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1、1第第2 2章章 信号信号2本章主要内容本章主要内容l信号分类信号分类l信号的性质傅立叶变换信号的性质傅立叶变换l随机信号的性质概率随机信号的性质概率l随机过程随机过程l信号通过线性系统信号通过线性系统3目标要求目标要求l 重点、难点重点、难点 重点是：重点是： 正态分布、瑞利分布、莱斯分布、均匀分布特正态分布、瑞利分布、莱斯分布、均匀分布特性的理解和掌握，平稳随机过程及其数字特征性的理解和掌握，平稳随机过程及其数字特征的理解和掌握。的理解和掌握。 难点是：难点是： 高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程的理解、分析和掌握。斯过程的理解、分析和掌握。
2、4主要内容主要内容 2.1 2.1 信号的类型信号的类型 2.2 2.2 确知信号的性质确知信号的性质 2.3 2.3 随机信号的性质随机信号的性质 2.4 2.4 常见随机变量举例常见随机变量举例 2.5 2.5 随机变量的数字期望随机变量的数字期望 2.6 2.6 随机过程随机过程5主要内容主要内容 2.7 2.7 高斯过程高斯过程 2.8 2.8 窄带随机过程窄带随机过程 2.9 2.9 正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程 2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统 小结小结 思考题、习题思考题、习题62.1 信号的类型 确知信号和随机信号 什么是确知信号什么是确知信号?
3、 ? 什么是随机信号什么是随机信号? ?72.1 信号的类型信号的功率信号的功率: :设设 R = 1, R = 1, 则则 P = VP = V2 2/R = I/R = I2 2R = VR = V2 2 = I = I2 2信号的能量信号的能量：设设S S代表代表V V或或I I，若，若S S随时间变化，则写为随时间变化，则写为s(t)s(t)，于是，信号的能量，于是，信号的能量 E = E = s s2 2(t)dt(t)dt能量信号：能量信号：满足满足 平均功率：平均功率： ，故能量信号的，故能量信号的P = 0P = 0。功率信号：功率信号：P P 0 0 的信号，即持续时间无穷的
4、信号。的信号，即持续时间无穷的信号。l能量信号和功率信号能量信号和功率信号82.1 信号的类型l能量信号和功率信号能量信号和功率信号 能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为0 0。 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。92.2 确知信号性质 矩形脉冲函数矩形脉冲函数：tT0-/ 2/ 2g(t)102.2 确知信号性质 阶跃函数阶跃函数：t10u(t)112.2 确知信号性质2.2.1频域性质 功率信号的频谱功率信号的频谱： 设设s(t)s(t)为周期性功率信号，为周期性功率信号，T T0 0为周期，则有为周期，则有式中式中
5、， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是是复数复数，式中式中，|Cn| 频率为频率为nfnf0 0的分量的振幅；的分量的振幅； n 频率为频率为nfnf0 0的分量的相位。的分量的相位。信号信号s(t)s(t)的傅里叶级数表示法：的傅里叶级数表示法：频谱是离散频谱是离散的，包含各的，包含各次谐波的振次谐波的振幅和相位幅和相位12【例2.1】 试求周期性方波的频谱。试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为解：设一周期性方波的周期为T T，宽度为，宽度为 ，幅度为幅度为V V 求频谱：求频谱： tV0-/ 2/ 2T-Tf(t)13例例2.1 2.1 频谱图频谱图2.2
6、确知信号性质2.2.1频域性质14【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为：解：设此信号的表示式为： 1f(t)t2.2 确知信号性质2.2.1频域性质15 求频谱：求频谱： 信号的傅立叶级数形式信号的傅立叶级数形式2.2 确知信号性质2.2.1频域性质162.2 确知信号性质2.2.1频域性质例例2.2 2.2 频谱图频谱图17设一能量信号为设一能量信号为s(t)s(t)，则其频谱密度为：，则其频谱密度为：S(S( ) )的逆变换为原信号：的逆变换为原信号： 2.2 确知信号性质2.2.1频域性质 能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度18
7、【例例2.32.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为：解：设此矩形脉冲的表示式为：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换则它的频谱密度就是它的傅里叶变换2.2 确知信号性质2.2.1频域性质t10-/ 2/ 2g(t) 02/ -2/ -4/ 4/ G( )19【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。试求抽样函数的波形和频谱密度。解：解：抽样函数的定义是抽样函数的定义是 而而Sa(t)Sa(t)的频谱密度为：的频谱密度为： 和上例比较可知，和上例比较可知，Sa(t)Sa(t)的波形和上例中的的波形和上例中的G(G( ) )曲曲线相同，而线相同，而
