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1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y)
2、 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 (2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微当函数可微时 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点的偏导数同样可证证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 8/1/2024高等数学D
3、93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 所以函数在点可微.注意到, 故有8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称
4、为偏微分偏微分.的全微分为于是8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:例例2. 计算函数的全微分. 解解: 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 例例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 2
5、0.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.计算的近似值. 解解: 设,则取则8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为则8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页
6、 下页 返回 结束 例例5. 利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 V ,解解: 由欧姆定律可知( )所以 R 的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( )= 0.8 求用欧姆8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 内容小
7、结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P75 题5 ；P129 题 1 函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y =
8、 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P129 题 78/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 4. 设解解: 利用轮换对称性 , 可得注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: 作业作业 P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ; *9 ; *11 5. 已知第四节 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数所以8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 8/1/2024高等数学D93全微分1目录 上页 下页 返回 结束 4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 8/1/2024高等数学D93全微分1
