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1、1北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论本讲主要内容本讲主要内容 一、一、基本概念基本概念二、二、描述扩散运动的基本运动方程描述扩散运动的基本运动方程三、三、扩散系数及其分析确定方法扩散系数及其分析确定方法四、四、扩散运动的解析解扩散运动的解析解五、五、岸边排放与中心排放污染带的计算岸边排放与中心排放污染带的计算2北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿一、基本概念一、基本概念1、扩散现象、扩散现象烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。2、传输过程、传输过程流体中所含有物质（如
2、各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场中某一处到另一处转移的过程。中某一处到另一处转移的过程。3、扩散（、扩散（Diffusion）是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。（1）按扩散的机制可分为）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。1）分子扩散（）分子扩散（Molecular Diffusion）：由分子运动产生。）：由分子运动产生。2）紊动扩散（）紊动扩散（Turbulent Diffusion）：由流体
3、质点的紊动产生的扩散。）：由流体质点的紊动产生的扩散。3）移流传输（）移流传输（Advection）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（2）按研究问题的类型分：）按研究问题的类型分：1）剪切流中的离散（）剪切流中的离散（Dispersion）：由于剪切流中速度分布不均匀）：由于剪切流中速度分布不均匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。产生含有随流散开的作用，也称弥散。离散中包含有移流扩散和紊动扩散。离散中包含有移流扩散和紊动扩散。2）射流扩
4、散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的）射流扩散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。其中射入同种性质的流体内称其中射入同种性质的流体内称淹没射流淹没射流，射入不同性质的流体内为，射入不同性质的流体内为非淹没射流非淹没射流。按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。动量射流（动量射流（Jets）：射流以出流的动量（：射流以出流的动量（Momentum）为原动力，）为原动力，该动量对射流运动起主要作用。该动量对射流运动起主要作用。浮力羽流（浮
5、力羽流（Plumes）：浮力（：浮力（Bouyancy Forces）是原动力，产生）是原动力，产生的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。浮射流（浮射流（Buoyant Jets）：原动力既有动量又有浮力。：原动力既有动量又有浮力。3）分层流（）分层流（Stratified Flowing）：在重力场中密度不均匀的流体）：在重力场中密度不均匀的流体形成有层次的流动。形成有层次的流动。4北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论4、污水泄入河道中问题研究的阶段划分、污水泄入河道中
6、问题研究的阶段划分第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一般第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一般按三维运动问题处理；按三维运动问题处理；第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动离第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动离散问题研究；散问题研究；第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续离第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续离散，可按一维纵向离散问题分析。散，可按一维纵向离散问题分析。5、扩散理论的基本假设、扩散理论的基本