8、Sa(t)Sa(t)的频谱密度的频谱密度Sa(Sa( ) )的曲线和上例中的的曲线和上例中的g(t)g(t)波形相同。波形相同。2.2 确知信号性质2.2.1频域性质20【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为解：单位冲激函数常简称为 函数，其定义是：函数，其定义是： (t)(t)的频谱密度：的频谱密度：2.2 确知信号性质2.2.1频域性质21 (t)(t)及其频谱密度的曲线：及其频谱密度的曲线： 函数的物理意义：函数的物理意义： 高度为高度为无穷大无穷大，宽度为，宽度为无穷小无穷小，面积为，面积为1 1的的脉冲。脉冲。f (f)10t (t
9、)02.2 确知信号性质2.2.1频域性质22 用抽样函数用抽样函数Sa(t)Sa(t)表示表示 函数：函数： Sa(t)Sa(t)有如下性质：有如下性质： 当当 k k 时，振幅时，振幅 ，波，波形的零点间隔形的零点间隔 0 0， 故有：故有：2.2 确知信号性质2.2.1频域性质ttt23 函数的性质函数的性质u对对f(t)f(t)的抽样：的抽样：u 函数是偶函数：函数是偶函数：u 函数是单位阶跃函数的导数：函数是单位阶跃函数的导数：u (t) = (t) t10图图2.2.6 单位阶跃函数单位阶跃函数2.2 确知信号性质2.2.1频域性质24 能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度S(f)
10、S(f)和功率信号的和功率信号的频谱频谱C(jnC(jn 0 0) )的区别的区别: :u S(f) S(f) 连续谱；连续谱； C(jnC(jn 0 0) ) 离散谱离散谱u S(f)S(f)的单位：的单位：V/HzV/Hz； C(jnC(jn 0 0) ) 的单位：的单位：V Vu S(f) S(f)在一频率点上的幅度无穷小。在一频率点上的幅度无穷小。2.2 2.2 确知信号性质确知信号性质2.2.12.2.1频域性质频域性质25傅立叶变换性质傅立叶变换性质时域频域周期信号频谱离散非周期信号频谱连续离散信号（数字信号）频谱周期连续信号频谱非周期周期周期 离散离散非周期非周期 连续连续26【
11、例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为解：设一个余弦波的表示式为f f ( (t t) = cos) = cos 0 0t t，则其频谱密度则其频谱密度F F( ( ) )按式按式(2.2-10)(2.2-10)计算，可以写为计算，可以写为上式可以改写为上式可以改写为2.2 确知信号性质2.2.1频域性质272.2 确知信号性质2.2.1频域性质t0 00(b) 频谱密度频谱密度(a) 波形波形28须掌握的傅氏变换对须掌握的傅氏变换对1. 1. 单位冲激单位冲激2. 2. 单位阶跃单位阶跃3. 3. 单边指数函数单边指数函数4. 4. 双
12、边指数函数双边指数函数5. 5. 门函数门函数6. 6. 正弦函数（余弦函数）正弦函数（余弦函数）29 信号与线性系统中讲的一些变换信号与线性系统中讲的一些变换有什么作用？有什么作用？30能量谱密度能量谱密度设一个能量信号设一个能量信号s s( (t t) )的能量为的能量为E E，则其能量由下，则其能量由下式决定：式决定： 若此信号的频谱密度为若此信号的频谱密度为S(f)S(f)，则由巴塞伐尔，则由巴塞伐尔（ParsevalParseval）定理得知：）定理得知： 上式中上式中|S(f)|S(f)|2 2称为能量谱密度，也可以看作是称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。单位频带内
13、的信号能量。2.2 确知信号性质2.2.1频域性质31 上式可以改写为：上式可以改写为： 式中，式中，G(f)G(f)|S(f)|S(f)|2 2 （J / HzJ / Hz） 为能量谱密度。为能量谱密度。G(f)G(f)的性质：因的性质：因s(t)s(t)是实函数，故是实函数，故|S(f)|S(f)|2 2 是偶函数是偶函数 2.2 确知信号性质2.2.1频域性质32功率谱密度功率谱密度令令s(t)s(t)的截短信号为的截短信号为s sT T(t)(t)，-T/2 t T/2-T/2 t T/2，则有，则有定义功率谱密度为：定义功率谱密度为：得到信号功率：得到信号功率：2.2 确知信号性质2
14、.2.1频域性质33确知信号的频域性质l频谱函数 功率信号l频谱密度 能量信号l能量谱密度 G(f)G(f)|S(f)|S(f)|2 2 l功率谱密度 34l自相关函数自相关函数能量信号的自相关函数定义：能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质：性质：R(R( ) )只和只和 有关，和有关，和 t t 无关无关当当 = 0= 0时，能量信号的时，能量信号的R(R( ) )等于信号的能量；等于信号的能量； 功率信号的功率信号的R(R( ) )等于信号的平均功率。等于信号的平均功率。2.2 确知信号性质2.2.2时域性质35l 互相关函数互相关函数 能量信
15、号的互相关函数定义：能量信号的互相关函数定义： 功率信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义： 性质：性质：R R1212( ( ) )只和只和 有关，和有关，和t t无关：无关：证：令证：令x x= =t t+ + ，则，则 2.2 确知信号性质2.2.2时域性质362.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布l 随机变量的概念：随机变量的概念： 若某种试验若某种试验A A的随机结果用的随机结果用X X表示，则称此表示，则称此X X为一个随机变量，并设它的取值为为一个随机变量，并设它的取值为x x。 例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随
16、机变量。次数是一个随机变量。 372.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布l随机变量的分布函数：随机变量的分布函数： 定义：随机变量定义：随机变量X取值不超过某个数取值不超过某个数x的概率的概率P(X x) 是取值是取值x x的函数，记为的函数，记为 FX(x) = P(X x) 函数函数FX(x) 即为随机变量即为随机变量X的分布函数。的分布函数。 性质性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) 38 离散随机变量的分布函数：离散随机变量的分布函数：设设X X的取值为：的取值
