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1、第三节由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .分部积分法 第四四章 (Integration by parts)1分部积分公式 formula of integration by parts 2分部积分法常见类型分部积分法常见类型: (1)指数函数或三角函数与多项式的乘积. 例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.例如,解题技巧解题技巧:按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数3例例1. 求解解: 令则 原式思考思考: 如何求提
2、示提示: 令则原式4例例2. 求解解: 令则原式 =5例例3. 求解解: 令则 原式6例例4. 求解解: 令, 则原式 =7例例5. 求解解: 令, 则原式 =8例例6. 求解解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 9例例. 求 与10例例7. 求解解: 令则 原式 =11例例8. 求解解: 令则 原式 =12 总结总结13 有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的 两类不定积分: 方法方法: 配元, 化为标准型, 然后根据上述公式即可得.14例例. 求15例例11. 求解解: 令则原式令16例例9. 求解解: 令则得递推
3、公式17说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,18例例10. 证明递推公式证证:注注:或19说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .20例例12. 求解法解法1 先换元后分部令即则故21解法解法2 用分部积分法22例例13. 已知的一个原函数是求解解:说明说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.23内容小结内容小结 分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂
4、指三反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式4. 计算格式 :24练习练习. 求解解: 令则可用表格法求多次分部积分25练习练习. 求解解: 令则原式原式原式原式 =26思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .272. 求对比 P370 公式(128) , (129)提示提示:28作业作业 P213 1-2429备用题备用题.1.求不定积分解解： 方法1(先分部 , 再换元)令则30方法方法2(先换元,再分部)令则故312. 求解解: 原式 =323. 求解解: 令则 原式 =33 求下列不定积分：3435