7、假设（1）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质扩散质视为视为标志物质标志物质或称或称示踪剂示踪剂（Tracer）。）。（2）流体质点上所带的）流体质点上所带的扩散质扩散质在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生掺混的结果。掺混的结果。（3）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，扩）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散
8、过程中保持不变，扩散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。5北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论二、描述扩散运动的基本方程二、描述扩散运动的基本方程1、分子扩散的费克定律、分子扩散的费克定律 （第一定律）（第一定律）费克（费克（Adolph FickAdolph Fick，18551855）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定律应等同于傅立叶（律应等同于傅立叶（FourierFourier，18221822）提出的热传导定律
9、相同，即：）提出的热传导定律相同，即：其中：其中：费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运动形态无关，是物性参数。动形态无关，是物性参数。扩散液的浓度；量纲：扩散液
10、的浓度；量纲：在在xi方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：分子扩散系数；量纲：分子扩散系数；量纲：常见扩散质在水中的扩散系数表常见扩散质在水中的扩散系数表对三维情况，以矢量表示：对三维情况，以矢量表示：6北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、分子扩散方程（费克第二定律）、分子扩散方程（费克第二定律）分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。取控制体如图，由质量守恒定律，可得：取控制体如图，由质量守恒定律，可得：整理得：整理得：将费克第一定律代
11、入，可得：将费克第一定律代入，可得：或或对三维情况：对三维情况：上述方程称之为上述方程称之为分子扩散方程分子扩散方程（Diffusion Equations）。）。7北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3、移流扩散方程（、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations）取控制体如图，以取控制体如图，以x1方向为例。方向为例。假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止 时的分子扩散相同。时的分子扩散相同。由质量守恒定律，可得：由质量守恒定律，可得：及及整理可得：整理可得：对三维流动：对三维流动：
12、8北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论4、紊动扩散方程、紊动扩散方程对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即：对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即：代入移流扩散方程后取时均值，有：代入移流扩散方程后取时均值，有： 仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数Dij，令：令：紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：和和其中：其中：是由紊动脉动量产生的沿是由紊动脉动量产生的沿i方向的质量扩散通量。方向的质量扩散通量。9北京工业大学市政
13、学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论紊动扩散质量通量与紊动扩散系数紊动扩散质量通量与紊动扩散系数Dij（Turbulent Diffusion Coefficients）可用矩阵表示为：）可用矩阵表示为：Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致时，九个量中仅有三个主值，即：时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性条不为零。当满足各向同性条件下，有：件下，有： 因为因为，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：10北京
