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1、初中数学概念教学的设计西北师范大学第二附属中学西北师范大学第二附属中学 李晓东李晓东 2014-10-212014-10-211.1.关注数学概念教学关注数学概念教学2.2.初中数学概念的常见形式初中数学概念的常见形式 3.3.概念学习的两种方式概念学习的两种方式4.4.数学概念数学概念教学设计的几个关键点教学设计的几个关键点（1 1）要明确认识概念教学的重要性：）要明确认识概念教学的重要性：数学概念是数学概念是数学知识体系中的基本元素、是数数学知识体系中的基本元素、是数学的基石；是学生认知的基础；也是开展思维学的基石；是学生认知的基础；也是开展思维活动的载体。活动的载体。数学概念的教学与对学
2、生思维能力的培养有密数学概念的教学与对学生思维能力的培养有密切的联系。切的联系。 如同楼房的地基如同楼房的地基一样重要。一样重要。（2 2）不惜时、不惜力的进行）不惜时、不惜力的进行核心概念核心概念教学是一教学是一种共识。种共识。 数轴、绝对值、最简二次根式、函数、二次数轴、绝对值、最简二次根式、函数、二次函数的图像特征等等。函数的图像特征等等。1.1.关注数学概念教学关注数学概念教学（3 3）数学概念课是基本课型，其教学设计是）数学概念课是基本课型，其教学设计是最最基本基本的教学设计内容的教学设计内容。 概念课、方法课、习题课、复习课、试卷讲评课、活动课等等。2.2.初中数学概念的常见形式初
3、中数学概念的常见形式描述型概念、发展型概念、基础性的概念。描述型概念、发展型概念、基础性的概念。白描、归纳、抽象三个层次。白描、归纳、抽象三个层次。 -史宁中史宁中2.2.初中数学概念的常见形式初中数学概念的常见形式* *描述型概念（借助具体的例子给出的描述性描述型概念（借助具体的例子给出的描述性定义）：数轴、正数、二次根式、同位角、定义）：数轴、正数、二次根式、同位角、等等等等* *发展型概念（表述形式随学段的变化而有所发展型概念（表述形式随学段的变化而有所变化的概念）：角、单项式、函数、圆等等变化的概念）：角、单项式、函数、圆等等* *基础性的概念（有较规范的定义且表述形式基础性的概念（有
4、较规范的定义且表述形式在后续学习中不发生变化）：绝对值、方程、在后续学习中不发生变化）：绝对值、方程、比、比例、一次函数、反比例函数、坐标系比、比例、一次函数、反比例函数、坐标系等等。等等。（所占比例最高）（所占比例最高）三种数学概念教学的一般策略：三种数学概念教学的一般策略：描述型概念的教学当描述型概念的教学当以形取意以形取意发展型概念的教学当发展型概念的教学当重意轻形重意轻形基础性的概念的教学当基础性的概念的教学当形意兼备，循序渐形意兼备，循序渐进进*描述型概念的教学当描述型概念的教学当以形取意以形取意案例案例1 1： 方程：方程：x=1x=1一元二次方程：一元二次方程： 上面的几个方程都
5、上面的几个方程都是只含有一个未知数的整式方程，并且是只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成都可以化成axax2 2+bx+c=0(+bx+c=0(其中都是常数，其中都是常数，并且并且a0)a0)的形式的形式, , 二次根式：二次根式： 描述型概念体现了描述型概念体现了教育数学与数学科学教育数学与数学科学的区别。的区别。（1）考虑到学生的理解能力，尽量通俗）考虑到学生的理解能力，尽量通俗易懂易懂（2）弱化概念严谨性、强化概念本质。）弱化概念严谨性、强化概念本质。 比如：比如：“有理数有理数”概念概念整数可以看做分母为整数可以看做分母为1的分数，正整数、的分数，正整数、0、负整、负整数、正分数
6、、负分数统称为有理数数、正分数、负分数统称为有理数 二次根式二次根式的本质是一种开方运算、是个无理的本质是一种开方运算、是个无理数。数。二次根式二次根式章的重点是熟练运用法则进行章的重点是熟练运用法则进行二次根式的运算。二次根式的运算。分母有理化、同类二次根式分母有理化、同类二次根式发展型概念的教学当发展型概念的教学当轻形重意轻形重意案例案例2 2：圆的概念：圆的概念 圆是平面上到一个顶点的距离等于等于定长圆是平面上到一个顶点的距离等于等于定长的所有点组成的图形。的所有点组成的图形。教学中，不必刻意要求学生记忆此概念。重教学中，不必刻意要求学生记忆此概念。重点引导学生画图、用不同的方法画圆（圆
