《D113对面积曲面积分35568实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D113对面积曲面积分35568实用教案（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义定义(dngy):设 为光滑(gung hu)曲面,“乘积(chngj)和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积是封闭的，则记为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一型曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共25页第一页，共26页。则对面积的曲面积分(jfn)存在. 对积分(jfn)域的可加性.则有 线性性质(xngzh).在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧
2、长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页第二页，共26页。定理(dngl): 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续(linx),存在(cnzi), 且有二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算法法则曲面积分证明: 由定义知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页第三页，共26页。而(光滑(gung hu)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页第四页，共26页。说明(shumng):可有类似(li s)的公式. 如：1) 如果曲面(qmin)方程为2)
3、 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共25页第五页，共26页。例例1.计算曲面计算曲面(qmin)积分积分其中(qzhng)是球面被平面(pngmin)截出的顶部.解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页第六页，共26页。思考思考(sko):若 是球面(qimin)被平行(pngxng)平面 z =h 截出的上下两部分,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页第七页，共26页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng) 是由平面坐标(zubi
4、o)面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页第八页，共26页。例例3. 设计算(j sun)解: 锥面与上半球面交线为为上半球面介于(ji y)锥面间的部分, 它在 xoy 面上(min shn)的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页第九页，共26页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 思考(sko): 若例3 中被积函数改为计算结果如何(rh) ? 第10页/共25页第十页，共26页。例例4.求半径求半径(bnjng)为为R的均匀半的均匀半球壳球壳 的重心的重心.解
5、: 设 的方程(fngchng)为利用(lyng)对称性可知重心的坐标而球面参数方程:思考题: 例 3 是否可用球面参数方程来计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页第十一页，共26页。例例5.计算计算(jsun)解: 取球面参数(cnsh)方程, 其中机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页第十二页，共26页。例例6.计算计算(jsun)其中(qzhng) 是球面利用(lyng)对称性可知解: 显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页第十三页，共26页。例例7.计计算算(jsun)其中(qzhng) 是
6、介于平面之间的圆柱面分析: 若将曲面分为(fn wi)前后(或左右)则解: 取曲面面积元素两片,则计算稍繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页第十四页，共26页。例例8.求椭圆柱面求椭圆柱面位于(wiy) xoy 面上方及平面 z = y 下方(xi fn)那部分柱面 的侧面积 S . 解: 取机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共25页第十五页，共26页。例例9.设有一颗地球同步轨道(gudo)通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球(dqi)自转角速度相同, 试计算该通讯卫星
7、的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球面参数方程, 则卫星覆盖面积为第16页/共25页第十六页，共26页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球(dqi)表面积的比为由以上结果可知, 卫星(wixng)覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A . 第17页/共25页第十七页，共26页。内容内容(nirng)小结小结1. 定义(dngy):2. 计算(j sun): 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球
8、面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页第十八页，共26页。1.计算计算(jsun) 在 xoy 面上(min shn)的投影域为这是 的面积(min j) !机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习解第19页/共25页第十九页，共26页。2.求抛物面壳机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页第二十页，共26页。3.设设一卦限中的部分(b fen), 则有( ).( 2000 考研(ko yn) )机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页第二十一页，共26页。补充补充(bch
9、ng)题题1.已知曲面壳已知曲面壳求此曲面(qmin)壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量(zhling) M . 解: 在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页第二十二页，共26页。2.设设 是四面体是四面体面, 计算(j sun)解: 在四面体的四个面上(min shn)同上平面方程投影域机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页第二十三页，共26页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的欣赏(xnshng)！第25页/共25页第二十五页，共26页。内容(nirng)总结定义:。设 为光滑曲面,。若对 做任意分割和局部区域任意取点,。在光滑曲面 上连续(linx),。若 是分片光滑的,。它在 xoy 面上的。思考: 若例3 中被积函数改为。解: 取球面参数方程, 其中。分析: 若将曲面分为前后(或左右)。解: 取曲面面积元素。位于 xoy 面上方及平面。半顶角为 ,。求此曲面壳在平面 z1以上部分 的。感谢您的欣赏第二十六页，共26页。