14、工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论三、扩散系数及其分析确定三、扩散系数及其分析确定1、分子扩散系数与概率统计量间的关系、分子扩散系数与概率统计量间的关系（1）分子扩散方程的基本解）分子扩散方程的基本解问题问题： （考虑一维问题）在考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（时刻，坐标原点处（x=0）放）放置质量为置质量为M的扩散质，确定浓度沿的扩散质，确定浓度沿x轴的扩散过程。轴的扩散过程。基本方程：基本方程：求解方法：求解方法：1）量纲分析相似解法）量纲分析相似解法 ； 2）数理方程解法）数理方程解法定解条件：定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有：由质
15、量守恒，在任何时刻，有：或或11北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论量纲分析相似解法量纲分析相似解法量纲分析：量纲分析：C（x，t）必然与）必然与M、Dm和和t有关，有量纲关系有关，有量纲关系代入扩散方程，得：代入扩散方程，得：得出：得出： 分离变量法结果：分离变量法结果：再由定解条件再由定解条件 确定系数确定系数c0。12北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（2）分子扩散的随机游走分析）分子扩散的随机游走分析确定分子游走的概率值：分子的自由程确定分子游走的概率值：分子的自由程l，经过经过N次运动后行走
16、次运动后行走X距离距离的概率。设在的概率。设在N次行走中，有次行走中，有p次沿次沿x的正向，的正向，q次沿次沿x的反向行走；每次行走的反向行走；每次行走是相互独立的。是相互独立的。有：有：p + q = N；令；令: p q = S ，故有：，故有：X = Sl沿沿x的正向行走的正向行走X距离的概率距离的概率P为：为：利用利用Sterling公式：公式：可推出：可推出：13北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（3）分子扩散与分子随机游走概率密度间的关系）分子扩散与分子随机游走概率密度间的关系令令a为分子运动速度，为分子运动速度，t为分子运动为分子运
17、动N次所用时间，则有：次所用时间，则有：随机游走概率可表示为：随机游走概率可表示为：如令如令概率值概率值分子落于分子落于X，X+dX间的概率为：间的概率为：14北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论可见概率密度：可见概率密度：为扩散方程（为扩散方程（M=1）的解。）的解。可见分子扩散方程的解满足标准差为可见分子扩散方程的解满足标准差为 的正态分布。的正态分布。分析结论：分析结论：1）分子扩散的浓度可以用概率密度表示；）分子扩散的浓度可以用概率密度表示；2）分子扩散系数可由概率分布的方差确定，即：）分子扩散系数可由概率分布的方差确定，即：或积分得或积分
18、得15北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（4）分子扩散系数与方差的关系证明）分子扩散系数与方差的关系证明1）浓度分布各阶矩的定义）浓度分布各阶矩的定义 2）浓度分布各阶矩与统计量间的关系）浓度分布各阶矩与统计量间的关系一阶矩：一阶矩：二阶矩：二阶矩：n阶矩：阶矩：零阶矩：零阶矩：扩散质总质量：扩散质总质量浓度分布质量中心坐标浓度分布质量中心坐标均值：均值：浓度分布方差：浓度分布方差：取：取：即即可证明可证明16北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3）分子扩散系数与方差的关系证明）分子扩散系数与方差的关
19、系证明扩散方程两边同乘扩散方程两边同乘x2后从后从-到到+积分积分上是说明：确定扩散系数可以从研究浓度分布的方差着手。上是说明：确定扩散系数可以从研究浓度分布的方差着手。17北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、紊动扩散系数、紊动扩散系数Dt的分析的分析假设紊动场均匀、各向同性，以一维为例阐述。假设紊动场均匀、各向同性，以一维为例阐述。（1）基本概念）基本概念 1）紊动扩散现象分析）紊动扩散现象分析观测实验结果说明：观测实验结果说明： 浓度中心位置；浓度中心位置； 浓度扩散分析；浓度扩散分析； 系综平均结果。系综平均结果。 2）扩散系数的物理解释
20、）扩散系数的物理解释两质点的相对扩散（系综平均）；两质点的相对扩散（系综平均）；单个质点的扩散（系综平均）。单个质点的扩散（系综平均）。 3）系综平均与时间平均）系综平均与时间平均各态遍历特性各态遍历特性扩散观测扩散观测扩散现象图示扩散现象图示两质点的相对扩散图示两质点的相对扩散图示单个质点的扩散图示单个质点的扩散图示各态遍历图示各态遍历图示18北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（2）单个质点的紊动扩散）单个质点的紊动扩散泰勒扩散理论泰勒扩散理论泰勒（泰勒（G. I. Taylor 1921）研究了单个质点在平稳、各向同性的紊流场中的）研究了单个
