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1、2.1函数及其表示数学数学 苏苏（理）（理）第二章函数概念与基本初等函数基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的 ，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作.数集唯一yf(x)，xA(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的 ；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域.(3)函数的三要素： 、 和 .定义域定义
2、域对应法则值域(4)函数的表示法表示函数的常用方法有 、 和(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数解析法图象法列表法对应法则并集并集2.函数定义域的求法类型x满足的条件 ，nN*f(x)0与f(x)0logaf(x)(a0，a1) logf(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)0，f(x)1，g(x)0tan f(x)f(g(x)(f(x)定义域为a，b)ag(x)b的解集四则运算组成的函数各个函数定义域的 实
3、际问题使实际问题有f(x)k ，kZ交集意义3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有 、 、配凑法、消去法.待定系数法换元法u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x) 与g(x)x是同一个函数.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()(3)若函数f(x)的定义域为x|1x3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x5.()(5)函数是特殊的映射.()(6)函数f(x) 1的值域是y|y1.()题号答案解析1234 3,0(，0)(1，)解析对于，函数是映射，但映射不一定是函数；对于，f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于，函数y2x (xN)
4、的图象不是一条直线；对于，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一函数的概念题型一函数的概念例1 有以下判断函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；解析思维升华解析思维升华对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，解析思维升华如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；综上可知，正确的判断是. 答案函数的值域可由定义域和
5、对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).解析思维升华解析中，g(x)|x|，f(x)g(x).中，f(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同.中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)，两函数的定义域不同.g(x) (x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1.两函数的定义域不同.故选.答案(2)下列四个图象中，是函数图象的是_.解析 由每一个自变量x对应唯一一个f(x)
6、可知不是函数图象，是函数图象.解析答案思维升华题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg x，则f(x)_.题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg x，则f(x)_.解析答案思维升华题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg x，则f(x)_.解析答案思维升华函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg
7、x，则f(x)_.解析答案思维升华题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg x，则f(x)_.(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；解析答案思维升华题型二求函数的解析式题型二求函数的解析式例2 (1)已知f( 1)lg x，则f(x)_.解析答案思维升华(4)消去法：已知f(x)与f 或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f
8、(x)_.(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则 3f(x 1) 2f(x 1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.f(x)2x7.答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.f(x)2x7.2x7答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f
9、(x)_.2x7函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.2x7(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；答案思维升华解析例2 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.2x7答案思维升华解析(4)消去法：已知f(x)与f或f
10、(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).答案思维升华解析例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.(消去法)例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用
11、待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析例2 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f( ) 1，则f(x)_.答案思维升华解析(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据
12、已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).跟踪训练2(1)已知f( 1)x2 ，则f(x)_.得f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1).x21(x1)(2)(2013安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析 当1x0时，0x11，(3)已知f(x)满足2f(x)f( )3x，则f(x)_.解析 把题目中的x换成 ，(3)已知f(x)满足2f(x)f( )3x，则f(x)_.解析答案思维升华题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域解析答案思维升华
13、题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域(1，)解析答案思维升华简单函数定义域的类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域(1，)解析答案思维升华(2)抽象函数：若已知函数f(x)的定义域 为 a， b， 则 函 数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域.题型三求函数的定义域题型三求函数的定义域(1，)解析答案思维升华解析答案思维升华例3 (2)(2013大纲全国改编)已知函数f(x)的定义域为 (1,0)，则函数f(2x1)的定义
14、域为_.例3 (2)(2013大纲全国改编)已知函数f(x)的定义域为 (1,0)，则函数f(2x1)的定义域为_.由12x10，解得1x ，故函数f(2x1)的定义域为(1， ).解析答案思维升华例3 (2)(2013大纲全国改编)已知函数f(x)的定义域为 (1,0)，则函数f(2x1)的定义域为_.由12x10，解得1x0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.综上所述，a3.解析答案思维升华由题意知f(1)212.f(a)f(1)0，题型四分段函数题型四分段函数f(a)20.当a0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.综
15、上所述，a3.3解析答案思维升华(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则.题型四分段函数题型四分段函数3解析答案思维升华题型四分段函数题型四分段函数3解析答案思维升华(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论.解析答案思维升华题型四分段函数题型四分段函数由题设f(x)2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当 1x1时 ， fM(x)1.fM(0)1.题型四分段函数题型四分段函数解析答案思维升华由题设f(x)2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当 1x1时 ， fM(x)1.fM(0)1.题型
16、四分段函数题型四分段函数1解析答案思维升华解析答案思维升华(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则.题型四分段函数题型四分段函数1(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论.解析答案思维升华题型四分段函数题型四分段函数1易错警示系列易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误分段函数意义理解不清致误解 析温 馨 提 醒易 错 分 析易错警示系列易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误分段函数意义理解不清致误本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1a1，没有对a进行讨论直接代入求解.(2)求解过程中忘记检验所
17、求结果是否符合要求而致误.解 析温 馨 提 醒易 错 分 析易错警示系列易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误分段函数意义理解不清致误当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a ，不合题意；解 析温 馨 提 醒易 错 分 析易错警示系列易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误分段函数意义理解不清致误当a1,1a0时，函数g(x) 有意义，由函数f(x)的图象，知x(2,8.4.设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)_.解析f(x)g(x2)2(x2)32x7.2x72345678910123456789101f(x)log2x6.下列对应法则是集合P上的函
18、数的是_.(填序号)PZ，QN*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P1,1，2,2，Q1,4，对应法则f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应法则f：对集合P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.23456789101解析由于在中，集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且中的集合P不是数集，从而知只有正确.答案2345678910123456789101234567891019.已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式.23456789101解设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x
19、)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，2345678910123456789101解x23456789101图象如图所示.2345123451f(x)x22(x0)，f(3)32211.1123451解析当0x4时，f(x)8,1；当ax0时，f(x)( )a，1)，即3a0.3,0)3.已知f(x)2f(x)3x2，则f(x)_.23451解析由f(x)2f(x)3x2， 可得f(x)2f(x)3x2， 2得，3f(x)3x22(3x2)9x2，f(x)3x .23451解析f(1)3，f(x)3，当x0时，x24x60时，x63，解得x(3，)，故不等式的解集为(3，1)(3，).(3，1)(3，)2345123451(1)求出y关于x的函数表达式；解由题意及函数图象，23451(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70千米/时.
