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1、微分方程模型微分方程模型( (动态模型动态模型) )1应用范围：应用范围： 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以描述、分析或预测了。2例例1：池水含盐问题：池水含盐问题池中有一定体积的盐水，从池的一端向池中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度是盐水。混合的盐水将池中注入一定浓度是盐水。混合的盐水将从池的另一端流出。建模描述池中盐水浓从池的另一端流
2、出。建模描述池中盐水浓度的动态度的动态。34567例例2：水瓶保温测试问题：水瓶保温测试问题热水瓶出厂前，要经过保温性能测试热水瓶出厂前，要经过保温性能测试. .测测试的传统方法：将试的传统方法：将100100度的热水装入水瓶，度的热水装入水瓶，加上盖子，经过加上盖子，经过2424小时后，在测量水温，小时后，在测量水温，如果水温不低于如果水温不低于6060度，则算合格品，准许度，则算合格品，准许出厂；否则，为不合格品。出厂；否则，为不合格品。现在我们想将测试时间缩短，有什么办现在我们想将测试时间缩短，有什么办法？法？8问题分析：由物理知识知道，水瓶中热水降温的速度与水温减去环境温度之差成正比。
3、利用热力学规律，可以得出温度C与降温时间t的关系降温曲线C=C(t)。找出通过点(100，0)，(60，24)的降温曲线，就可知道3小时后的对应温度C1。因此，若在3小时后测得温度不低于C1，那么，水瓶的保温性能就可以认为是合格的。9例例3：如何预报人口的增长：如何预报人口的增长 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题,我们经常在报刊上看到关于人口增长的预报,说到年,或本世纪中叶,全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿.事实上,你可能注意到了,不同的报刊在预测上有较大的差别,那是因为使用了不同的人口模型计算的结果.给出你的模型.10指数增长模型指数增长模型(马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型
4、) 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出著名的人口指数增长模型.这个模型的基本假设是:人口增长率是常数,或者说,单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比.111213 产生这种现象的主要原因是,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量之后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减小.许多国家的人口增长的实际情况完全证实了这一点. 为了使人口预报特别是长期预报更好的符合实际情况,必须修改”人口增长率是常数”这一基本假设.14阻滞增长模型阻滞增长模型(
5、Logistic模型模型)151617评注: 20世纪初,人们曾用这个模型预报美国人口.自1800年直到1930年计算结果都能与实际数据较好的吻合.后来的误差越来越大,一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了过去数据确定的最大人口容量. 这个模型的缺点就是最大人口容量不易确定,并且随着生产力的发展,它是可以改变的. 阻滞增长模型的方程又称为Logistic模型. Logistic模型用途很广,大家要很好掌握. 其实关于人口问题还有更复杂的模型,今天我们只介绍两种较为简单的.18例例4：传染病模型：传染病模型 随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的发展,曾经肆虐全球的霍乱、
6、天花等传染性疾病已经得到有效的控制.但在世界的某些地区,特别是贫穷落后的发展中国家,还不时出现传染病流行的情况. 建立数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮的到来等. 为了简单,假定在传播期内所考察地区总人数不变,不考虑生死和迁移,时间以天为计量单位.192021222324252627282930 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将曾将17世纪荷兰著名画家世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批
7、名贵油画盗卖给德寇，于的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年年5月月29日通敌罪逮日通敌罪逮捕了此人。捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。以免留下罪证。1.1. 例五：例五： 范范. .梅格伦（梅格伦（Van Van Mee
8、grenMeegren）1.1. 伪造名画案伪造名画案31 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。的痕迹。 这样，伪造罪成立，这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。被判一年徒刑。1947年年11月月30日他在狱中心脏病发作
9、而死去。日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到不能使怀疑者满意。直到20年后，年后，1967年，卡内基梅隆年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。32原理原理:著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。设 时刻的原子数为 ，则有为物质的衰变常数。初始条件33半衰期碳-14铀-238镭-226铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出断代。至于 是如何间接测算的，不再说明！34