21、质点在平稳、各向同性的紊流场中的扩散问题。扩散问题。考虑一维情况下，设紊动速度为考虑一维情况下，设紊动速度为u，平均速度，平均速度=0；在；在t时刻，紊动质点的坐时刻，紊动质点的坐标位置为标位置为X(t)，X(t)的时间平均值（系综平均值）：的时间平均值（系综平均值）：令开始记录的时间为令开始记录的时间为t0，经过，经过t时刻，质点所移动的距离为时刻，质点所移动的距离为其时间平均平方值可表示为：其时间平均平方值可表示为：19北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论积分限变换：积分限变换：由均匀和各向同性条件：由均匀和各向同性条件：代入时均方差表示式，有
22、：代入时均方差表示式，有：分部积分后分部积分后20北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论讨论两种极端情况：扩散时间很短，扩散时间很长。讨论两种极端情况：扩散时间很短，扩散时间很长。1）扩散时间很短，）扩散时间很短，R1，积分，积分即：即：扩散系数：扩散系数：2）扩散时间很长，当）扩散时间很长，当tTL后，后，R（）= = 0 0其中：其中： 扩散系数：扩散系数：21北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论有紊动理论知，积分时间比尺有紊动理论知，积分时间比尺TL与扩散长度比尺与扩散长度比尺满足：满足：所以有：所
23、以有：实验资料说明：定常均匀紊动的流场在实验资料说明：定常均匀紊动的流场在tTtTL L后是接近正态分布的，紊后是接近正态分布的，紊动质点运动已成为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。动质点运动已成为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。22北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论例题例题(pp.119-121)：设在一均匀紊流场内，在原点投入许多示踪质：设在一均匀紊流场内，在原点投入许多示踪质粒子，量测不同时刻粒子的横向位移粒子，量测不同时刻粒子的横向位移X，X2的系综平均值的系综平均值 及及通过原点后的时间通过原点后的时间t的数值如表
24、所示。式绘出的数值如表所示。式绘出 关系曲线，关系曲线，推算出紊动扩散系数推算出紊动扩散系数Dt，计算脉动速度均方值，计算脉动速度均方值 及扩散长度比及扩散长度比 。 数据表格数据表格所作曲线图所作曲线图解：解：23北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（3）两质点的相对扩散）两质点的相对扩散1）基本定义）基本定义以一维运动为例，对均匀、各向同性的平稳紊动场，设两质点以一维运动为例，对均匀、各向同性的平稳紊动场，设两质点a、b的的脉动速度速度为脉动速度速度为ua(t), ub(t)，脉动速度差为，脉动速度差为w(t)：两点位移差为：两点位移差为：与单
25、质点定义类似，可定义相对扩散均方值：与单质点定义类似，可定义相对扩散均方值：相对扩散系数：相对扩散系数：定义相对扩散速度：定义相对扩散速度：24北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2）基本运算公式）基本运算公式两质点的相对扩散的自变量为两质点的相对扩散的自变量为s0、和、和t，其它量都是，其它量都是s0、t的函数，的函数，所以所以25北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3）主要结论）主要结论 扩散时间扩散时间t t很短很短 扩散时间很长扩散时间很长 相互独立相互独立为单个质点位移均方值的二倍，单个质点的
26、扩散系数为常数。为单个质点位移均方值的二倍，单个质点的扩散系数为常数。26北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论 扩散时间扩散时间t t不短不短随着随着t t的增加，初始状态的增加，初始状态s s0 0的影响消失，但紊动尺度在惯性区，影的影响消失，但紊动尺度在惯性区，影响因素仅有能耗响因素仅有能耗 量纲：量纲：L L2 2T T-3-3 ，由量纲分析，可得定性关系：，由量纲分析，可得定性关系：所以有：所以有：相对扩散系数与相对扩散距离的均方值存在以下关系相对扩散系数与相对扩散距离的均方值存在以下关系27北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学
27、讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论四、扩散运动的解析解四、扩散运动的解析解1、扩散方程特性、扩散方程特性1）当扩散系数为常数时，浓度扩散方程为线性的二阶偏微分）当扩散系数为常数时，浓度扩散方程为线性的二阶偏微分方程，解可以叠加。方程，解可以叠加。2）将扩散质假设为示踪剂后，浓度与流场的耦合问题不需考）将扩散质假设为示踪剂后，浓度与流场的耦合问题不需考虑，计算步骤是先求出流场中各运动参数，而后用浓度扩散方程求虑，计算步骤是先求出流场中各运动参数，而后用浓度扩散方程求浓度分布。浓度分布。3）对简单的边界条件和初始值问题，扩散方程有解析解。）对简单的边界条件和初始值问题，扩散方程有解析解。4）对复杂