17、为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有则有P (X x1) = 0, P(X xn) = 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),性质：性质：u FX(- ) = 0u FX(+ ) = 1u 若若x1 x2，则有，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。，为单调增函数。2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布39 连续随机变量的分布函数：连续随机变量的分布函数： 当当x x连续时，由定义分布函数定义连续时，由定义分布函数定义 FX(x) = P(X x) 可
18、知可知， FX(x) 为一连续单调递增函数为一连续单调递增函数：2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布40l 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX(x) pX (x)的定义的定义： pX (x)的意义的意义： pX (x)是是FX (x)的导数，是的导数，是FX (x)曲线的斜率曲线的斜率 能够从能够从pX (x)求出求出P(a 0, a = 0, a = 常数常数 概率密度曲线概率密度曲线：43l 均匀分布随机变量均匀分布随机变量 定义定义：概率密度概率密度 式中，式中，a a，b b为常数为常数 概率密度曲线：概率密度曲线：bax0pA(x)2.4 常见随机变量举例44l
19、瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)分布随机变量分布随机变量 定义定义：概率密度为概率密度为 式中，式中，a a 0 0，为常数。，为常数。 概率密度曲线概率密度曲线：2.4 常见随机变量举例452.5 随机变量的数字特征数学期望数学期望l 定义：对于连续随机变量，其数学期望可以定义定义：对于连续随机变量，其数学期望可以定义为：为： 式中，式中，p pX X(x)(x)为随机变量为随机变量X X的概率密度。的概率密度。 l数学期望又称为统计平均值。数学期望又称为统计平均值。 462.5 随机变量的数字特征数学期望数学期望l 性质：性质： 若若X X和和Y Y互相独立，且互相独立，且
20、E E( (X X) )和和E E( (Y Y) )存在存在。 47 方差方差l 定义：随机变量定义：随机变量X的方差是随机变量的方差是随机变量X与其数学与其数学期望之差的平方的数学期望期望之差的平方的数学期望式中式中方差还可改写为：方差还可改写为： 对于离散随机变量，对于离散随机变量，对于连续随机变量，对于连续随机变量， 2.5 随机变量的数字特征48 方差方差l 性质性质： 常量的方差等于常量的方差等于0 0，即，即D( C ) = 0 设设D(X)D(X)存在，存在，C C为常量，则：为常量，则： D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) 设设D(X)D(X) 和和D(X)D(X
21、)都存在，且都存在，且X X和和Y Y互相独立，则：互相独立，则： D(X+Y)=D(X)+D(Y) 同样，对于多个互相独立的随机变量：同样，对于多个互相独立的随机变量：D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn) 2.5 随机变量的数字特征49矩矩l定义定义：随机变量随机变量X X的的k k阶矩定义为阶矩定义为 k阶原点矩：阶原点矩：a a = 0 = 0时的矩：时的矩： k阶中心矩：阶中心矩： 时的矩：时的矩：2.5 随机变量的数字特征50矩矩l 显然显然， 一阶原点矩为数学期望：一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：二阶中心矩为方差：2.5 随机变
22、量的数字特征512.6 2.6 随机过程随机过程 1.定义：定义：随着时间随着时间t t而变化的随机变量，称为随机过程。而变化的随机变量，称为随机过程。也就是说，随机过程可以看成是由一个事件也就是说，随机过程可以看成是由一个事件A A的全部可能的全部可能“实现实现”构成的总体，记为构成的总体，记为X(A,t)X(A,t)。 （1 1）几种表示的意义：）几种表示的意义： X(A,t)X(A,t)事件事件A A的全部可能的全部可能“实现实现”的总体；的总体； X(AX(Ai i,t),t)事件事件A A的一个实现，为确定的时间函数；的一个实现，为确定的时间函数； X(A,tX(A,tk k) )在
23、给定时刻在给定时刻t tk k上的函数值。上的函数值。简记：简记：X(A,t) X(A,t) X(t)X(t) X(A X(Ai i,t) ,t) X Xi i(t)(t)一、基本概念一、基本概念522.6 2.6 随机过程随机过程（2）举举例：接收机噪声例：接收机噪声532.2. 随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：（1 1）统计平均值：统计平均值：（2 2）方差：方差：（3 3）自相关函数：自相关函数：2.6 2.6 随机过程随机过程在时刻在时刻t ti i观察观察随机过程得到随机过程得到的随机变量的随机变量 是是X(X(t ti i) )在时在时刻刻t ti i的概率密的概率密度函数
