的面积为1 对于标准正态曲线的累积分布函数对于标准正态曲线的累积分布函数（u）的值，有编制好的数值表，从表中可）的值，有编制好的数值表，从表中可以查出以查出（u）的值。）的值。12 下列一些值很重要：下列一些值很重要：P（-1 u 1）=0.6827，P（ -2 u 2 ）=0.9543，P（-3 u 3）=0.9973，P（-1.96 u 1.96）=0.9500，P（-2.576 u 2.576）=0.990013四、正态分布表（累积函数表）的查法四、正态分布表（累积函数
6、表）的查法1、标准正态分布、标准正态分布随机变量落在某区间（随机变量落在某区间（a，b）内的概率，可以从标准正态分布表中查出。）内的概率，可以从标准正态分布表中查出。附表附表 2 列出了对于列出了对于 -2.99 U 2.99时的时的 （u）的值。）的值。附表附表2 正态分布表正态分布表查查 P (u -1.23）= （-1.23）= 0.10935 P (u 2.21) = （2.21）= 0.98645142、利用下面的一些关系式，从附表、利用下面的一些关系式，从附表2中可以查到一些常用的概率中可以查到一些常用的概率b、P（Uu）= (-u) a、P（0Uu） = 1- (u)15c、P（
7、| U| u）= 2 (-u) d、P（|U|u）= 1-2 (-u)e、P (u1Uu2) = (u2) - (u1)16例：例：P（-0.82 U 1.15）= (1.15) - (-0.82) = 0.87493 - 0.20611 = 0.66882 3、非标准正态分布：、非标准正态分布：常见的情形是常见的情形是 N（ ， 2），为了能够使用正态分布表，可将），为了能够使用正态分布表，可将N（ ， 2）化成）化成 N（0，1），），再按上述方法从正态分布表中查取相应的数值。再按上述方法从正态分布表中查取相应的数值。化为标准正态分布的方法：令：化为标准正态分布的方法：令：于是，于是，X的
8、累积函数：的累积函数：17例：已知例：已知“三尺三三尺三”高粱品种的株高分布服从正态分布高粱品种的株高分布服从正态分布 N N（156.2156.2，4.824.822 2）（）（cmcm），），求求 株高株高低于低于161cm161cm的概率，株高高于的概率，株高高于164cm164cm的概率和株高在的概率和株高在152cm152cm和和162cm162cm之间的概率？之间的概率？解：已知株高解：已知株高X X服从服从N N（156.2156.2，4.824.822 2），）， 当当X164cm时，时，当当152XFdf1,df2, ）= ， 称称 Fdf1,df2, 为为 的上侧分位数。的
9、上侧分位数。若若 P（ Fdf1，df2 Fdf1,df2,1- ）=1- ， 称称 Fdf1,df2,1- 为为 的下侧分位数。的下侧分位数。上侧分位数的表示方法：上侧分位数的表示方法：Fdf1，df2， 下侧分位数的表示方法：下侧分位数的表示方法：Fdf1，df2，1- 双侧分位数的表示方法：双侧分位数的表示方法：Fdf1，df2，1- /2 ， Fdf1，df2， /245若若 P（F F ）= ， 称称 F 为为 的上侧分位数。的上侧分位数。若若 P（F F1- ）=1- ， 称称 F1- 为为 的下侧分位数。的下侧分位数。即：即：P（F x)=0.95?P60： 3.170.050.95-u0.05= -1.645= -1.645 x=?55查表写出下列分位数：查表写出下列分位数：56查表写出下列分位数：查表写出下列分位数：57查表写出下列分位数：查表写出下列分位数：58