7、规、点引导学生画图、用不同的方法画圆（圆规、细绳、模板、实物等等），并在画的过程中细绳、模板、实物等等），并在画的过程中渐渐体会圆的基本特征：渐渐体会圆的基本特征：圆上各点到圆的距圆上各点到圆的距离等于定长。平面上到定点的距离等于定长离等于定长。平面上到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上的点都在同一个圆上基础性的概念的教学当基础性的概念的教学当形意兼备，循序形意兼备，循序渐进渐进 案例案例3 3：绝对值概念：绝对值概念教学中，从教学中，从2 2和和-2-2的数轴上表示、位置关的数轴上表示、位置关系，符号关系、定义、代数定义、分类系，符号关系、定义、代数定义、分类思想等等思想等等. .在以后的
8、年级和学段中，反复运用，加在以后的年级和学段中，反复运用，加深理解。深理解。3.3.概念学习的两种方式概念学习的两种方式人类获取概念的主要方式有两种：人类获取概念的主要方式有两种：概念的形成和概念的同化概念的形成和概念的同化。其目的都是掌握同类事物的关键属性，在头其目的都是掌握同类事物的关键属性，在头 脑中建立良好的概念认知图式。脑中建立良好的概念认知图式。概念的形成概念的形成指从大量的具体事例出发，归纳、指从大量的具体事例出发，归纳、概括出一类事物的共同本质属性的过程。概括出一类事物的共同本质属性的过程。 是一种是一种发现学习的过程。发现学习的过程。概念的同化概念的同化指学习者利用原有的认知
9、结构中的指学习者利用原有的认知结构中的观念来理解、接纳新概念的过程。观念来理解、接纳新概念的过程。 是一种是一种接受学习的过程。接受学习的过程。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系。 课程标准基本理念 P4 概念的引入概念的引入从数学概念体系的发展过从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；程或解决实际问题的需要引入概念；概念的形成概念的形成提供提供典型丰富的
10、具体例证，典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征本质特征, ,得到本质属性；得到本质属性；（1 1）发现式数学概念学习要素：）发现式数学概念学习要素：波利亚：学习最好的途径是自己去发现。波利亚：学习最好的途径是自己去发现。课程标准课程标准: :学生应当有足够的时间和空间学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。等活动过程。概念的明确与表示概念的明确与表示下定义，给出准确下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析
11、概念的辨析以实例为载体分析关键词以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”纳入概念系统，建立纳入概念系统，建立与相关概念的联系。与相关概念的联系。概念的概念的“思想与文化思想与文化”进行类比，渗进行类比，渗透数学思想，概念的背景、历史与文化。透数学思想，概念的背景、历史与文化。 概念的同化是一个由一般概念认识特殊概念、概念的同化是一个由一般概念认识特殊概念、由总括到从属的一个过程：由总括到从属的一个过程： *揭示
12、概念本质属性，给出定义、名称和符号；揭示概念本质属性，给出定义、名称和符号； *对概念进行特殊分类，用变式的方法突出本质对概念进行特殊分类，用变式的方法突出本质属性；属性； *建立新旧概念之间的联系；建立新旧概念之间的联系； *辨认正例和反例，使新旧概念精确分化；辨认正例和反例，使新旧概念精确分化； *通过应用强化概念，将新概念纳入相应的概念通过应用强化概念，将新概念纳入相应的概念体系中。体系中。 几何几何（2 2）有意义接受式数学概念学习要素：）有意义接受式数学概念学习要素：核心环节：核心环节：*概括，概括，一般从背景、思想、应用等方面一般从背景、思想、应用等方面去思考。去思考。 *运用，运