24、度函数 54二、平稳随机过程二、平稳随机过程 1.1. 平稳随机过程的定义：平稳随机过程的定义： 统计特性与时间起点无关的随机过程。统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）（又称严格平稳随机过程） 2. 2. 广义平稳随机过程的定义：广义平稳随机过程的定义： 平均值、方差和自相关函数等与时间平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。起点无关的随机过程。2.6 2.6 随机过程随机过程55二、平稳随机过程二、平稳随机过程 3.3. 广义平稳随机过程的性质：广义平稳随机过程的性质：（1 1） （2 2）（3 3） 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过严格平稳随机过程一
25、定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。格平稳随机过程。 2.6 2.6 随机过程随机过程56三、各态历经性三、各态历经性 按照定义求一个平稳随机过程按照定义求一个平稳随机过程X(t)X(t)的平均的平均值和相关函数，需要对随机过程的所有实现计值和相关函数，需要对随机过程的所有实现计算统计平均。实际上做不到。算统计平均。实际上做不到。 若一个随机过若一个随机过程具有各态历经性，它的统计平均就等于时间程具有各态历经性，它的统计平均就等于时间平均。平均。 2.6 2.6 随机过程随机过程572.2. 随机过程的数字特征：随机过
26、程的数字特征：（1 1）统计平均值：统计平均值：（2 2）方差：方差：（3 3）自相关函数：自相关函数：2.6 2.6 随机过程随机过程58 时间平均时间平均 a. b. b. 2.6 2.6 随机过程随机过程 -各态历经性各态历经性59三、各态历经性三、各态历经性 1. 1. “各态历经各态历经”的含义：的含义：平稳随机过程的一个实现平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。能够经历此过程的所有状态。 2. 2. 各态历经过程（遍历性过程）的定义：各态历经过程（遍历性过程）的定义： （1） 如果一个随机过程如果一个随机过程X(t)，它的各种时间平均，它的各种时间平均（时间足够长）依概率
27、（时间足够长）依概率“1”收敛于相应的统计平均，收敛于相应的统计平均，则称过程则称过程X(t)具有严格遍历性，并称此过程为严格遍具有严格遍历性，并称此过程为严格遍历性过程。历性过程。 2.6 2.6 随机过程随机过程60 （2）设设X(t)是一个是一个平稳随机过程，平稳随机过程， a. 如果如果 依概率依概率1 1成立，则称过程成立，则称过程X(t)X(t)的均值具有各态的均值具有各态历经性。历经性。 b. b. 如果如果 依概率依概率1 1成立，则称过程成立，则称过程X(t)X(t)的自相关函数具的自相关函数具有各态历经性。若在有各态历经性。若在 =0 =0时，上式成立，则称时，上式成立，则
28、称过程过程X(t)X(t)的均方值具有各态历经性。的均方值具有各态历经性。2.6 2.6 随机过程随机过程 -各态历经性各态历经性61 （2）设设X(t)是一个是一个平稳随机过程，平稳随机过程， c.c. 如果过程如果过程X(t)X(t)的均值和自相关函数都具的均值和自相关函数都具有遍历性，则称有遍历性，则称X(t)X(t)是宽（广义）遍历性过程，是宽（广义）遍历性过程，简称遍历过程或各态历经过程。简称遍历过程或各态历经过程。 推广到一般情况，为求各态历经过程的每推广到一般情况，为求各态历经过程的每个数字特征，无需做无限多次的观察，只需做个数字特征，无需做无限多次的观察，只需做一次推广，用时间
29、平均代替统计平均即可。大一次推广，用时间平均代替统计平均即可。大大简化了计算。大简化了计算。2.6 2.6 随机过程随机过程62（3）一个随机过程若具有各态历经性，则一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。平稳随机过程就不一定具有各态历经性。2.6 2.6 随机过程随机过程633. 3. 稳态通信系统的各态历经性：稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。假设信号和噪声都是各态历经的。一阶原点矩一阶原点矩m mX X = = E E X X( (t t) ) 是信号的直流分量；是
30、信号的直流分量；一阶原点矩的平方一阶原点矩的平方m mX X 2 2 是信号直流分量的归一是信号直流分量的归一化功率；化功率；二阶原点矩二阶原点矩E E X X 2 2( ( t t ) ) 是信号归一化平均是信号归一化平均功率；功率；二阶中心矩二阶中心矩 X X2 2 是信号交流分量的归一化平均功是信号交流分量的归一化平均功率率; ;2.6 2.6 随机过程随机过程643. 3. 稳态通信系统的各态历经性：稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。假设信号和噪声都是各态历经的。二阶原点矩的平方根二阶原点矩的平方根 E E X X 2 2( (t t)1/21/2 是信号是信号
31、电流或电压的电流或电压的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；若若m mX X = = m mX X 2 2 = 0 = 0，则，则 X X2 2 = = E E X X 2 2( ( t t ) ) ；标准偏差标准偏差 X X 是信号交流分量的均方根值；是信号交流分量的均方根值； 若若m mX X = 0 = 0，则，则 X X就是信号的均方根值就是信号的均方根值 。2.6 2.6 随机过程随机过程652.6 2.6 随机过程随机过程例例2.72.7：设随机过程：设随机过程 式中，式中，a a、0 皆为常数，皆为常数，是在是在（0,20,2）上均匀）上均匀分布的随机变量。分布的随机变量。试
