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1、 复习课复习课-二项式定理及应用二项式定理及应用要点梳理要点梳理1.1.二项式定理二项式定理 2.2.通项公式通项公式 1.3.21.3.2二项式定理二项式定理3.3.二项式系数的性质二项式系数的性质（1 1）对称性：）对称性： （2 2）增减性与最大值：）增减性与最大值： 当当n n是是偶偶数数时时，中中间间的的一一项项 取取得得最最大大值值 . . 当当n n是奇数时，中间两项同时取得最大值，是奇数时，中间两项同时取得最大值， 分别是分别是 和和 。（3 3） 二项式系数的和二项式系数的和 = =2 2n n. .其中其中= =高考二项式定理的三种题型高考二项式定理的三种题型:二项式定理二
2、项式定理是高考主要内容之一。是高考主要内容之一。高考要求是：掌握二项式定理和二项展高考要求是：掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。它在高考中总是以选择些简单的问题。它在高考中总是以选择和填空的形式出现，分值为和填空的形式出现，分值为5 5分。出现分。出现的题型主要有三类：的题型主要有三类：1 1、求二项展开式中指定项，如常数项、求二项展开式中指定项，如常数项、 有理项、整式项、系数最大的项等。有理项、整式项、系数最大的项等。2 2、求某二项式系数。、求某二项式系数。3 3、求系数和、求系数和. . 解解 （1 1）通项公式为）
3、通项公式为T Tr r+1+1= = ，第第6 6项为常数项，项为常数项，r r=5=5时，有时，有 =0=0，即，即n n=10.=10.一、解答题一、解答题 1.已知在已知在 的展开式中，第的展开式中，第6项为常项为常数项数项.（1）求）求n；（2）求含）求含x2项的系数；项的系数；（3）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有理项.（2 2）令）令 =2,=2,得得r r= (= (n n-6)=2,-6)=2,所求的系数为所求的系数为 Z Z, , 0 0r10,10, rZ Z, ,令令 = =k k ( (k kZ Z),),则则10-210-2r r=3=3k k，即，即r r
4、=5- =5- k k. .r rZ Z，k k应为偶数应为偶数. .k k可取可取2,0,-22,0,-2，即，即r r可取可取2,5,8.2,5,8.第第3 3项，第项，第6 6项与第项与第9 9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为（3 3）根据通项公式，由题意得）根据通项公式，由题意得题型一题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数【例例1 1】在二项式在二项式 的展开式中，前三项的的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项数最大的项. . 利用已知条件前三项的系数成等差数利
5、用已知条件前三项的系数成等差数列求出列求出n n, ,再用通项公式求有理项再用通项公式求有理项. . 解解 二项展开式的前三项的系数分别是二项展开式的前三项的系数分别是1 1， ， n n（n n-1-1），）， 2 2 =1+ =1+ n n（n n-1-1），）， 解得解得n n=8=8或或n n=1=1（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），思维启迪思维启迪当当4- 4- k kZ Z时，时，T Tk k+1+1为有理项，为有理项，00k k88且且k kZ Z,k k=0=0，4 4，8 8符合要求符合要求. .故有理项有故有理项有3 3项，分别是项，分别是T T1 1= =x x4
6、4，T T5 5= = x x，T T9 9= = x x-2-2. .n n=8=8，展开式中共展开式中共9 9项，项，中间一项即第中间一项即第5 5项的二项式系数最大且为项的二项式系数最大且为T T5 5= = x x. . 求二项展开式中的指定项，一般是利用求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数数为整数等），解出项数k k+1+1，代回通项公式即可，代回通项公式即可. .探究提高探究提高 解析解析
7、 因为因为(1+(1+x x) )6 6的通项是的通项是T Tr r+1+1= = x xr r, ,令令r r=5=5得得T T6 6= = x x5 5; ;令令r r=2=2得得T T3 3= = x x2 2, ,所所以以（1-1-x x3 3）(1+(1+x x) )6 6展展开开式式中中x x5 5的系数为的系数为 - =-9.- =-9.-9-9. .在（在（1-x1-x3 3）(1+x)6(1+x)6的展开式中，的展开式中，x5x5的系数为的系数为 . .题型二题型二 求展开式中各项系数之和求展开式中各项系数之和【例例1 1】已知已知(1-2x)(1-2x)7 7=a=a0 0
