《高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 应用举例课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 应用举例课件(理).ppt（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节应用举例【知【知识梳理】梳理】1.1.三角形的面三角形的面积公式公式S SABCABC= ah= aha a= bh= bhb b= ch= chc c=_=_=_.=_=_=_.2.2.实际测量中的常量中的常见问题求求ABAB图形图形需要测量需要测量的元素的元素解法解法求求竖竖直直高高度度底部底部可达可达ACB=ACB=BC=aBC=a解直角三角形解直角三角形AB=atanAB=atan底部底部不可不可达达ACB=ACB=ADB=ADB=CD=aCD=a解两个直角三角形解两个直角三角形AB= AB= 求求ABAB图形图形需要测量需要测量的元素的元素解法解法求求水水平平距距离离山两山两侧
2、侧ACB=ACB=AC=bAC=bBC=aBC=a用余弦定理用余弦定理AB=AB= 河两河两岸岸ACB=ACB=ABC=ABC=CB=aCB=a用正弦定理用正弦定理AB= AB= 求求ABAB图形图形需要测量需要测量的元素的元素解法解法求求水水平平距距离离河河对对岸岸ADC=ADC=BDC=BDC=BCD=BCD=ACD=ACD=CD=aCD=a在在ADCADC中中, ,AC= AC= 在在BDCBDC中中, ,BC= BC= 在在ABCABC中中, ,应用应用余弦定理求余弦定理求ABAB3.3.实际问题中的常用中的常用术语术语名称术语名称术语意义术语意义图形表示图形表示仰角与仰角与俯角俯角在
3、目标视线与水平视线所成的在目标视线与水平视线所成的角中角中, ,目标视线在水平视线上目标视线在水平视线上方的叫做仰角方的叫做仰角, ,目标视线在水目标视线在水平视线下方的叫做俯角平视线下方的叫做俯角方位角方位角从某点的指北方向线起按顺时从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角平夹角叫做方位角. .方位角方位角的范围是的范围是03600360术语名称术语名称术语意义术语意义图形表示图形表示方向角方向角正北或正南方向线与目正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角标方向线所成的锐角, ,通通常表达为北常表达为北( (南南) )偏东偏东( (西西)度
4、度例例:北偏东北偏东mm南偏西南偏西nn术语名称术语名称术语意义术语意义图形表示图形表示坡角坡角坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角设坡角为设坡角为,坡度为坡度为i,i,则则i= =tani= =tan坡度坡度坡面的垂直高度坡面的垂直高度h h和水和水平宽度平宽度l的比的比【特【特别提醒】提醒】1.1.三角形的面三角形的面积公式公式解解题时特殊情况下可考特殊情况下可考虑下列公式下列公式. .S S= (R= (R为三角形外接三角形外接圆半半径径,r,r为三角形内切三角形内切圆半径半径,p= (a+b+c).,p= (a+b+c).2.2.注意注意结果的准确性果的准确性解三角形解三角形时, ,为
5、避免避免误差的差的积累累, ,应尽可能使用已知的尽可能使用已知的数据数据( (原始数据原始数据),),少用少用间接求出的量接求出的量. .【小【小题快快练】链接教材接教材练一一练1.(1.(必修必修5P205P20习题1.2B1.2B组T1T1改改编) )已知已知ABCABC的角的角A,B,A,B,C C的的对边分分别为a,b,c,a,b,c,则ABCABC的面的面积公式可表示公式可表示为 ( () )【解析】【解析】选选D.D.因为因为S S= absin C= bcsin A= acsin B,= absin C= bcsin A= acsin B,所以所以A A和和B B都不正确都不正确
6、. .因为因为所以所以S S= = 故选故选D.D.2.(2.(必修必修5P245P24复复习参考参考题A A组T5T5改改编) )如如图, ,从气球从气球A A上上测得正前方的河流的两岸得正前方的河流的两岸B,CB,C的俯角分的俯角分别为67,30,67,30,此此时气球的高度气球的高度是是46m,46m,则河流的河流的宽度度BCBC约等于等于m.(m.(用四舍五用四舍五入法将入法将结果精确到个位果精确到个位. .参考数据参考数据:sin670.92,:sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos 370.80, cos670.39,sin370.60,cos 370.
