《高等数学：3-5函数的凸性和图形的描绘》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：3-5函数的凸性和图形的描绘（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节第五节 函数的凸性和函数的凸性和 图形的描绘图形的描绘曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐近线渐近线(asymptotic line)(concave and convex)一、一、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向定义定义1凹凹 (凸凸)图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方定义定义2凹凹 (凸凸)图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上
2、任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方 曲线弧上每一点的切线曲线弧上每一点的切线定义定义3( (上上) ) 方方, ,称为称为凹凹 弧弧. .( (凸凸) )凹凹弧的曲线段弧的曲线段的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的, ,是单增的是单增的, ,凸凸弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的, ,是单减的是单减的. .而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,都在曲线的都在曲线的下下定理定理1 1凹凹 ( (凸凸) )2. 凹凸性的判别法凹凸性的判别法证证即即这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,
3、, 泰勒公式泰勒公式即即f(x)是凹的是凹的. .数的单调性与曲线的凹凸性数的单调性与曲线的凹凸性例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.即即例例证证 设设图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.例例设设则则即即1.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .几何上几何上二、曲线的二、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)拐点的第一充分条件拐点的第一充分条件2
4、. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件具有二阶导数具有二阶导数, ,则点则点(1)(2)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为( (或或x0为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点) )例例解解拐点拐点拐点拐点不存在不存在定义域为定义域为(1)(2)(3) 列表列表例例解解拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件定义定义1. 铅直渐近线铅直渐近线三、曲线三、曲线 的渐近线的渐近线函数图形的描绘函数图形的描绘铅直渐近线铅直渐近线.或或一条渐近线一条渐近线. .如如铅直渐近线铅直渐近线: :(垂直于垂直于x轴的
5、轴的渐近线渐近线)2. 水平渐近线水平渐近线如如水平渐近线水平渐近线: :函数图形的描绘函数图形的描绘水平渐近线水平渐近线.或或( (b为常数为常数) )(平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)3. 斜渐近线斜渐近线由由(1)式和式和函数图形的描绘函数图形的描绘斜渐近线斜渐近线.有有从而从而例例解解注注如果如果定义域定义域函数图形的描绘函数图形的描绘无水平渐近线无水平渐近线函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线. 适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意函数图形的描绘函数图形的描绘四、图形描绘的步骤四、图形描绘的步骤例例解解偶函数偶函数, 图形关于图形关于y 轴对称轴对称.函数图形的描绘函数图形的描绘极大值极大值拐点拐点函数图形的描绘函数图形的描绘作业作业