32、问：试问：(1(1) X(t) X(t)是否是平稳随机过程？为什么？是否是平稳随机过程？为什么？ (2) X(t)(2) X(t)是否具有遍历性？是否具有遍历性？662.6 2.6 随机过程随机过程解：解：(1) (1) 随机变量随机变量的概率密度为的概率密度为因而，过程因而，过程X(t)X(t)的均值、自相关函数和均方值分别为的均值、自相关函数和均方值分别为所以，所以，X(t)X(t)是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。672.6 2.6 随机过程随机过程 (2) (2)因为因为对照（对照（1 1）和（）和（2 2）的结果可知，）的结果可知，X(t)X(t)具有宽遍历性。具有宽遍历性。6
33、82.6 2.6 随机过程随机过程四、平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度四、平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 1. 1. 自相关函数的性质自相关函数的性质a.b.c.d.e.692.6 2.6 随机过程随机过程2. 2. 功率频谱密度的性质功率频谱密度的性质 (1) (1) 确知信号的功率谱密度：确知信号的功率谱密度： (2) (2) 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为： (3) (3) 平均功率平均功率703. 3. 自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系由由式中，式中， 令令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成则上式可以
34、化简成 于是有于是有2.6 2.6 随机过程随机过程71上式表明，上式表明，P PX X( (f f ) )和和R R( ( ) )是一对傅里叶变换：是一对傅里叶变换：4 4. P. PX X( (f f ) )的性质：的性质：a. P PX X( (f f ) ) 0, 0, 并且并且P PX X( (f f ) )是实函数。是实函数。b.b. P PX X( (f f ) ) P PX X(-(-f f ) )，即，即P PX X( (f f ) )是偶函数。是偶函数。 2.6 2.6 随机过程随机过程72【例例2.82.8】设有一个二进制数字信号设有一个二进制数字信号x x( (t t)
35、 )，如图所示，如图所示，其振幅为其振幅为+a+a或或-a-a；在时间；在时间T T 内其符号改变的次数内其符号改变的次数k k服从泊松分布。服从泊松分布。式中，式中， 是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数试求其相关函数R R( ( ) )和功率谱密度和功率谱密度P P( (f f) )。2.6 2.6 随机过程随机过程+a-ax(t) tt0t- 73解：将此二进制数字信号看成是一个平稳随机信号，解：将此二进制数字信号看成是一个平稳随机信号，则自相关函数为：则自相关函数为： 由图可以看出，乘积由图可以看出，乘积x x( (t t) )x
36、x( (t-t- ) )只有两种可能取值：只有两种可能取值：a a2 2 或或 -a-a2 2。因此，上式。因此，上式可以化简为：可以化简为：R( ) = a2 a2出现的概率出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概出现的概率率式中，式中，“出现的概率出现的概率”可以按上述泊松分布可以按上述泊松分布P P( (k k) )计计算，若在算，若在 秒内秒内x x( (t t) )的符号有偶数次变化，则出现的符号有偶数次变化，则出现+ +a a2 2; ; 若在若在 秒内秒内x x( (t t) )的符号有奇数次变化，则出现的符号有奇数次变化，则出现- -a a2 2。因此，。因此， 2.6
37、2.6 随机过程随机过程742.6 2.6 随机过程随机过程 用用 代替泊松分布式中的代替泊松分布式中的T T，得到，得到 由于在泊松分布中由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，上式中当是非负数。所以，上式中当 取负值时，上式应当取负值时，上式应当改写成改写成 将上两式合并，最后得到：将上两式合并，最后得到：75 其功率谱密度其功率谱密度P P( (f f ) )可以由其自相关函数可以由其自相关函数R(R( ) )的傅里叶变换求出：的傅里叶变换求出： P P( (f f ) )和和R(R( ) )的曲线：的曲线：2.6 2.6 随机过程随机过程76【例例
38、2.92.9】设一随机过程的功率谱密度设一随机过程的功率谱密度P( f )P( f )如如图所示。试求其自相关函数图所示。试求其自相关函数R(R( ) )。2.6 2.6 随机过程随机过程77解：解：功率谱密度功率谱密度P P( ( f f ) )已知，已知， 式中，式中， 自相关函数曲线自相关函数曲线：2.6 2.6 随机过程随机过程78【例例2.102.10】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱密度解：白噪声是指具有均匀功率谱密度P Pn n( (f f ) )的噪声，即的噪声，即P Pn n( (f f ) ) n n0
39、0/2/2，式中，式中，n n0 0为单边功率谱密度（为单边功率谱密度（W/HzW/Hz），），白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得: : 由由上上式式看看出出，白白噪噪声声的的任任何何两两个个相相邻邻时时间间（即即 0 0时）的抽样值都是不相关的。时）的抽样值都是不相关的。2.6 2.6 随机过程随机过程79 白噪声的平均功率白噪声的平均功率 : : 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。 Pn(f)n0/20fRn()n0/202.6 2.6 随机过程随机过程802.6 2.6 随机过程随机过程【例例2.11