13、用，从基本型出发，进行变式、发散从基本型出发，进行变式、发散运用。运用。 学习目标学习目标1 1通过分析具体的实例，归纳、总结出函数通过分析具体的实例，归纳、总结出函数的概念。的概念。2.2.初步掌握函数概念，能判断具体问题中两个初步掌握函数概念，能判断具体问题中两个变量间的关系是否函数关系。变量间的关系是否函数关系。3 3根据两个变量间的关系式给定其中一个量，根据两个变量间的关系式给定其中一个量，相应的求出另一个量的值，理解函数的本质。相应的求出另一个量的值，理解函数的本质。4 4初步形成用函数的观点认识现实世界的意初步形成用函数的观点认识现实世界的意识。识。教学重点：理解函数的概念教学重点
14、：理解函数的概念教学难点：在实际情境中识别函数关系。教学难点：在实际情境中识别函数关系。 案例案例4 4：函数函数 心电图心电图 记录的是心脏本身的生物电在每一心动 周期中发生的电变化情况. 一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水。怎么办呢？乌鸦看见旁边有许多小石子。想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里，瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。 本章引言一、情境导新一、情境导新1.1.摩天轮问题：摩天轮问题：观察图片和图像，思考问题串观察图片和图像，思考问题串图像法图像法 时间、高度、时间、高度、每个时间有几个高度？每个时间有几
15、个高度？2.2.罐头盒问题：罐头盒问题：表格表格，涉及层数和罐头盒个，涉及层数和罐头盒个数两个变量，及其变化关系。数两个变量，及其变化关系。3.3.刹车距离问题：刹车距离问题：解析式解析式刹车前汽车的速度刹车前汽车的速度v v，滑行距离，滑行距离s s 二、概念形成二、概念形成 1.1.议一议：议一议：在上面研究的三个问题有什么共同点和不同点？2.2.说一说：说一说：这三个问题都研究了两个变量，一个随另一这三个问题都研究了两个变量，一个随另一个的变化而变化，个的变化而变化，一个变量取一个确定的值，一个变量取一个确定的值，另一个就有唯一确定的值与它对应；另一个就有唯一确定的值与它对应；在第一在第
16、一个问题中，是以图象的形式反映两个变量之个问题中，是以图象的形式反映两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式反间的关系；第二个问题中是以表格的形式反映两个变量之间的关系；第三个问题是以代映两个变量之间的关系；第三个问题是以代数式来反映两个变量之间的关系。数式来反映两个变量之间的关系。 3.3.读一读：读一读：一般地，在某个变化过程之中，一般地，在某个变化过程之中，有两个变量有两个变量x x和和y y，如果给定一个，如果给定一个x x值，相应的值，相应的就确定了一个就确定了一个y y值，那么我们称值，那么我们称y y是是x x的函数的函数（functionfunction） ，其中，其中x
17、 x是自变量，是自变量，y y是因变量。是因变量。4.4.想一想：想一想：以上三个问题情境中，自变以上三个问题情境中，自变量是什么，因变量是什么？量是什么，因变量是什么？5.5.辨一辨：辨一辨：例例1(1)1(1)已知菱形已知菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC长为长为4 4，BDBD的长的长x x在变化，则菱形的面积为在变化，则菱形的面积为 ，本题中有几个变量，能把其中一个看做另本题中有几个变量，能把其中一个看做另一个的函数吗？一个的函数吗？(2)(2)设一长方体盒子高为设一长方体盒子高为10cm10cm，底面是正方，底面是正方形，这个长方体的体积形，这个长方体的体积v v（cmcm