7、80, 1.73) 1.73)【解析】【解析】记气球的高度为记气球的高度为AD,AD,交交CBCB延长线于延长线于D,D,在在RtACDRtACD中中,AC=92m,AC=92m,在在ABCABC中中, BC= , BC= sinBAC= sin37sinBAC= sin37 0.60=60(m). 0.60=60(m).答案答案: :6060感悟考感悟考题试一一试3.(20163.(2016西安模西安模拟) )如如图, ,要要测量底部不量底部不能到达的能到达的电视塔的高度塔的高度, ,选择甲、乙两甲、乙两观测点点. .在甲、乙两点在甲、乙两点测得塔得塔顶的仰角分的仰角分别为45,30,45,
8、30,在水平面上在水平面上测得得电视塔与甲塔与甲地地连线及甲、乙两地及甲、乙两地连线所成的角所成的角为120,120,甲、乙两甲、乙两地相距地相距500m,500m,则电视塔的高度是塔的高度是( () )A.100 m B.400m C.200 m D.500mA.100 m B.400m C.200 m D.500m【解析】【解析】选选D.D.设塔高为设塔高为xm,xm,则由已知可得则由已知可得BC=xm,BD=BC=xm,BD= xm, xm,由余弦定理可得由余弦定理可得BDBD2 2=BC=BC2 2+CD+CD2 2-2BCCDcosBCD,-2BCCDcosBCD,即即3x3x2 2
9、=x=x2 2+500+5002 2+500x,+500x,解得解得x=500(m).x=500(m).4.(20164.(2016长沙模沙模拟) )一学生在河岸一学生在河岸紧靠河靠河边笔直行走笔直行走, ,经观察察, ,在河在河对岸靠近河岸靠近河边有一参照物与学生前有一参照物与学生前进方向方向成成3030度角度角, ,学生前学生前进200200米后米后, ,测得得该参照物与前参照物与前进方向方向成成7575度角度角, ,则河的河的宽度度为( () )A.50( +1)A.50( +1)米米 B.100( +1) B.100( +1)米米C.50 C.50 米米 D.100 D.100 米米【
10、解析】【解析】选选A.A.如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中BAC=30, BAC=30, ACB=75-30=45,AB=200ACB=75-30=45,AB=200米米, ,5.(20165.(2016衡阳模衡阳模拟)A,B)A,B是海面上是海面上位于位于东西方向相距西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的海里的两个两个观测点点. .现位于位于A A点北偏点北偏东45,B45,B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘点有一艘轮船船发出求救信号出求救信号, ,位于位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距20 20 海里的海里的C C点的救援船立即前往点的救援船
11、立即前往营救救, ,其航行速度其航行速度为3030海里海里/ /小小时, ,该救援船到达救援船到达D D点需要的点需要的时间为( () )A.1A.1小小时 B.2 B.2小小时C.(1+ )C.(1+ )小小时 D. D. 小小时【解析】【解析】选选A.A.由题意知由题意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里海里, ,DBA=90-60=30,DAB=45,DBA=90-60=30,DAB=45,所以所以ADB=105,ADB=105,在在DABDAB中中, ,由正弦定理得由正弦定理得 所以所以DB= DB= 又又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,DBC=DBA+ABC