40、2.11】带限白噪声的功率谱密度和自相关带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。函数。解：解：带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声：带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱密度：带限白噪声的功率谱密度： 设白噪声的频带限制在设白噪声的频带限制在(-(-f fH H, , f fH H) )之间，则之间，则有有 其自相关函数为：其自相关函数为：812.6 2.6 随机过程随机过程【例例2.112.11】带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。 波形：波形：n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH822.6 2.6 随机过程随机过程【例例2
41、.112.11】求随机相位正弦波求随机相位正弦波 自相关函数与功率谱密度。式中，自相关函数与功率谱密度。式中，0 0是常数；是常数；是在区间（是在区间（0 0，2 2）上均匀分布的随机变量。）上均匀分布的随机变量。83842.7 2.7 高斯过程（正态随机过程）高斯过程（正态随机过程）一、定义：一、定义：1.1. 一维高斯过程的概率密度：一维高斯过程的概率密度：式中，式中，a =Ea =EX X( (t t)为为均值均值 2 2 =E=EX X( (t t)-a)-a2 2为为方差方差 为为标准偏差标准偏差高斯过程是平稳过程，故高斯过程是平稳过程，故其概率密度其概率密度p pX X ( (x
42、x, ,t t1 1) )与与t t1 1无关无关即，即，p pX X( (x x, ,t t1 1) )p pX X ( (x x) )p pX X ( (x x) )的曲线：的曲线：852. 2. 高斯过程的严格定义：高斯过程的严格定义： 一个随机过程的任意一个随机过程的任意n n维联合概率密度满足：维联合概率密度满足： 式中，式中，a ak k为为x xk k的数学期望（统计平均值）；的数学期望（统计平均值）； k k为为x xk k的标准偏差；的标准偏差； 2.7 2.7 高斯过程高斯过程862. 2. 高斯过程的严格定义：高斯过程的严格定义：| |B B| |为归一化协方差矩阵的行列
43、式为归一化协方差矩阵的行列式; ; | |B B| |jkjk为行列式为行列式| |B B| |中元素中元素b bjkjk的代数余子式；的代数余子式；b bjkjk为归一为归一化协方差函数，即化协方差函数，即2.7 2.7 高斯过程高斯过程873. n3. n维高斯过程的性质维高斯过程的性质(1) pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量仅由各个随机变量的数学期望的数学期望a ai i、标准偏差、标准偏差 i i和归一化协方差和归一化协方差b bjkjk决决定，因此它是一个广义平稳随机过程定，因此它是一个广义平稳随机过程 。(2)(2) 若若x x1 1,
44、 ,x x2 2, , , ,x xn n等两两之间互不相关，则有当等两两之间互不相关，则有当j j k k 时，时，b bjkjk = 0 = 0。这时，。这时，即，即，此此n n 维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。2.7 2.7 高斯过程高斯过程883. n3. n维高斯过程的性质维高斯过程的性质注意：注意： 若两个随机变量的互相关函数等于零，若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者则称为两者互不相关互不相关；若两个随机变量的二维；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者
45、为两者互相独立互相独立。互不相关的两个随机变量不。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。定互不相关。(3)(3) 高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立相独立。 2.7 2.7 高斯过程高斯过程89二、正态概率密度的性质二、正态概率密度的性质1. p p( (x x) )对称于直线对称于直线x x = =a a，即有：，即有：2. p p( (x x) )在区间在区间(-(- , ,a a) )内单调上升，在区间内单调上升，在区间( (a a, , ) )内内单调下降，并且
46、在点单调下降，并且在点a a处达到其极大值处达到其极大值 3. 当当x x - - 或或 x x + + 时，时，p p( (x x) ) 0 0。 4. 5. 若若a a = 0, = 0, = 1 = 1，则称这种分布为标准化正态分布：，则称这种分布为标准化正态分布： 2.7 2.7 高斯过程高斯过程90三、正态分布函数三、正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ：式中，式中， (x)(x)称为概率积分函数称为概率积分函数 ：此积分不易计算，通常用查表方法计算。此积分不易计算，通常用查表方法计算。 2.7 2.7 高斯过程高斯过程9
47、1四、用误差函数表示正态分布四、用误差函数表示正态分布1. 1. 误差函数定义：误差函数定义：2. 2. 补误差函数定义：补误差函数定义： 3. 3. 正态分布表示法：正态分布表示法：2.7 2.7 高斯过程高斯过程92频率近似为fc2.8 2.8 窄带随机过程窄带随机过程一、基本概念一、基本概念 1. 1. 何谓窄带何谓窄带? ? 设随机过程的频带宽度为设随机过程的频带宽度为 f f，中心频率为，中心频率为f fc c。若。若 f f f fc c，则称此随机过程为窄带随机过程，则称此随机过程为窄带随机过程。 2. 2. 窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式（1）波形和频谱：