18、3 3）与底面边长）与底面边长a a（cmcm）的关系式为）的关系式为 ，自变量和因自变量和因变量分别是：变量分别是： 。6.6.用一用：用一用：例例2 2（7373页例页例1 1） 汽车油箱有汽油汽车油箱有汽油50 50 L，如果，如果不再加油，那么油箱中的油量不再加油，那么油箱中的油量y（单位：（单位：L）随）随行驶路程行驶路程 x（单位：（单位：km）的增加而减少，平）的增加而减少，平均油耗为均油耗为0.10.1L/ /km. . （1 1）写出表示）写出表示y与与x的函数关系的式子；的函数关系的式子；（2 2）指出自变量）指出自变量x的取值范围；的取值范围；（3 3）汽车行驶）汽车行驶
19、200 200 km时，油箱中还有多少汽时，油箱中还有多少汽油？油？ 两种概念学习模式的比较：两种概念学习模式的比较： 发现式是对事物本质属性的概括，比较接发现式是对事物本质属性的概括，比较接近于人类自发形成概念的过程。近于人类自发形成概念的过程。比较费时间，比较费时间，要求的认知水平不高，适合于低年级学生。要求的认知水平不高，适合于低年级学生。 有意义接受式则较多的依赖与原有的概念，有意义接受式则较多的依赖与原有的概念，是认知水平达到一定程度的人获得概念的主是认知水平达到一定程度的人获得概念的主要方式。要方式。比较省时间，要求具备适当的科学比较省时间，要求具备适当的科学概念，适合于高年级学生
20、概念，适合于高年级学生。 数学中的反例，是指符合某个命题条件，而又数学中的反例，是指符合某个命题条件，而又不符合该命题结论的例子。不符合该命题结论的例子。一种指出某个命题不成立的例子！一种指出某个命题不成立的例子！ （1 1）重视）重视数学概念数学概念教学中教学中反例反例的的作用作用数学数学概念概念教学中的反例，可以帮助澄清概念，教学中的反例，可以帮助澄清概念，使得概念更加确切与明晰。使得概念更加确切与明晰。 4.4.数学概念数学概念教学中的几个关键点教学中的几个关键点 如图，如图，ABCABC是等腰三角形，点是等腰三角形，点D D是底边是底边BCBC上异于上异于BCBC中点的一个点，中点的一
21、个点， ADE=DACADE=DAC，DE=ACDE=AC运用这运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）假命题？（）A A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形行四边形B B有一组对边平行的四边形是梯形有一组对边平行的四边形是梯形C C一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形四边形D D对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形案例案例5：一个考题：一个考题 学习概念一是要知道它的外延意义，二是学习概念一是要知道它的外延意义，二
22、是要理解它的内涵意义。而内涵意义是概念名称要理解它的内涵意义。而内涵意义是概念名称在学习者内部唤起的，独特的、个人的、情感在学习者内部唤起的，独特的、个人的、情感的和态度的反应。学习者的这类反应，取决于的和态度的反应。学习者的这类反应，取决于他们对这类物体的特定经验。赋予一个概念一他们对这类物体的特定经验。赋予一个概念一个实际背景可以将抽象概念形象化、具体化。个实际背景可以将抽象概念形象化、具体化。 同时也要注意有些数学概念是离不开实际同时也要注意有些数学概念是离不开实际背景的。体现数学学科的社会性、情感和价值背景的。体现数学学科的社会性、情感和价值观。观。（2 2）重视）重视数学概念的数学概
23、念的有意义有意义化教学化教学 “无理数无理数”是一个描述型概念。这类数学是一个描述型概念。这类数学名称对大多数学生来讲具有很少的内涵意义，名称对大多数学生来讲具有很少的内涵意义，抽象难懂。如果直接讲授，学生只从结构形式抽象难懂。如果直接讲授，学生只从结构形式上识别无理数，而对无理数的本质属性缺乏感上识别无理数，而对无理数的本质属性缺乏感悟，难以深刻理解、灵活运用。悟，难以深刻理解、灵活运用。 学生不易接受，容易产生心理疲劳。学生不易接受，容易产生心理疲劳。教材：教材： 案例案例6 6：无理数概念的教学：无理数概念的教学 准备了十个乒乓球，在每个乒乓球上分别准备了十个乒乓球，在每个乒乓球上分别贴