12、=30+(90-60)=60,BC=20 BC=20 海里海里, ,在在DBCDBC中中, ,由余弦定理得由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BDBCcosDBC-2BDBCcosDBC=300+1200-2 =300+1200-2 所以所以CD=30(CD=30(海里海里),),则需要的时间则需要的时间t= =1(t= =1(小时小时).).考向一考向一测量高度量高度问题【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015湖北高考湖北高考) )如如图, ,一一辆汽汽车在一条水平的公路上向正西行在一条水平的公路上向正西行驶, ,到到A A处时测得公路北得公路北侧一
13、山一山顶D D在西偏北在西偏北3030的方向上的方向上, ,行行驶600m600m后到达后到达B B处, ,测得此山得此山顶在西偏北在西偏北7575的方向的方向上上, ,仰角仰角为30,30,则此山的高度此山的高度CD=CD=m.m.(2)(2)如如图从某从某电视塔塔COCO的正的正东方向的方向的A A处, ,测得塔得塔顶的仰角的仰角为60,60,在在电视塔的南偏西塔的南偏西6060的的B B处测得塔得塔顶的仰角的仰角为45,AB45,AB间的的距离距离为3535米米, ,则这个个电视塔的高度塔的高度为米米. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)先用正弦定理求得先用正弦定理求得BCBC的长度
14、的长度, ,再解三再解三角形得出角形得出CDCD的长度的长度. .(2)(2)在图中在图中, ,标注已知量标注已知量, ,解三个三角形解三个三角形. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)在在ABCABC中，中，CAB=30,ACB=75-30=45,CAB=30,ACB=75-30=45,根据正弦定理知，根据正弦定理知， 即即所以所以答案：答案：(2)(2)如图如图, ,可知可知CAO=60,AOB=150,CAO=60,AOB=150,OBC=45,AB=35OBC=45,AB=35米米. .设设OC=xOC=x米米, ,则则OA= OA= 米米,OB=x,OB=x米米. .在在ABOAB
15、O中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得ABAB2 2=OA=OA2 2+OB+OB2 2-2OAOBcosAOB,-2OAOBcosAOB,即即整理得整理得x=5 ,x=5 ,所以此电视塔的高度是所以此电视塔的高度是5 5 米米. .答案：答案：5 5 【规律方法】律方法】求解高度求解高度问题的三个关注点的三个关注点(1)(1)在在处理有关高度理有关高度问题时, ,要理解仰角、俯角要理解仰角、俯角( (在在铅垂垂面上所成的角面上所成的角) )、方向、方向( (位位) )角角( (在水平面上所成的角在水平面上所成的角) )是是关关键. .(2)(2)在在实际问题中中, ,可能会遇到空可能会遇
16、到空间与平面与平面( (地面地面) )同同时研究的研究的问题, ,这时最好画两个最好画两个图形形, ,一个空一个空间图形形, ,一个一个平面平面图形形, ,这样处理起来既清楚又不容易搞理起来既清楚又不容易搞错. .(3)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面注意山或塔垂直于地面或海平面, ,把空把空间问题转化化为平面平面问题. .易易错提醒提醒: :解三角形解三角形实际问题时注意各个角的含注意各个角的含义, ,根根据据这些角把需要的三角形的内角表示出来些角把需要的三角形的内角表示出来. .而容易出而容易出现的的错误是把角的含是把角的含义弄弄错, ,把把这些角与要求解的三角形些角与要求解的三角形的内
