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1、小结小结 思考题思考题 作业作业函数展开成幂级数函数展开成幂级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数泰勒级数泰勒级数 第十一章第十一章 无穷级无穷级数数1 所以有了函数展开成的幂级数所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的那末函数的多项式逼近、函数值的近似计算多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了微分方程问题就应刃而解了. 将函数展开为幂级数的形式将函数展开为幂级数的形式,在理论上和在理论上和应用中都是十分重要的应用中都是十分重要的. 如如,对函数作数值分析时对函数作数值分析时,总离不开多项式逼总离不开多项式逼近给定的函数近给定的函数,而幂级
2、数的部分和恰是多项式而幂级数的部分和恰是多项式. 问问: 哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?幂级数的系数如何确定幂级数的系数如何确定? 这是本节要讨论的主要问题这是本节要讨论的主要问题.2一、泰勒级数一、泰勒级数以以f (x)为和函数为和函数1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?上节例题上节例题存在幂级数在其收敛域存在幂级数在其收敛域内内函数展开成幂级数函数展开成幂级数3的某邻域内的某邻域内有有n+1阶导数阶导数, 则则 f (x)可表为可表为: 公式公式
3、(1)是函数是函数f(x)在在x0处展开的处展开的泰勒公式泰勒公式,其中其中 介于介于x与与x0之间之间.回顾回顾Rn(x)是拉格朗日余项是拉格朗日余项.若函数若函数f (x)在在x0第三章第三节泰勒公式第三章第三节泰勒公式:(1)函数展开成幂级数函数展开成幂级数4如函数如函数f (x)在在x0的某邻域内是的某邻域内是(2)称幂级数称幂级数(2)为函数为函数 f (x)在在x0处的处的 f (x)是否可展为如下的幂级数是否可展为如下的幂级数:自然会想到自然会想到: 不管怎样不管怎样泰勒级数泰勒级数. .无穷次连续无穷次连续可微的可微的, ,函数展开成幂级数函数展开成幂级数5 显然显然,泰勒级数
4、泰勒级数(2)在什么范围上在什么范围上,收敛于函收敛于函数数 f (x),特别特别,为函数为函数 f (x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数. .取决于取决于在什么范围上有在什么范围上有当当x0 = 0时时,称幂级数称幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数6证证 必要性必要性定理定理1 1函数展开成幂级数函数展开成幂级数7充分性充分性设设函数展开成幂级数函数展开成幂级数8证证 由于幂级数在收敛区间内可逐项微分由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,定理定理2(2(函数幂级数展开的唯一性函数幂级数展开的唯一性) )于是于是函数展开成幂级数函数展开成幂级数9泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,泰勒系数泰勒系数
5、函数展开成幂级数函数展开成幂级数所以所以, f (x)的展开式是唯一的的展开式是唯一的.10问题问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f (x)?不一定不一定. .可见可见在在x = 0点任意可导点任意可导,函数展开成幂级数函数展开成幂级数 f (x)的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于f (x).111. 直接展开法直接展开法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤(2) 写出泰勒级数写出泰勒级数并求收敛半径并求收敛半径R.如如二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数 则则级数在收敛区间内收敛于级数在收敛区间内收敛于f (x).1
6、2例例解解其收敛半径其收敛半径因因泰勒公式的余项泰勒公式的余项(介于介于0, x之间之间)它满足不等式它满足不等式R = +.函数展开成幂级数函数展开成幂级数13对任一确定的对任一确定的是处处收敛的幂级数是处处收敛的幂级数 的一般项的一般项.是确定的数是确定的数,而而所以在所以在 上恒有上恒有有展开公式有展开公式于是于是,函数展开成幂级数函数展开成幂级数14例例解解其收敛半径其收敛半径对对 内任一点内任一点x,有有R = +.函数展开成幂级数函数展开成幂级数15于是于是,有展开公式有展开公式函数展开成幂级数函数展开成幂级数16例例解解函数展开成幂级数函数展开成幂级数17所以所以 的泰勒级数的收
7、敛区间是的泰勒级数的收敛区间是对不同的对不同的 为了避免讨论余项的极限为了避免讨论余项的极限,设在区间设在区间的泰勒级数和函数的泰勒级数和函数s(x),即设即设下面证明下面证明由逐项求导得由逐项求导得函数展开成幂级数函数展开成幂级数敛散性不同敛散性不同.18两边同乘以两边同乘以(1 + x)后后,注意右边方括号内的注意右边方括号内的 xn 系数为系数为函数展开成幂级数函数展开成幂级数19两边积分两边积分得得牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注注注注函数展开成幂级数函数展开成幂级数20双阶乘双阶乘函数展开成幂级数函数展开成幂级数21 常见的展开式常见的展开式函数展开成幂级数函数展开成幂级数22 将
8、函数用直接展开法展开为幂级数将函数用直接展开法展开为幂级数,而且对许多函数来说求各阶导而且对许多函数来说求各阶导与讨论拉格朗日型余项与讨论拉格朗日型余项 Rn(x) 趋于零的范围趋于零的范围下面介绍下面介绍计算工作量大计算工作量大.一般一般数数间接展开法间接展开法. .都是困难的都是困难的.函数展开成幂级数函数展开成幂级数232. .间接展开法间接展开法 根据展开的唯一性根据展开的唯一性, 它与直接展开法得到它与直接展开法得到的结果是一致的的结果是一致的.利用常见展开式及等比级数的和等利用常见展开式及等比级数的和等, 通过通过逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分, 变量代换变量代换,四则运算四则