24、上贴上0-90-9这十个数字放在不透明的袋子里，上这十个数字放在不透明的袋子里，上课时先出示乒乓球，然后请同学们上来在袋中课时先出示乒乓球，然后请同学们上来在袋中摸出一个球，并请几个同学在小数点后面写上摸出一个球，并请几个同学在小数点后面写上他所摸到乒乓球上的数字，随着一个个同学上他所摸到乒乓球上的数字，随着一个个同学上来摸球，数字一次次地记，黑板上出现了一个来摸球，数字一次次地记，黑板上出现了一个不断延伸的小数：不断延伸的小数：0.4185324690.418532469 以摸乒乓球得到的数来产生一个具体的位以摸乒乓球得到的数来产生一个具体的位数可以不断延伸的小数，为学生提供了一个可数可以不
25、断延伸的小数，为学生提供了一个可以以“感触感触”的非常直观的无理数模型，使本来的非常直观的无理数模型，使本来遥不可及的数学概念具体地走到学生的面前，遥不可及的数学概念具体地走到学生的面前，赋予无理数一个真实可信的意义，使概念更容赋予无理数一个真实可信的意义，使概念更容易接受、更有意义。易接受、更有意义。 （3 3）重视数学概念的局部探究性教学）重视数学概念的局部探究性教学 高效课堂的核心就是高效课堂的核心就是自主、合作、探究自主、合作、探究 探究性学习是一种在教师引导下的体现学探究性学习是一种在教师引导下的体现学生主动学习的一种学习方式，它往往模拟数学生主动学习的一种学习方式，它往往模拟数学家
26、发现新的概念和命题的探究过程。简言之，家发现新的概念和命题的探究过程。简言之，探究学习是对数学探究的模拟，有别于学生好探究学习是对数学探究的模拟，有别于学生好奇心驱动下所从事的那种自发、盲目、低效或奇心驱动下所从事的那种自发、盲目、低效或无效的探究活动。无效的探究活动。 根据教材特点，围绕一个根据教材特点，围绕一个概念概念选好选好1 12 2个个探究点自我探究或者合作探究。探究点自我探究或者合作探究。 探究中，教师要在关键时候给予必要的启探究中，教师要在关键时候给予必要的启发、引导，发、引导，不是放任自流不是放任自流。 案例案例7 7 三角形三条重要线段的教学三角形三条重要线段的教学 教材和一
27、般教学设计来说，教师边画教材和一般教学设计来说，教师边画图边介绍，之后再进行辨认训练，学生看图边介绍，之后再进行辨认训练，学生看是接受了，实际上对概念的理解是浅显的，是接受了，实际上对概念的理解是浅显的，不深刻的。不深刻的。BADE FCBADE FCBADE FCBADE FC第一步：问题串第一步：问题串（1 1）给定）给定ABC,ABC,能否在能否在BCBC边上找到一个点边上找到一个点D D，使得，使得ADAD将将ABCABC的面积平分的面积平分? ?（2 2）在）在BCBC边上有一个动点边上有一个动点E E，点，点E E运动的何处运动的何处时，沿着时，沿着AEAE对折，能够使得对折，能够
28、使得AB,AC AB,AC 重合重合? ?（3 3）在）在BCBC边上有一个动点边上有一个动点F F，点点F F运动的何处时，运动的何处时，线段线段AFAF的长度最短的长度最短? ?BADE FCBADE FC第二步：问题串第二步：问题串（4 4）什么情形下两个三角形的面积相等）什么情形下两个三角形的面积相等? ?（5 5）AB,AC AB,AC 重合时，重合时，B AEB AE与与 CAECAE与有何与有何关系关系? ?（6 6）直线外一点到直线上个点的距离何时最）直线外一点到直线上个点的距离何时最短短? ?BADE FCBADE FC第三步：留第三步：留2-32-3分钟学生自主探究分钟学生
29、自主探究效果：效果：绝大多数学生得出绝大多数学生得出D D为中点，为中点， B AE=B AE= CAE CAE，AFAF为垂线段。从而引为垂线段。从而引出了三个概念出了三个概念. . 说明：说明：学生亲自参与、由表及里的不断学生亲自参与、由表及里的不断深入的理解过程，从而品尝了发现所带来的深入的理解过程，从而品尝了发现所带来的快乐，实践了探究图形数量和位置关系、舍快乐，实践了探究图形数量和位置关系、舍弃其他一切表面现象的一种思维活动。弃其他一切表面现象的一种思维活动。 这样的探究教学活动活跃了学生的思维，这样的探究教学活动活跃了学生的思维，数学变得亲近，几何概念不再死板，学生乐数学变得亲近，几何概念不再死板，学生乐于接受。于接受。 谢谢 谢谢 大大 家家