17、角之的内角之间的关系弄的关系弄错. .【变式式训练】(2016(2016南昌模南昌模拟) )如如图所所示示, ,为测一棵一棵树的高度的高度, ,在地面上在地面上选取取A,A,B B两点两点, ,从从A,BA,B两点分两点分别测得得树尖的仰角尖的仰角为30,45,30,45,且且A,BA,B两点之两点之间的距离的距离为60m,60m,则树的高度的高度为( () )A.(30+30 )m B.(30+15 )mA.(30+30 )m B.(30+15 )mC.(15+30 )m D.(15+3 )mC.(15+30 )m D.(15+3 )m【解析】【解析】选选A.A.由正弦定理可得由正弦定理可得
18、 【加固【加固训练】1.(20161.(2016大同模大同模拟) )如如图, ,在塔底在塔底D D的正西的正西方方A A处测得塔得塔顶的仰角的仰角为45,45,在它的南偏在它的南偏东6060的的B B处测得塔得塔顶的仰角的仰角为30,AB30,AB的距离是的距离是84m,84m,则塔高塔高为( () )A.24 m B.12 m C.12 m D.36 mA.24 m B.12 m C.12 m D.36 m【解析】【解析】选选C.C.设塔高设塔高CD=xm,CD=xm,则则AD=xm,DB= xm.AD=xm,DB= xm.在在ABDABD中中, ,利用余弦定理利用余弦定理, ,得得8484
19、2 2=x=x2 2+( x)+( x)2 2-2 -2 xx2 2cos150,cos150,解得解得x=12 (x=12 (负值舍去负值舍去),),故塔高为故塔高为12 m.12 m. 2.(20162.(2016青青岛模模拟) )如如图, ,在湖面上高在湖面上高为10 m10 m处测得天空中一个得天空中一个红色气球的仰角色气球的仰角为30,30,测得湖中之影的俯角得湖中之影的俯角为45,45,则气球距湖面的气球距湖面的高度高度为( 1.732,( 1.732,精确到精确到0.1 m)0.1 m)( () )A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 mA.2.7 m
20、B.17.3 m C.37.3 m D.373 m【解析】【解析】选选C.C.在在ACEACE中，中，tan 30=tan 30=所以所以AE= AE= 在在AEDAED中，中，tan 45=tan 45=3.(20163.(2016台州模台州模拟) )在在O O点点测量到量到远处有一物体在做匀有一物体在做匀速直速直线运运动, ,开始开始时该物体位于物体位于P P点点, ,一分一分钟后其位置在后其位置在Q Q点点, ,且且POQ=90,POQ=90,再再过两分两分钟后后, ,该物体位于物体位于R R点点, ,且且QOR=60,QOR=60,则tantan2 2OPQOPQ的的值等于等于( ()
21、 )【解析】【解析】选选A.A.设设PQ=x,QR=2x,PQ=x,QR=2x,OPQ=.OPQ=.如图如图, ,因为因为POQ=90,QOR=60,POQ=90,QOR=60,所以所以ORP=30-,ORP=30-,在在RtOPQRtOPQ中中,OQ=xsin.,OQ=xsin.在在OQROQR中中, ,由正弦定理由正弦定理, ,4.(20164.(2016郑州模州模拟) )在地平面上有一旗在地平面上有一旗杆杆OP(OOP(O在地面在地面),),为了了测得它的高度得它的高度h,h,在在地平面上取一基地平面上取一基线AB,AB,测得其得其长为20m,20m,在在A A处测得得P P点的点的仰角
22、仰角为30,30,在在B B处测得得P P点的仰角点的仰角为45,45,又又测得得AOBAOB=30,=30,则旗杆的高旗杆的高h h等于等于( () )A.10 m B.20 m C.10 m D.20 mA.10 m B.20 m C.10 m D.20 m【解析】【解析】选选B.B.根据题意有根据题意有PAO=30,PBO=45,PAO=30,PBO=45,AB=20,AO= h,BO=h,AB=20,AO= h,BO=h,在在ABOABO中中, ,利用余弦定理求得利用余弦定理求得h=20(m).h=20(m).5.(20165.(2016安康模安康模拟) )如如图, ,测量河量河对岸的