28、问题可通过数值解或实验测定方法确定浓度分布问）对复杂问题可通过数值解或实验测定方法确定浓度分布问题。题。28北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散静止流体中瞬时源的扩散（1）集中投入的情况）集中投入的情况1）一维问题）一维问题问题描述：在问题描述：在t=0时刻，在原点时刻，在原点x=0处集中投放质量为处集中投放质量为M的扩的扩散质。要求确定散质。要求确定t0时刻在一维空间点时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数已处的浓度值（扩散系数已知）。知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：基本解
29、：基本解：在在x=投放，解投放，解为为：或或29北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散静止流体中瞬时源的扩散（1）集中投入的情况）集中投入的情况2）二维问题）二维问题问题描述：在问题描述：在t=0时刻，在原点时刻，在原点x=0，y=0处集中投放质量为处集中投放质量为M的的扩散质。要求确定扩散质。要求确定t0时刻在二维空间点（时刻在二维空间点（x，y）处的浓度值（扩散）处的浓度值（扩散系数系数Dx、Dy已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：解的表示：解的表示：在在x=，y=投
30、放，解如何表示？三投放，解如何表示？三维问题维问题的解如何表示？的解如何表示？或或30北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散静止流体中瞬时源的扩散（2）空间分布的情况）空间分布的情况1）一维问题）一维问题问题描述：在问题描述：在t=0时刻，在时刻，在x=a至至x=b段分布有质量密度函数段分布有质量密度函数为为f(x)的扩散质。要求确定的扩散质。要求确定t0时刻在一维空间点时刻在一维空间点x处的浓度值（扩处的浓度值（扩散系数散系数Dx已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：解的
31、表示：解的表示： 瞬时分布源瞬时分布源31北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散静止流体中瞬时源的扩散（2）空间分布的情况）空间分布的情况2）阶跃函数问题）阶跃函数问题问题描述：在问题描述：在t=0时刻，在时刻，在x=0至至x=+段分布有质量密度函段分布有质量密度函数为数为f(x)=c0的扩散质。要求确定的扩散质。要求确定t0时刻在一维空间点时刻在一维空间点x处的浓度处的浓度值（扩散系数值（扩散系数Dx已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：解的表示：解的表示： 浓度分布浓度
32、分布32北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论误差函数误差函数定义：定义：性质：性质：其中：其中：erfc(z)成为补误差函数。成为补误差函数。erf(z)及及erfc(z)的值可查数学手册。的值可查数学手册。33北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散静止流体中连续源的扩散（1）等强度连续点源的扩散）等强度连续点源的扩散问题描述：从问题描述：从t=0时刻开始，在时刻开始，在x=0放置一等强度的连续点源，即在放置一等强度的连续点源，即在x=0处有一浓
33、度为处有一浓度为C0的浓度源。要求确定的浓度源。要求确定t0时刻在一维空间点时刻在一维空间点x处的浓度处的浓度值（扩散系数值（扩散系数Dx已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：基本解：基本解：等强度连续源放置在等强度连续源放置在x=处处其解如何表示？其解如何表示？等强度连续扩散结果图示等强度连续扩散结果图示34北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散静止流体中连续源的扩散（2）变强度连续点源的扩散）变强度连续点源的扩散问题描述：从问题描述：从t=0时刻开始，在时刻开始，在x=
34、0放置一变强度的连续点源，即在放置一变强度的连续点源，即在x=0处有一浓度为处有一浓度为f(t)的浓度源。要求确定的浓度源。要求确定t0时刻在一维空间点时刻在一维空间点x处的浓度处的浓度值（扩散系数值（扩散系数Dx已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：解的表示：解的表示：变强度连续源放置在变强度连续源放置在x=处处其解如何表示？其解如何表示？变强度连续源图示变强度连续源图示35北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论3、扩散问题的解析解、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散静止流体中连续源的扩散（3）变强度连续分布源的扩散）变强度连
