《抽象代数群的定义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抽象代数群的定义（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 群的定义群的定义 n设非空集设非空集S上有一个运算上有一个运算 ,n1、如果运算满足结合律，则称、如果运算满足结合律，则称(S,)是是半群半群。n2、如果半群、如果半群S中有一个元素中有一个元素 e 满足满足 aS有有n e a = a e = a，n则称则称(S, e) 是是幺半群幺半群，称称e为为单位元单位元 或或幺元幺元。n3、如果幺半群、如果幺半群S满足满足 aS有有S使得使得n a = a = en则称则称 a 是是可逆元可逆元，并称是，并称是 a 的一个的一个逆元逆元。n注注：通常用：通常用 1 表示单位元。表示单位元。8/1/20241群定义群定义n命命题题 若若 a 是是可可
2、逆逆元元，则则 a 的的逆逆元元是是唯唯一的，记为一的，记为 an证明：证明：若若 a 有两个逆元有两个逆元和和，即有，即有n ab=ba=1, ac=ca=1n b=1b=cab=c1=c. n5、如如果果幺幺半半群群S的的每每个个元元素素都都有有逆逆元元，则则称是一个称是一个群群 (group)。n运算满足交换律的群称为运算满足交换律的群称为交换群交换群.8/1/20242群定义群定义n6、对群、对群G中的元中的元 a 和正整数和正整数 n n an 表示表示 n 个个 a 相乘相乘;n a-n =(a-1)n, a0 = 1n7、验证：验证： amn =(am)n ; am+n =am
3、an.8/1/20243几个问题几个问题:n(1)、为什么要求群的运算满足结合律为什么要求群的运算满足结合律? n(2)、为什么要有单位元？为什么要有单位元？n(3)、逆元的存在性有何运算意义逆元的存在性有何运算意义? ? 8/1/20244 群的例子群的例子 n再明确一下群的概念再明确一下群的概念n定义定义设是一个设是一个非空集合，如果上非空集合，如果上定义了一个运算满足定义了一个运算满足n（）（）结合律结合律 a,b,cA 有有 (ab)c=a(bc)；n（）有单位元有单位元 e： aA有有ea=ae=a；n（）有逆元有逆元 aG，有，有 b 使得使得n ab=ba=en(其中其中 b 称
4、为称为 a 的的逆元逆元，记为，记为 a )。n则称是一个群则称是一个群n注意注意：记住验证运算的封闭性！：记住验证运算的封闭性！8/1/202451.群的概念和例子群的概念和例子n例例实集实集、有理数集、整数集关于数的有理数集、整数集关于数的加法都是加法都是交换群交换群（满足交换律的群）；（满足交换律的群）；n关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？n规定：规定：只有交换群的运算符才能用加号只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。表示。n当交换群当交换群G的运算符才能用加号的运算符才能用加号“+”表示时，则表示时，则称称G为为加群加群。n例正实集例正实集、正有理数集正有理数集关于数的乘法关于
5、数的乘法都是交换群；都是交换群；n正整数集正整数集关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？8/1/202468/1/202471.群的概念和例子群的概念和例子例例域上的全体域上的全体 n 阶可逆方阵阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的法构成一个群，称为上的 n 阶阶一般线性群一般线性群即即 ,GLn(F)，有，有ABGLn(F)封闭性封闭性 可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，结合律结合律:矩阵的乘法满足结合律；矩阵的乘法满足结合律；单位元单位元:单位矩阵就是单位元；单位矩阵就是单位元；逆逆 元元: GLn(F)，可逆，可逆，A的逆矩阵就是的
6、逆矩阵就是的逆元的逆元8/1/202481.群的概念和例子群的概念和例子n例例域上的行列式为域上的行列式为1的全体的全体n阶方阵之集阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为上关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的的n阶阶特殊特殊线性群线性群n例例6实数域实数域R上的全体上的全体n阶正交矩阵之集阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶阶正交正交群群8/1/20249n例例7向量空间向量空间V上的全体可逆线性变换上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群关于变换的合成运算构成一个群n例例8 n 维欧氏维欧氏空间空间V上的上的全体全体正交变换之集正交变换之集On(V)关于关于变换的合成运算变换的合成运算构成一个群构成一个群n例例9平面上绕一定点按同一方向旋转平面上绕一定点按同一方向旋转 2k / n 的变换记为的变换记为 k ，则，则 1, 2, , n 关于变换的关于变换的合成运算构成一个群。合成运算构成一个群。8/1/202410作业：作业：P17: 1, 5, 6, 98/1/202411