23、塔高岸的塔高ABAB时, ,可可以以选与塔底与塔底B B在同一水平面内的两个在同一水平面内的两个测点点C C与与D.D.现测得得BCD=,BDC=,CD=s,BCD=,BDC=,CD=s,并在点并在点C C处测得塔得塔顶A A的仰角的仰角为,则塔高塔高ABAB为. .【解析】【解析】在在BCDBCD中中,CBD=-.,CBD=-.由正弦定理得由正弦定理得 所以所以BC= BC= 在在RtABCRtABC中中,AB=BCtanACB,AB=BCtanACB答案答案: : 考向二考向二测量距离量距离问题【典例【典例2 2】(2016(2016合肥模合肥模拟) )如如图,A,B,A,B,C,DC,D
24、都在同一个与水平面垂直的平面内都在同一个与水平面垂直的平面内, ,B,DB,D为两两岛上的两座灯塔的塔上的两座灯塔的塔顶. .测量船量船于水面于水面A A处测得得B B点和点和D D点的仰角分点的仰角分别为75,30,75,30,于水于水面面C C处测得得B B点和点和D D点的仰角均点的仰角均为60,AC=100m.60,AC=100m.试探究探究图中中B,DB,D间距离与另外哪两点距离与另外哪两点间距离相等距离相等, ,然后求然后求B,DB,D的的距离距离( (计算算结果精确到果精确到1m, 1.414, 1.732,1m, 1.414, 1.732, 2.449) 2.449)【解题导引
25、】【解题导引】利用正弦定理求解利用正弦定理求解. .【规范解答】【规范解答】在在ACDACD中中,DAC=30,DAC=30,ADC=60-DAC=30,ADC=60-DAC=30,所以所以CD=AC=100m,CD=AC=100m,又又BCD=180-60-60=60,BCD=180-60-60=60,故故CBCB是是CADCAD底边底边ADAD的中垂线的中垂线, ,所以所以BD=BA.BD=BA.在在ABCABC中中, , 即即AB= AB= 因此因此BD335mBD335m所以所以B,DB,D间的距离与间的距离与B,AB,A间的距离相等间的距离相等, ,约为约为335m.335m.【母【
26、母题变式】式】1.1.若本例若本例题中条件不中条件不变, ,求两灯塔的高度求两灯塔的高度( (灯塔塔灯塔塔顶离离水平面的距离水平面的距离).).【解析】【解析】如图如图, ,灯塔灯塔B B的高度为的高度为BF=BF=ABsin75= ABsin75= 323(m),323(m),灯塔灯塔D D的高度为的高度为DE=CDsin60=100 87(m).DE=CDsin60=100 87(m).2.2.若本例若本例题条件改条件改为于水面于水面C C处测得得B B点和点和D D点的仰角分点的仰角分别为45,75,45,75,其他条件不其他条件不变, ,求求BD.BD.【解析】【解析】在在ADCADC
27、中，中，在在ABCABC中，中，在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得【规律方法】律方法】1.1.距离距离问题的常的常见类型及解法型及解法(1)(1)类型型: :测量距离量距离问题常分常分为三种三种类型型: :山两山两侧、河两、河两岸、河岸、河对岸岸. .(2)(2)解法解法: :选择合适的合适的辅助助测量点量点, ,构造三角形构造三角形, ,将将实际问题转化化为求某个三角形的求某个三角形的边长问题, ,从而利用正、余从而利用正、余弦定理求解弦定理求解. .2.2.解三角形解三角形应用用题的两种情形的两种情形(1)(1)实际问题经抽象概括后抽象概括后, ,已知量与未知量全部集中已知量
28、与未知量全部集中在一个三角形中在一个三角形中, ,可用正弦定理或余弦定理求解可用正弦定理或余弦定理求解. .(2)(2)实际问题经抽象概括后抽象概括后, ,已知量与未知量涉及两个已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形或两个以上的三角形, ,这时需作出需作出这些三角形些三角形, ,先解能先解能求解的三角形求解的三角形, ,然后逐步求解其他三角形然后逐步求解其他三角形, ,有有时需需设出出未知量未知量, ,从几个三角形中列出方程从几个三角形中列出方程( (组),),解方程解方程( (组) )得得出所要求的解出所要求的解. .【变式式训练】如如图, ,为了了解某海域海底构造了了解某海域海底构造,