35、续分布源的扩散问题描述：从问题描述：从t=0时刻开始，在时刻开始，在x=a至至x=b放置变强度的连续分布源，放置变强度的连续分布源，即从即从x=a至至x=b上有浓度为上有浓度为f(x,t)的分布浓度源。要求确定的分布浓度源。要求确定t0时刻在一维空时刻在一维空间点间点x处的浓度值（扩散系数处的浓度值（扩散系数Dx已知）。已知）。基本方程：基本方程：定解条件：定解条件：解的表示：解的表示：36北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论4、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿x方向的均匀流方向的均匀流U）基本方程：基本方程：处理
36、方法处理方法引入平行移动坐标系引入平行移动坐标系基本方程化简为：基本方程化简为：37北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论4、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿x方向的均匀流方向的均匀流U）（1）一维问题）一维问题方程：方程： 解的表示：解的表示：（2）三维问题）三维问题方程：方程： 解的表示：解的表示：38北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论5、有限边界问题、有限边界问题边界反射扩散（以一维瞬时投入为例）边界反射扩散（以一维瞬时投入为例）（1）单边界图示单边界图示（2）双
37、边界图示双边界图示（3）求解方法）求解方法叠加法叠加法由于边界的制约，在边界处质量通量由于边界的制约，在边界处质量通量q=0，即有：，即有： 在边界两侧浓度分布对称，由此确定叠加点源位置与强度。在边界两侧浓度分布对称，由此确定叠加点源位置与强度。（4）解的表示）解的表示1）单边界）单边界2）双边界）双边界39北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论五、岸边排放与中心排放污染带的计算五、岸边排放与中心排放污染带的计算1 1、基本定义、基本定义（1 1）中心排放：排放口的位置位）中心排放：排放口的位置位于河流中央，如图所示。于河流中央，如图所示。（2 2）
38、岸边排放：排放口的位置位）岸边排放：排放口的位置位于河流岸边，如图所示。于河流岸边，如图所示。（3 3）污染带宽度）污染带宽度B Bb b：在同一过流：在同一过流断面上，边缘点的浓度为最大浓断面上，边缘点的浓度为最大浓度值的度值的5%5%所对应点的宽度。所对应点的宽度。（4 4）污染带均匀混合长度）污染带均匀混合长度L Lm m：当：当污染带宽度上最大浓度值与最小污染带宽度上最大浓度值与最小浓度值之差不超过浓度值之差不超过5%5%时称污染带时称污染带达到均匀混合状态。达到均匀混合状态。40北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论2 2、扩散问题类型、扩
39、散问题类型 （1 1）坐标系的选择）坐标系的选择 沿水流流向（纵向）为沿水流流向（纵向）为x x轴，河轴，河宽方向（横向）为宽方向（横向）为y y轴，轴，z z轴垂直于水轴垂直于水面，坐标原点建在源处，如图所示。面，坐标原点建在源处，如图所示。相对点源坐标：相对点源坐标：无量纲坐标系：无量纲坐标系：41北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论 起始断面平均浓度：起始断面平均浓度： （2 2）扩散问题类型）扩散问题类型2 2）扩散空间：对宽而浅河流，认为在）扩散空间：对宽而浅河流，认为在z z（水深）方向为均匀混合（水深）方向为均匀混合态，故可简化为二维
40、问题；单位线源强度（点源）为：态，故可简化为二维问题；单位线源强度（点源）为： 单位时间内污染物的排放量，单位：单位时间内污染物的排放量，单位：m m3 3/s/s； （x x，y y）处的水深，单位：）处的水深，单位：m m。3 3）当横向扩散（沿）当横向扩散（沿y y向）到达河岸后，须考虑两河岸边界的反向）到达河岸后，须考虑两河岸边界的反射。射。1 1）扩散源：等强度点源移流扩散；移流断面平均流速度）扩散源：等强度点源移流扩散；移流断面平均流速度 ；42北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论 3 3、计算的基本任务、计算的基本任务 当扩散处于稳定