48、）波形和频谱：93（2 2）表示式）表示式 式中，式中，a aX X( (t t) )窄带随机过程的随机包络；窄带随机过程的随机包络； X X( (t t) )窄带随机过程的随机相位；窄带随机过程的随机相位； 0 0正弦波的角频率。正弦波的角频率。 上式可以改写为：上式可以改写为：式中，式中， X X ( (t t) )的同相分量的同相分量 X X ( (t t) )的正交分量的正交分量 2.8 2.8 窄带随机过程窄带随机过程频率近似为fc94二、窄带随机过程的性质二、窄带随机过程的性质 1.1. X Xc c( (t t) )和和X Xs s( (t t) )的统计特性：的统计特性：设设X
49、(t)X(t)是一个均值为是一个均值为0 0的平稳窄带高斯过程，则的平稳窄带高斯过程，则a a. X. Xc c( (t t) )和和X Xs s( (t t) )也是均值为也是均值为0 0的平稳高斯过程；的平稳高斯过程；b b. X. Xc c( (t t) )和和X Xs s( (t t) )的方差相同，且等于的方差相同，且等于X X( (t t) )的方差；的方差；c. c. 在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的X Xc c和和X Xs s是不相关的和统计是不相关的和统计独立的。独立的。2.8 2.8 窄带随机过程窄带随机过程95 2. a2. aX X(t)(t)和和 X X(t)(t
50、)的统计特性：的统计特性：（1）窄带平稳随机过程包络窄带平稳随机过程包络a aX X( (t t) )的概率密度等于：的概率密度等于： 比较：比较： （2 2）窄带平稳随机过程相位）窄带平稳随机过程相位 X X( (t t) )的概率密度等于：的概率密度等于： 2.8 2.8 窄带随机过程窄带随机过程瑞利分瑞利分布布均匀分均匀分布布962.9 2.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程1. 1. 通信系统中存在的信号与噪声之和可以看作正通信系统中存在的信号与噪声之和可以看作正弦波加窄带高斯过程弦波加窄带高斯过程2. 2. 正弦波加噪声的表示式：正弦波加噪声的表示式： 式中，式中，A A正
51、弦波的确知振幅；正弦波的确知振幅； 0 0正弦波的角频率；正弦波的角频率； 正弦波的随机相位；正弦波的随机相位；n n( (t t) )窄带高斯噪声。窄带高斯噪声。 972.9 2.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程（1 1）r(t)r(t)的包络的概率密度的包络的概率密度 ： 式中，式中， 2 2n(t)n(t)的方差；的方差；I I0 0( ( ) )零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数。 p pr r(x)(x)称为广义瑞利分布，或称莱斯称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)(Rice)分布。分布。 当当A = 0A = 0时，时， p pr r(x)(x)变成瑞利概率密度。变
52、成瑞利概率密度。98（2 2）r(t)r(t)的相位的条件概率密度的相位的条件概率密度 ： 式中，式中， r( t )r( t )的相位，包括正弦波的相位的相位，包括正弦波的相位 和噪和噪声的相位；声的相位； p pr r( ( / / ) ) 给定给定 的条件下，的条件下，r( t )r( t )的相的相位的条件概率密度。位的条件概率密度。 所以，正弦信号相位的概率密度所以，正弦信号相位的概率密度2.9 2.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程99（2 2）r(t)r(t)的相位的概率密度的相位的概率密度: : 当当 = 0= 0时，时，2.9 2.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄
53、带高斯过程100瑞利分布r概率密度包络r(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度(b) 莱斯分布相位的概率密度3. 3. 莱斯分布的曲线莱斯分布的曲线当当A/A/ = 0 = 0时，时， 包络包络瑞利分布瑞利分布 相位相位均匀分布均匀分布当当A/A/ 很大时，很大时，包络包络正态分布正态分布 相位相位冲激函数冲激函数2.9 2.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程1012.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统一、线性系统的基本概念一、线性系统的基本概念 1.1.线性系统的特性线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端 无源无源 无记忆无记忆
54、 非时变非时变 有因果关系：先有输入、后有输出有因果关系：先有输入、后有输出 有线性关系：满足叠加原理有线性关系：满足叠加原理 若当输入为若当输入为x xi i( (t t) )时，输出为时，输出为y yi i( (t t) )，则当输入为，则当输入为 时，输出为：时，输出为：式中，式中，a1a1和和a2a2均为任意常数。均为任意常数。1022.2.线性系统的示意图线性系统的示意图线性系统线性系统输入输入输出输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)t (t)h(t)t002.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统103二、确知信号通过线性系统二、确知信号通过线性系统 1.