29、,在海平在海平面内一条直面内一条直线上的上的A,B,CA,B,C三点三点进行行测量量, ,已知已知AB=50m, AB=50m, BC=120m,BC=120m,于于A A处测得水深得水深AD=80m,AD=80m,于于B B处测得水深得水深BE= BE= 200m,200m,于于C C处测得水深得水深CF=110m,CF=110m,求求DEFDEF的余弦的余弦值. .【解析】【解析】作作DMACDMAC交交BEBE于点于点N N，交，交CFCF于点于点M M【加固【加固训练】1.1.如如图, ,设A,BA,B两点在河的两岸两点在河的两岸, ,一一测量量者在者在A A的同的同侧所在的河岸所在的
30、河岸边选定一点定一点C,C,测出出ACAC的距离的距离为50m,ACB=45,CAB=10550m,ACB=45,CAB=105后后, ,就可就可以以计算出算出A,BA,B两点两点间的距离的距离为( () )【解析】【解析】选选A.A.由由AC=50m,ACB=45,CAB=105,AC=50m,ACB=45,CAB=105,所以所以CBA=30, CBA=30, 在在ABCABC中中, ,由正弦定理可得由正弦定理可得2.(20162.(2016佛山模佛山模拟) )在相距在相距2 2千米的千米的A,BA,B两点两点处测量目量目标点点C,C,若若CAB=75,CBA=60,CAB=75,CBA=
31、60,则A,CA,C两点之两点之间的距的距离离为千米千米. .【解析】【解析】ACB=180-75-60=45,ACB=180-75-60=45,由正弦定理得由正弦定理得AC= AC= 千米千米. .答案：答案：考向三考向三正弦定理、余弦定理的正弦定理、余弦定理的综合合应用用【考情快【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角航海方面的应用问航海方面的应用问题题主要考查根据正弦定理、余弦定主要考查根据正弦定理、余弦定理解决航海方面的角度、速度、理解决航海方面的角度、速度、距离等问题距离等问题, ,属中档题属中档题解三角形中与面积解三角形中与面积有关的综合问题有关的综合问题考查面积的求法或以三
32、角形的面考查面积的求法或以三角形的面积、周长为载体积、周长为载体, ,求三角形的边、求三角形的边、角等角等命命题方向方向1:1:航海方面的航海方面的应用用问题【典例【典例3 3】如如图, ,在海岸在海岸A A处, ,发现北偏北偏东4545方向距方向距A A为( -1)( -1)海里的海里的B B处有有一艘走私船一艘走私船, ,在在A A处北偏西北偏西7575方向方向, ,距距A A为2 2海里的海里的C C处的的缉私船奉命以私船奉命以10 10 海里海里/ /时的速度追的速度追截走私船截走私船. .此此时走私船正以走私船正以1010海里海里/ /时的速度从的速度从B B处向北向北偏偏东3030
33、方向逃方向逃窜, ,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船沿什么方向能最快追上走私船私船? ?并求出所需要的并求出所需要的时间( (注注: 2.449).: 2.449).【解题导引】【解题导引】根据题意在图中标注已知条件根据题意在图中标注已知条件, ,先使用余先使用余弦定理求弦定理求BC,BC,再使用正弦定理求角度再使用正弦定理求角度. .【规范解答】【规范解答】设缉私船应沿设缉私船应沿CDCD方向行驶方向行驶t t小时小时, ,才能最快截获才能最快截获( (在在D D点点) )走私船走私船, ,则有则有CD=10 t(CD=10 t(海里海里),),BD=10t(BD=10t(海里海里).).