41、状态下（当扩散处于稳定状态下（tt）时，确定：）时，确定：（1 1）污染带的浓度分布：）污染带的浓度分布：以相对值表示：以相对值表示：考虑两岸边界反射下的浓度分布：考虑两岸边界反射下的浓度分布：43北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（3 3）从排放点扩散到河流全断面需要的距离）从排放点扩散到河流全断面需要的距离L LB B：（2 2）污染带的宽度）污染带的宽度B Bb b（x x）：）：中心排放：中心排放：岸边排放：岸边排放：中心排放：中心排放：岸边排放：岸边排放：44北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散
42、理论（4 4）从排放点到河流全断面均匀混合所需要的距离）从排放点到河流全断面均匀混合所需要的距离L Lm m： 从排放点到河流全断面均匀混合所从排放点到河流全断面均匀混合所需要的距离需要的距离L Lm m要大于扩散到全断面的距要大于扩散到全断面的距离离L Lb b，计算须考虑岸边反射。如图所示，计算须考虑岸边反射。如图所示，对中心排放，当对中心排放，当x x=0.1=0.1时，满足均匀时，满足均匀（完全）混合条件，对岸边排放，（完全）混合条件，对岸边排放，x x=0.4=0.4。所以有：。所以有：中心排放：中心排放：岸边排放：岸边排放：中心排放：中心排放：岸边排放：岸边排放：45北京工业大学市
43、政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论 4 4、中心排放与岸边排放的扩散特性比较、中心排放与岸边排放的扩散特性比较 （1 1）岸边排放的最大浓度约为中心排放最大浓度的）岸边排放的最大浓度约为中心排放最大浓度的2 2倍；倍； （2 2）岸边排放的横向扩展宽度约为中心排放横线扩展宽度的）岸边排放的横向扩展宽度约为中心排放横线扩展宽度的2 2倍；倍； （3 3）岸边排放达到均匀混合的距离约为中心排放达到均匀混合距）岸边排放达到均匀混合的距离约为中心排放达到均匀混合距离的离的4 4倍。倍。46北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理
44、论 5 5、计算举例、计算举例 例一（例一（pp.38-39pp.38-39）在一条宽阔略有弯曲的河流中心设有一工业排在一条宽阔略有弯曲的河流中心设有一工业排污口，污水流量为污口，污水流量为0.2m0.2m3 3/s/s，污水中含有害物质的浓度为，污水中含有害物质的浓度为100ppm100ppm，河，河水深水深4m4m，流速为，流速为1.0m/s1.0m/s，摩阻速度，摩阻速度u u* * = 0.061 m/s = 0.061 m/s，横向扩散系数，横向扩散系数D Dy y = 0.4hu= 0.4hu* *。假定污水排入河流后，在垂直向可立即均匀混合，试估。假定污水排入河流后，在垂直向可立
45、即均匀混合，试估算排污口下游算排污口下游400m400m处污染带宽度及断面最大浓度。若规定排污口下处污染带宽度及断面最大浓度。若规定排污口下游游400m400m断面上允许最大浓度为断面上允许最大浓度为5ppm5ppm，问排污口的排污流量可增加多，问排污口的排污流量可增加多少倍？（假定排污浓度维持不变。）少倍？（假定排污浓度维持不变。）解解： （1）排污带宽）排污带宽Bb的计算的计算浓度分布计算公式：浓度分布计算公式：47北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论式中：式中：由中心排放半宽度定义：由中心排放半宽度定义：解得：解得：在下游在下游400m处扩展
46、宽度为：处扩展宽度为：48北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论（2）下游）下游400m断面上最大浓度断面上最大浓度（3）按）按400m处断面允许的最大排污浓度处断面允许的最大排污浓度可得：可得：允许排放流量为允许排放流量为49北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论 例二（例二（pp.39-40pp.39-40）在一顺直矩形断面的河段，有岸边排放口恒在一顺直矩形断面的河段，有岸边排放口恒定连续排放污水。已知河宽定连续排放污水。已知河宽B = 50mB = 50m，水面比降，水面比降J = 0.0002J =
47、 0.0002，水，水深深h = 4mh = 4m，平均流速为，平均流速为0.8 m/s0.8 m/s，水流近于均匀。取横向扩散系，水流近于均匀。取横向扩散系数数D Dy y = 0.4hu = 0.4hu* *。试估算污染物扩散到对岸以及到达断面均匀混合。试估算污染物扩散到对岸以及到达断面均匀混合分别所需要的距离。分别所需要的距离。解解： （1）估算到河对岸的距离）估算到河对岸的距离LB岸边排放浓度分布计算公式岸边排放浓度分布计算公式（对岸未发生反射）：（对岸未发生反射）：50北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论设在设在LB处扩散到达对岸处扩散到达对岸（2）求完全混合所需要的距离）求完全混合所需要的距离Lm解得解得将将及及代入，可解得：代入，可解得：由公式可得：由公式可得：51北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第五讲第五讲 扩散理论扩散理论本讲结束本讲结束