8、+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a7 7x x7 7. . 求求:(1) a:(1) a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7; ; (2) a (2) a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7; ; (3) a (3) a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6; ; (4) |a (4) |a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a7 7|.|.解解: : 令令x=1,x=1,则则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=-1 =-1 令令x=-1,x=
9、-1,则则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4-a-a5 5+a+a6 6-a-a7 7=3=37 7 (1)a(1)a0 0= =1,a= =1,a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a7 7=-2.=-2.(2)(-)(2)(-)2,2, 得得a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7= =-1 094.= =-1 094.(3)(+)(3)(+)2,2,得得 a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6= =1 093.= =1 093.(4)(1-2x)(4)(1-2x)7 7展开式中展开式中,a,a0 0,a,a2 2,a
10、,a4 4,a,a6 6都大于零都大于零, , 而而a a1 1,a,a3 3,a,a5 5,a,a7 7都小于零都小于零, , |a |a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a7 7| | =(a =(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6)-(a)-(a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7),), =1093- =1093-（-1094-1094）=2 187=2 187 探探究究提提高高 本本题题采采用用的的是是“赋赋值值法法”，它它普普遍遍适适用用于于恒恒等等式式，是是一一种种重重要要的的方方法法，在在解解有有关关问问题题时时，经常
11、要用到这种方法经常要用到这种方法. . 对对 形形 如如 （ axax+ +b b）n n、 （ axax2 2+ +bxbx+ +c c）m m （ a a， b b，c cR R, ,m m, ,n nN N* *）的式子求其展开式的各项系数之）的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令和，常用赋值法，只需令x x=1=1即可；对（即可；对（axax+ +byby）n n （a a，b bR R，n nN N* *）的的式式子子求求其其展展开开式式各各项项系系数数之之和，只需令和，只需令x x= =y y=1=1即可即可. . 一一 般般 地地 ， 若若 f f（ x x） =
12、=a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2+ + +a an nx xn n， 则则f f（x x）展展开开式式中中各各项项系系数数之之和和为为f f（1 1），奇奇数数项项系系数数之之和和为为a a0 0+ +a a2 2+ +a a4 4+ += = ，偶偶数数项项系系数数之之和和为为a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5+ += =知能迁移知能迁移2 2 设（设（2- x2- x）100100=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a100100x x100100, ,求求: (1)a: (1)a0 0; ; (2)a (2
13、)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+ +a+a9999; ; (3)(a (3)(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ +a+a100100) )2 2-(a-(a1 1+a+a3 3+ +a+a9999) )2 2; ; (4)|a (4)|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a100100|.|.解解: :（1 1）方方法法一一: : 由由（2- 2- x x）100100展展开开式式中中的的常常数数项项为为 2 2100100，得，得a a0 0=2=2100100. . 方法二方法二 : : 令令x=0x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a a0
14、 0=2=2100100. .（2 2）令）令x=1, x=1, 得得 a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a9999+a+a100100=(2- )=(2- )100100 令令x=-1, x=-1, 得得 a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+ +a+a100100=(2+ )=(2+ )100 100 联立联立得得a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999= =(3)(3)原式原式= =（a a0 0+ +a a2 2+ + +a a100100）+ +（a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999）（a a0 0+ +a a2 2+