34、在在ABCABC中中, ,因为因为AB=( -1)AB=( -1)海里海里,AC=2,AC=2海里海里, ,BAC=45+75=120,BAC=45+75=120,根据余弦定理根据余弦定理, ,可得可得 根据正弦定理根据正弦定理, ,可得可得sinABC= sinABC= 所以所以ABC=45,ABC=45,易知易知CBCB方向与正北方向垂直方向与正北方向垂直, ,从而从而CBD=90+30=120.CBD=90+30=120.在在BCDBCD中中, ,根据正弦定理根据正弦定理, ,可得可得sinBCD= sinBCD= 所以所以BCD=30,BDC=30,BCD=30,BDC=30,所以所以
35、BD=BC= (BD=BC= (海里海里),),则有则有10t= ,t= 0.24510t= ,t= 0.245小时小时=14.7=14.7分钟分钟. .答答: :缉私船沿北偏东缉私船沿北偏东6060方向方向, ,需需14.714.7分钟才能追上走分钟才能追上走私船私船. .命命题方向方向2:2:解三角形中与面解三角形中与面积有关的有关的综合合问题【典例【典例4 4】(1)(2015(1)(2015天津高考天津高考) )在在ABCABC中中, ,内角内角A,B,CA,B,C所所对的的边分分别为a,b,c,a,b,c,已知已知ABCABC的面的面积为 ,b- ,b-c=2,cosA=- ,c=2
36、,cosA=- ,则a a的的值为. .(2)(2015(2)(2015杭州模杭州模拟) )已知已知ABCABC的周的周长为 +1, +1,且且sinA+sinB= sinC.sinA+sinB= sinC.求求边ABAB的的长; ;若若ABCABC的面的面积为 sinC, sinC,求角求角C C的度数的度数. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)先求先求A A的正弦的正弦, ,代入面积公式代入面积公式, ,求得求得bcbc的值的值, ,解方程组求解方程组求b,c,b,c,最后由余弦定理求最后由余弦定理求a.a.(2)(2)根据题意和正弦定理根据题意和正弦定理, ,列出关于列出关于ABAB
37、的方程求解的方程求解; ;由面积公式及余弦定理求解由面积公式及余弦定理求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为0A,0A,所以所以sinA= sinA= 又又S SABCABC= = 所以所以bc=24,bc=24,解方程组解方程组 得得b=6,c=4,b=6,c=4,由余弦定理得由余弦定理得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA=6-2bccosA=62 2+4+42 2-264 =64,-264 =64,所以所以a=8.a=8.答案答案: :8 8(2)(2)由题意及正弦定理由题意及正弦定理, ,得得AB+BC+AC= +1,AB+BC+AC= +1,BC+
38、AC= AB,BC+AC= AB,由两式消元由两式消元, ,解方程得解方程得AB=1.AB=1.由由ABCABC的面积的面积 BCACsinC= sinC,BCACsinC= sinC,得得BCAC= BCAC= 由余弦定理由余弦定理, ,得得cosC= cosC= 因为因为0C180,0C180,所以所以C=60.C=60.【技法感悟】【技法感悟】1.1.航海方面的航海方面的应用用问题的解的解题策略策略测量角度量角度问题的关的关键是在弄清是在弄清题意的基意的基础上上, ,画出表示画出表示实际问题的的图形形, ,并在并在图形中形中标出有关的角和距离出有关的角和距离, ,再再用正弦定理或余弦定理
39、解三角形用正弦定理或余弦定理解三角形, ,最后将解得的最后将解得的结果果转化化为实际问题的解的解. .2.2.解三角形中与面解三角形中与面积有关的有关的综合合问题(1)(1)求三角形面求三角形面积的方法的方法若三角形中已知一个角若三角形中已知一个角( (角的大小角的大小, ,或或该角的正、余角的正、余弦弦值),),结合合题意求解意求解这个角的两个角的两边或或该角的两角的两边之之积, ,套公式求面套公式求面积. .若已知三角形的三若已知三角形的三边, ,可先求其一个角的余弦可先求其一个角的余弦值, ,再再求其正弦求其正弦值, ,套公式求面套公式求面积, ,总之之, ,结合合图形恰当形恰当选择面面