55、 1. 时域分析法时域分析法 设设h h( (t t) )系统的冲激响应系统的冲激响应 x x( (t t) )输入信号波形输入信号波形 y y( (t t) )输出信号波形输出信号波形 则有：则有：2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统对于物理可实现系统：对于物理可实现系统：1042.2.频域分析法频域分析法 （1 1）设：输入为能量信号，令）设：输入为能量信号，令 x x( ( t t ) )输入能量信号输入能量信号 H( f )H( f )h( t )h( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 X( f )X( f )x( t )x( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 y( t )
56、y( t )输出信号输出信号则此系统的输出信号则此系统的输出信号y( t )y( t )的频谱密度的频谱密度Y( f )Y( f )：由由Y( f )Y( f )的逆傅里叶变换可以求出的逆傅里叶变换可以求出y( t )y( t )：2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统105（2 2）设：输入设：输入x(t)x(t)为周期性功率信号，则有为周期性功率信号，则有 式中，式中， 0 0 = 2 = 2 / /T T0 0 ；T T0 0信号的周期信号的周期 f f0 0 = = 0 0/2/2 是信号的基频是信号的基频 输出为：输出为： （3 3）设：输入）设：输入x(t)x(t)为
57、非周期性功率信号，则当作随为非周期性功率信号，则当作随机信号处理。机信号处理。2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统106【例例2.112.11】若有一个若有一个RCRC低通滤波器，如图所示。试求低通滤波器，如图所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。信号表示式。 解解: : 设设x(tx(t) )输入能量信号输入能量信号 y y( (t t) )输出能量信号输出能量信号 X X( (f f) )x(tx(t) )的频谱密度的频谱密度 Y Y( (f f) )y y( (t t) )的频谱密度的频谱密度则则
58、此电路的传输函数为：此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应此滤波器的冲激响应h h( (t t) )：2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统RCx(t)y(t)1072.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统108滤波器输出和输入之间的关系：滤波器输出和输入之间的关系：假设输入假设输入x(t)x(t)等于：等于：则此滤波器的输出为：则此滤波器的输出为： 2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统1093. 3. 无失真传输条件无失真传输条件 系统是无失真的线性传输系统，输入信号为系统是无失真的线性传输系统，输入信号为x x( (t t) )，则其无失真输出信
59、号，则其无失真输出信号y y( (t t) )为：为： 式中，式中，k k 衰减常数，衰减常数， t td d 延迟时间。延迟时间。 假设信号假设信号x(t)x(t)为能量信号，输出信号必然也是能量为能量信号，输出信号必然也是能量信号，则系统的传输函数：信号，则系统的传输函数： 式中，式中，2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统110无失真传输条件：无失真传输条件： 振幅特性与频率无关；振幅特性与频率无关； 相位特性是通过原点的直线。相位特性是通过原点的直线。（实际中，（实际中， 难测量，常用测量难测量，常用测量t td d代替。）代替。）|H(f)|k0f f02.10 2.1
60、0 信号通过线性系统信号通过线性系统111 三、随机信号通过线性系统三、随机信号通过线性系统1. 1. 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号若输入为平稳随机信号X X( (t t) )，则输出，则输出Y Y( (t t) )为为2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统112 2. 2. 输出输出Y(t)Y(t)的数学期望的数学期望EY(t)EY(t) 由于已假设输入是平稳随机过程，故由于已假设输入是平稳随机过程，故 输出的数学期望：输出的数学期望：EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。2.10 2.
61、10 信号通过线性系统信号通过线性系统1133. 3. 输出输出Y Y( (t t) )的自相关函数的自相关函数由自相关函数定义，有由自相关函数定义，有由由X X( (t t) )的平稳性知，上式中的数学期望与的平稳性知，上式中的数学期望与t t1 1无关，故有无关，故有 由于由于Y Y( (t t) )的数学期望和自相关函数都和的数学期望和自相关函数都和t t1 1无关，无关，故故Y Y( (t t) )是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统1143. 3. 输出输出Y(t)Y(t)的功率谱密度的功率谱密度P PY Y( f ) ( f
62、) ：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令令 = = +u +u v v 代入上式，得到代入上式，得到 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以乘以 |H( f )|H( f )|2 2。2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统115【例例2.122.12】已知一个白噪声的双边功率谱密度为已知一个白噪声的双边功率谱密度为n n0 0/2/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。关函数和噪声功率。 解：
63、因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有：所以有： 2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统116【例例2.122.12】已知一个白噪声的双边功率谱密度为已知一个白噪声的双边功率谱密度为n n0 0/2/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。关函数和噪声功率。 解：解： 输出信号的功率谱密度为：输出信号的功率谱密度为： 输出信号的自相关函数：输出信号的自相关函数：输出噪声功率输出噪声功率PY RY(0) = k2 n0 fH 2.10 2.10 信号通
64、过线性系统信号通过线性系统1175. 5. 输出随机过程输出随机过程Y(t)Y(t)的概率分布的概率分布 结论：高斯随机过程通过线性系统后输出结论：高斯随机过程通过线性系统后输出仍为高斯随机过程。仍为高斯随机过程。2.10 2.10 信号通过线性系统信号通过线性系统118小结小结本章主要内容本章主要内容l信号分类信号分类l信号的性质傅立叶变换信号的性质傅立叶变换l随机信号的性质概率随机信号的性质概率l随机过程随机过程l信号通过线性系统信号通过线性系统119思考题思考题2.1,2.22.1,2.2，2.32.3，2.42.4，2.92.9，2.122.12， 2.152.15， 2.172.17120