9、运算,恒等恒等变形变形等方法等方法,求展开式求展开式.函数展开成幂级数函数展开成幂级数24例例(1) 逐项求导逐项求导, 逐项积分法逐项积分法 展开展开为为x的幂级数的幂级数.解解函数展开成幂级数函数展开成幂级数25例例展开为展开为x的幂级数的幂级数.解解而而函数展开成幂级数函数展开成幂级数26例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数.解解而而注注利用间接展开法时利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛要注意区间端点的收敛性性.函数展开成幂级数函数展开成幂级数27有有有有函数展开成幂级数函数展开成幂级数28 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分解解例例函数展开成幂级数函数展开成幂
10、级数29函数展开成幂级数函数展开成幂级数30 1994年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分解解由牛由牛莱公式莱公式得得例例函数展开成幂级数函数展开成幂级数31(2) 变量代换变量代换法法例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.解解 作作变量代换变量代换函数展开成幂级数函数展开成幂级数32例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.解解 将将 作作下述下述变形变形, 再利用再利用变量代换变量代换函数展开成幂级数函数展开成幂级数33相当于相当于即即注注注注 今后为了书写简单起见今后为了书写简单起见,常可以不将常可以不将新的变量写
11、出新的变量写出.函数展开成幂级数函数展开成幂级数34例例解解函数展开成幂级数函数展开成幂级数35函数展开成幂级数函数展开成幂级数36解解展开区间展开区间函数展开成幂级数函数展开成幂级数37(3) 四则运算四则运算例例函数展开成幂级数函数展开成幂级数38例例 将将 展为展为x的幂级数的幂级数.解解相乘得相乘得函数展开成幂级数函数展开成幂级数39例例 将将 展为展为x的幂级数的幂级数.解解逐项积分得逐项积分得函数展开成幂级数函数展开成幂级数40熟记下面函数的展开式熟记下面函数的展开式函数展开成幂级数函数展开成幂级数41函数展开成幂级数函数展开成幂级数42常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数
12、函数展开成幂级数函数展开成幂级数43例例 求常数项级数求常数项级数 的和的和.解解在在x = 1时对应的级数时对应的级数. 显然这个幂级数收敛域为显然这个幂级数收敛域为故先求此故先求此幂级数的和函数幂级数的和函数.分析分析这个常数项级数是幂级数这个常数项级数是幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数44所以所以函数展开成幂级数函数展开成幂级数45 求常数项级数求常数项级数 的和的和.法一法一解解函数展开成幂级数函数展开成幂级数46法二法二逐项积分逐项积分故故 当当 x = 1时，时， 得得分析分析令令 x = 1,得得函数展开成幂级数函数展开成幂级数47法三法三令令上式两边求导得上式两边求导得令
13、令 x=1,得得分析分析函数展开成幂级数函数展开成幂级数48 将函数将函数展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.解解端点无定义端点无定义函数展开成幂级数函数展开成幂级数49泰勒级数收敛于函数的充分必要条件泰勒级数收敛于函数的充分必要条件函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法:熟记熟记6个基本的展开式个基本的展开式三、小结三、小结函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数幂级数展开的唯一性函数幂级数展开的唯一性间接展开法间接展开法50思考题思考题答答函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数函数f (x)在点在点x0处处“有泰勒级数有泰勒级数”与与“能能展开展开成泰勒级数成
14、泰勒级数”这两种说法相同吗这两种说法相同吗?试说明之试说明之.这两种说法不同这两种说法不同,分别叙述如下分别叙述如下:如果如果f (x)在点在点x0的某一邻域内具有各阶导数的某一邻域内具有各阶导数,那么级数那么级数就称为就称为f (x)在点在点x0处的泰勒级数处的泰勒级数.如果如果f (x)在点在点x0的某一邻域的某一邻域U(x0)内具有各内具有各阶阶(1)且且f (x)在点在点x0处的泰勒级数处的泰勒级数(1)收敛于收敛于f (x),且且导数导数,在在U(x0)内内成立成立,51思考题思考题函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数函数f (x)在点在点x0处处“有泰勒级数有泰勒级数”与与“能能展
15、开展开成泰勒级数成泰勒级数”这两种说法相同吗这两种说法相同吗?试说明之试说明之.那么那么(1)就称为就称为f (x)在点在点x0处的泰勒级数展开式处的泰勒级数展开式,这时也说这时也说f (x)在点在点x0处能展开成泰勒级数处能展开成泰勒级数. 由此可知由此可知,函数函数f (x)在点在点x0处处“有泰勒级数有泰勒级数”与与“能展开成泰勒级数能展开成泰勒级数”是两个不同的概念是两个不同的概念.在点在点x0处有处有泰勒级数泰勒级数 f (x)(1)仅指仅指x = x0时的时的泰勒级数泰勒级数收敛于收敛于f (x0), 除了除了x = x0外外,这这级数是否级数是否收敛收敛, 如果收敛是否收敛于如果收敛是否收敛于f (x)都是都是未知的未知的.对应地对应地, f (x)在点在点x0处能展开成泰勒级数处能展开成泰勒级数,则说则说明明f (x)在点在点x0的某一邻域内的某一邻域内泰勒级数泰勒级数(1)不仅收不仅收敛而且敛而且收敛于收敛于f (x).52作作 业业习题习题11-4(22311-4(223页页) ) 2.(2) (3) (4) (6) 4. 6.函数展开成幂级数函数展开成幂级数53