40、积公式是解公式是解题的关的关键. .(2)(2)三角形中三角形中, ,已知面已知面积求求边、角的方法、角的方法三角形面三角形面积公式中含有两公式中含有两边及其及其夹角角, ,故根据故根据题目的特目的特点点, ,若求角若求角, ,就就寻求求夹这个角的两个角的两边的关系的关系, ,利用面利用面积公公式列方程求解式列方程求解; ;若求若求边, ,就就寻求与求与该边( (或两或两边) )有关有关联的角的角, ,利用面利用面积公式列方程求解公式列方程求解. .【题组通关】通关】1.(20161.(2016马鞍山模鞍山模拟) )一船自西向一船自西向东匀速航行匀速航行, ,上午上午1010时到达一座灯塔到达
41、一座灯塔P P的南偏西的南偏西75,75,距灯塔距灯塔6868海里的海里的M M处, ,下午下午2 2时到达到达这座灯塔的座灯塔的东南方向南方向N N处, ,则该船航行的速船航行的速度度为( () )【解析】【解析】选选C.C.如图所示如图所示, ,在在PMNPMN中中,PM=68,PNM=45,PMN=15,PM=68,PNM=45,PMN=15,MPN=120,MPN=120,由正弦定理可得由正弦定理可得 所以所以MN= MN= 所以该船的航行速度为所以该船的航行速度为 海里海里/ /小时小时. .2.(20162.(2016济南模南模拟) )在在ABCABC中中,AB=3,AC=4,BC
42、,AB=3,AC=4,BC边上的上的中中线长为 , ,则ABCABC的面的面积为. .【解析】【解析】如图，设如图，设BD=DC=xBD=DC=x，ADB=,ADB=,在在ABDABD和和ACDACD中，中，应用余弦定理得应用余弦定理得两个式子相加，得两个式子相加，得在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos A=cos A=所以所以A=60,A=60,所以所以S SABCABC= 34sin 60= 34sin 60=答案：答案：3.(20163.(2016苏州模州模拟) )在在ABCABC中中, ,已知已知B= ,AC=4 ,B= ,AC=4 ,D D为BCBC边上一点上一点.
43、 .(1)(1)若若AD=2,SAD=2,SDACDAC=2 ,=2 ,求求DCDC的的长. .(2)(2)若若AB=AD,AB=AD,试求求ADCADC的周的周长的最大的最大值. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为S SDACDAC= =所以所以 ADACsinDAC=ADACsinDAC=所以所以sinDAC= .sinDAC= .因为因为DACBAC DACBAC 所以所以DAC= DAC= 在在ADCADC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得DCDC2 2=AD=AD2 2+AC+AC2 2-2ADACcos -2ADACcos ，所以所以DCDC2 2=4+48-22=4+48-
44、22所以所以DC=DC=(2)(2)因为因为AB=ADAB=AD，B=B=所以所以ABDABD为正三角形，为正三角形，在在ADCADC中，根据正弦定理，可得中，根据正弦定理，可得【加固【加固训练】(2016(2016温州模温州模拟) )如如图, ,水平地面水平地面ABCABC与与墙面面CBDCBD垂直垂直,E,F,E,F两点在两点在线段段BCBC上上, ,且且满足足|EF|=4,|EF|=4,某人在地面某人在地面ABCABC上移上移动, ,为了了保保证观察效果察效果, ,要求他到要求他到E,FE,F两点的距离和恰好两点的距离和恰好为6,6,把把人的位置人的位置记为P,P,点点R R在在线段段E
45、FEF上上, ,满足足RF=1,RF=1,点点Q Q在在墙面面上上, ,且且QRBC,QR=2,QRBC,QR=2,由点由点P P观察点察点Q Q的仰角的仰角为,当当PEPE垂垂直直墙面面DBCDBC时, ,则tan=tan=. .【解析】【解析】由题意知由题意知,PE+PF=6,PE+PF=6,在直角三角形在直角三角形PEFPEF中中, ,由勾股定理可知由勾股定理可知,PE,PE2 2+EF+EF2 2=PF=PF2 2, ,即即PEPE2 2+16=PF+16=PF2 2,联立联立可得可得PE=PE=所以在直角三角形所以在直角三角形PERPER中中, ,由勾股定理可知由勾股定理可知, ,PEPE2 2+ER+ER2 2=PR=PR2 2, ,所以所以PR= PR= 于是在直角三角形于是在直角三角形PRQPRQ中中, ,tan= tan= 答案答案: :
