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1、数学模型与数学建模之数学模型与数学建模之E-mail: 一元线性回归分析1；.回归分析的几个任务回归分析的几个任务（1 1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；（2 2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著；哪些变量的影响显著，哪些不显著；（3 3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变
2、量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度；并给出这种预测或控制的精确程度；2；.一个自变量一个自变量一个自变量一个自变量两个及以上自变量两个及以上自变量两个及以上自变量两个及以上自变量回归分析回归分析多元回归多元回归一元回归一元回归线性回归线性回归非线性回归非线性回归线性回归线性回归非线性回归非线性回归回归分析的分类回归分析的分类3；.一元线性回归模型一元线性回归模型4；.样本回归函数与总体回归函数区别样本回归函数与总体回归函数区别1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，
3、便可以拟合一条样本回归线。可以拟合一条样本回归线。2、总体回归函数中的、总体回归函数中的0和和1是未知的参数，表现为常数。而样本回归函数中的是未知的参数，表现为常数。而样本回归函数中的 是随机变是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。3、总体回归函数中的、总体回归函数中的ut是是t与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的本回归函数中的t 是是t与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合
4、出样本回归线之后，可以计算出归线之后，可以计算出t 的具体数值。的具体数值。5；.误差项的基本标准假定误差项的基本标准假定XYtY 。 。 。ut 6；.参数参数 0和和 1的点估计的点估计最小二乘法：最小二乘法：通过使得残差平方和（各样本点通过使得残差平方和（各样本点与拟合直线的纵向距离的平方和）与拟合直线的纵向距离的平方和）为最小来估计回归系数的一种方为最小来估计回归系数的一种方法。法。7；.8；.9；.食品序号食品序号脂肪脂肪X Xt t热量热量Y Yt tX Xt t平方平方Y Yt t平方平方X Xt tY Yt t1 14 4110110161612100121004404402
5、26 6120120363614400144007207203 36 6120120363614400144007207204 48 816416464642689626896131213125 51919430430361361184900184900817081706 611111921921211213686436864211221127 712121751751441443062530625210021008 812122362361441445569655696283228329 9262642942967667618404118404111154111541010212131831
6、84414411011241011246678667811111111249249121121620016200127392739121216162812812562567896178961449644961313141416016019619625600256002240224014149 9147147818121609216091323132315159 9210210818144100441001890189016165 512012025251440014400600600求和求和18918934613461279927999077179077174952649526例例10；.11
7、；.总体方差总体方差2 2估计估计12；.最小二乘估计的性质最小二乘估计的性质13；.根据误差项的基本标准假定根据误差项的基本标准假定可以证明可以证明参数参数 0 0和和 1 1的区间估计的区间估计14；.15；.16；.回归分析的回归分析的ExcelExcel实现实现“工具工具”-“数据分析数据分析”-“回归回归” 17；.18；.一元线性回归模型的检验一元线性回归模型的检验回归模型的检验包括：理论意义的检验、一级检验、二级检验。回归模型的检验包括：理论意义的检验、一级检验、二级检验。(1)理论意义检验：主要检查参数估计值的符号和取值区间的合理性，如果它们与实质性科学理论意义检验：主要检查参
8、数估计值的符号和取值区间的合理性，如果它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验不相符，则说明模型不能很好地解释现实的现象。的理论以及人们的实践经验不相符，则说明模型不能很好地解释现实的现象。(2)一级检验：又称为统计学检验，具体分为拟合程度评价和显著性检验（回归方程的显著性一级检验：又称为统计学检验，具体分为拟合程度评价和显著性检验（回归方程的显著性检验和回归方程中参数的显著性检验）。检验和回归方程中参数的显著性检验）。(3)二级检验：对标准线性回归模型的假定条件能否满足进行检验，主要包括：序列相关检验、二级检验：对标准线性回归模型的假定条件能否满足进行检验，主要包括：序列相关检验、异方差检验
9、、多重共线性检验等。异方差检验、多重共线性检验等。19；.拟合程度评价拟合程度评价拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧 密程度密程度.20；.决定系数越大，模型拟合程度越好；决定系数越小，模型拟合程度越差；决定系数越大，模型拟合程度越好；决定系数越小，模型拟合程度越差；对于一元线性回归分析，决定系数就是两变量之间相关系数的平方。对于一元线性回归分析，决定系数就是两变量之间相关系数的平方。21；.22；.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验离差名称离差名称平方和平方和自由度自由度均方差均方差F回归平方和回归平方和SSR1SSR/1残差平
10、方和残差平方和SSEn-2SSE/n-2总离差平方和总离差平方和SSTn-123；.P值是由检验统计量的样本观察值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平。值是由检验统计量的样本观察值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平。P值越小值越小(P值小于显著性水平值小于显著性水平)，越拒绝原假设。，越拒绝原假设。24；.回归方程的显著性检验过程回归方程的显著性检验过程25；.参数的显著性检验参数的显著性检验26；.27；.一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测28；.29；.续例：假定一种新型点心中含有续例：假定一种新型点心中含有10克脂肪，利用样本的回归方程和相关数据，计算置信度为克脂肪，利用样本
11、的回归方程和相关数据，计算置信度为95%的热量的预测区间的热量的预测区间.30；.回归分析的回归分析的SPSS实现实现“Analyze-Regression-Linear”31；.32；.33；.34；.练习：练习：某国营农场在试验田上研究耕种深度对水稻产量的关系，所得资料如下表。要求某国营农场在试验田上研究耕种深度对水稻产量的关系，所得资料如下表。要求: :(1)(1)试求水稻产量与耕种深度的直线回归方程；试求水稻产量与耕种深度的直线回归方程；(2)(2)计算相关系数；计算相关系数；(3)(3)在显著性水平在显著性水平=0.05=0.05时，对回归方程进行显著性检验；时，对回归方程进行显著性
12、检验；(4)(4)计算估计标准误差；计算估计标准误差；(5)(5)若耕种深度为若耕种深度为1717厘米，在厘米，在95%95%的概率保证下，试推算水稻产量的区间范围。的概率保证下，试推算水稻产量的区间范围。耕种深度（厘米）耕种深度（厘米）81012141618公顷产量（吨）公顷产量（吨）6.07.57.89.210.812.035；.36；.离差名称离差名称平方和平方和自由度自由度均方差均方差F回归平方和回归平方和24.37124.37187.46残差平方和残差平方和0.5240.13总离差平方和总离差平方和24.89537；.38；.作业：作业：( (要求有过程）要求有过程）为了研究旅行社广
13、告费用对销售额的影响，收集到为了研究旅行社广告费用对销售额的影响，收集到7 7家旅行社的销售额与广告费用的数据如家旅行社的销售额与广告费用的数据如下表。要求下表。要求: :(1)(1)试求广告费用与销售额的直线回归方程；试求广告费用与销售额的直线回归方程；(2)(2)计算相关系数；计算相关系数；(3)(3)在显著性水平在显著性水平=0.05=0.05时，对回归方程进行显著性检验；时，对回归方程进行显著性检验；(4)(4)计算估计标准误差计算估计标准误差; ;(5)(5)若广告费用为若广告费用为45004500，在，在95%95%的概率保证下，试销售额的区间范围。的概率保证下，试销售额的区间范围。用到的分位点查用到的分位点查概率论与数理统计概率论与数理统计教材教材广告费用广告费用2000200050003000900080007000销售额销售额1500030000300002500055000450006000039；.谢谢 谢谢 大大 家家40；.
