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1、第五章第五章 一维随机变量一维随机变量目的与要求：掌握一维随机变量及其分布、离散型及连续目的与要求：掌握一维随机变量及其分布、离散型及连续型随机变量型随机变量 、二项分布、泊松分布及正态分布。、二项分布、泊松分布及正态分布。教学内容与时间安排教学内容与时间安排2 2学时学时教学方法：讲授与提问结合教学方法：讲授与提问结合教学手段：多媒体教学手段：多媒体PPTPPT软件软件重点：随机变量的概念及三个分布重点：随机变量的概念及三个分布难点：难点：随机变量的概念与三个分布。随机变量的概念与三个分布。第五章第五章 一维随机变量一维随机变量 在在上上一章中，我们研究了随机事件与概率一章中，我们研究了随机
2、事件与概率的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概念念。其基其基本想法是本想法是把随机试验的结果数量化把随机试验的结果数量化，即用一个变量即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面来描述试验的结果。先看下面的例子。的例子。一、随机变量的定义一、随机变量的定义 例例1 1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结果：情形。试验有两个可能结果： 我们引入一个变
3、量如下我们引入一个变量如下： 出现正面出现正面 出现反面出现反面这个变量可以看作是定义在样本空间这个变量可以看作是定义在样本空间上的函数，称其为随机变量。实际上此变量上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不同而随机地取值是依试验结果的不同而随机地取值1 1或或0 0。例例2 2 掷一枚骰子面上出现的点数。掷一枚骰子面上出现的点数。这个试验结果本身就是一个数这个试验结果本身就是一个数. .（与数值有关）（与数值有关） 当当 时，时，这里这里 是随机变量，是随机变量，我们引入一个变量我们引入一个变量它是依试验结果的不同而随机地取值它是依试验结果的不同而随机地取值1 1，2 2，3 3
4、，4 4，5 5，6 6。昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；每天从内江站下火车的人数；每天从内江站下火车的人数； 类似的例子：类似的例子：七月份内江的最高温度；七月份内江的最高温度； 在有些试验中，试验结果看来与数值无在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果. .也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. . 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系. . 定义定义 设随机试验为设随机试验为 , ,其样本
5、空间为其样本空间为如果对于每个如果对于每个 ，都有一个实数，都有一个实数 和它对应，于是就得到一个定义在和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数上的实值单值函数 ，称，称 为随机变为随机变量。量。而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时, ,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等. .随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 例如，从某一学校随机例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高选一学生，测量他的身高. . 我们可以把可能的身高看作随机变量我们可以把可能的身高看作随机变量X, ,然后我们可以提出关于然后我们可以提出
6、关于X 的各种问题的各种问题. .如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X x x) ) 0.1,0.1,问问x x应应在在什什么么范范围内围内? ? (2) (2) 若要求若要求 即即 指数分布经常被用来近似描述各种指数分布经常被用来近似描述各种“寿命寿命”分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来到电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都假定的时刻，随机服务系统中的服务时间等都假定是服从指数分布的。是服从指数分布的。例例5 5 设设求求 。解解 由定义由定义由于由于
7、是分段表是分段表达的，求达的，求 时时注意分段求注意分段求. .即即例例7 7 设设随机变量随机变量X 的分布函数为的分布函数为求求X取值在区间取值在区间(0.3,0.7)(0.3,0.7)的概率及概率密度。的概率及概率密度。解解: : 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 在某点在某点 处处的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率。取值的概率。 但是这个但是这个高度越大，则高度越大，则X取取 附近的值的概率就越大。附近的值的概率就越大。 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。率集中在该点附近的程度。第四节第四节 正态分布正
8、态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛最早发现了二项概率的一个分布。德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。斯加以推广，所以通常称为高斯分布。 在正常条件下各种产品的质量指标，如在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，
9、射击目标的水平或穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。从正态分布。一、正态分布的定义及图形特点一、正态分布的定义及图形特点定义定义 若随机变量若随机变量X的的概率密度为概率密度为其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， ，则称，则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布。的正态分布。 可以证明可以证明记作：记作： 证明证明：作变量代换作变量代换左边左边 正态分布正态分布 的图形：的图形：化为极化为极坐标坐标其中其中 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称对称的钟形曲线。特
10、点是的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左两头小，中间大，左右对称右对称”。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图决定了图形中峰的陡峭程度。形中峰的陡峭程度。其分布函数是：其分布函数是：二、标准正态分布二、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布. ., ,则则 设设定理定理根据定理根据定理, ,只要将标准正态分
11、布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率问题。 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。若若若若可证可证由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3-3,3区间区间内内, ,超出这个范围的可能性仅占不到超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.0.3%.三、三、3 3 准则准则当当 时，时，将上述结论推广到一般的正态分布将上
12、述结论推广到一般的正态分布, ,当当 时时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内。区间内。 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍（三倍标准差原则）。标准差原则）。例例1 设设 ，计算：，计算：解解例例2 2 设设 ，计算：，计算：解解 例例3 假设某种电池寿命（单位：小时）为假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机变量，它服从参数为一随机变量，它服从参数为300和和352的正态的正态分布，计算：分布，计算：这种电池寿命在这种电池寿命在250小时以上的概率；小时以上的概率；内的内的概率不低于概率不低于 。 解解 设电池的寿命为设电池的寿命为 ,则则确定数字确定数字 ,使电池寿命落在区使电池寿命落在区间间由由 可得可得利用分布函数的单调不减性，查表可得：利用分布函数的单调不减性，查表可得： 电池寿命落在区间电池寿命落在区间242.5,357.5内的概内的概率不低于率不低于 。返回返回作业题：第63页1， 12 题