15、 + +a a100100）- -（a a1 1+ +a a3 3+ + +a a9999）= =（a a0 0+ +a a1 1+ +a a2 2+ + +a a100100）( (a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ + +a a9898- -a a9999+ +a a100100) )=(2- )=(2- )100100(2+ )(2+ )100100=1.=1.(4)(4)展开式中，展开式中，a a0 0, ,a a2 2, ,a a4 4, , ,a a100100大于零，而大于零，而a a1 1, ,a a3 3, , ,a a9999小于零，小于零
16、，原式原式= =a a0 0- -a a1 1+ +a a2 2- -a a3 3+ + +a a9898- -a a9999+ +a a100100=(2+ )=(2+ )100100. .知能迁移知能迁移1 1 已知已知 的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数和比（和比（3 3x x-1-1）n n的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992.992.求求 的展开式中，的展开式中，（1 1）二项式系数最大的项；）二项式系数最大的项；（2 2）系数的绝对值最大的项）系数的绝对值最大的项. . 解解 由题意知，由题意知，2 22 2n n-2-2n n=992,=992, 即即(2
17、(2n n-32)(2-32)(2n n+31)=0,2+31)=0,2n n=32,=32,解得解得n n=5.=5.（1 1）由二项式系数的性质知，）由二项式系数的性质知， 的展开式中的展开式中第第6 6项的二项式系数最大，即项的二项式系数最大，即 =252.=252.（2 2）设第）设第r r+1+1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，r rZ Z，r r=3.=3.故系数的绝对值最大的是第故系数的绝对值最大的是第4 4项，项，T T4 4=- =- 2 27 7x x4 4=-15 360=-15 360x x4 4. .方法与技巧方法与技巧1.1.通项公式最常用，是解题的基础
18、通项公式最常用，是解题的基础. .2.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特 点点，转转化化为为二二项项式式来来解解决决，转转化化的的方方法法通通常常为为集集项项、配配方方、因因式式分分解解，集集项项时时要要注注意意结结合合的的合合理理性性和和简简捷性捷性. .3.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项项公公式式讨讨论论对对r r的的限限制制；求求有有理理项项时时要要注注意意到到指指数数及项数的整数性及项数的整数性. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高4.4.性性质质1 1是是组组合合数数
19、公公式式 的的再再现现，性性质质2 2是是从从函函数数的的角角度度研研究究的的二二项项式式系系数数的的单单调调性性，性性质质3 3是是利利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和. .5.5.因因为为二二项项式式定定理理中中的的字字母母可可取取任任意意数数或或式式，所所以以在在解解题题时时根根据据题题意意，给给字字母母赋赋值值，是是求求解解二二项项展展开开式式各项系数和的一种重要方法各项系数和的一种重要方法. .6.6.二二项项式式定定理理体体现现了了二二项项式式的的正正整整数数幂幂的的展展开开式式的的指指数数、项项数数、二二项项式式系系数数等等
20、方方面面的的内内在在联联系系，涉涉及及到到二二项项展展开开式式中中的的项项和和系系数数的的综综合合问问题题，只只需需运运用用通通项项公公式式和和二二项项式式系系数数的的性性质质对对条条件件进进行行逐逐个个分分析析，对对于于与与组组合合数数有有关关的的和和的的问问题题，赋赋值值法法是是常常用用且且重重要的方法，同时注意二项式定理的逆用要的方法，同时注意二项式定理的逆用. .失误与防范失误与防范1.1.要要把把“二二项项式式系系数数的的和和”与与“各各项项系系数数和和”，“奇奇（偶偶）数数项项系系数数和和与与奇奇（偶）次项系数和（偶）次项系数和”严格地区别开来严格地区别开来. .2.2.根根据据通
21、通项项公公式式时时常常用用到到根根式式与与幂幂指指数数的互化，学生易出错的互化，学生易出错. .3.3.通项公式是第通项公式是第r r+1+1项而不是第项而不是第r r项项. .一、选择题一、选择题1.1.（20092009重庆理，重庆理，3 3）( (x x2 2+ )+ )8 8的展开式中的展开式中x x4 4的系的系数是数是（） A.16A.16B.70 B.70 C.560C.560D.1 120D.1 120 解析解析 设二项式展开式的第设二项式展开式的第r r+1+1项含有项含有x x4 4, , 则则T Tr r+1+1= = ( (x x2 2) )8-8-r r（ ）r r.
22、 . 16-2 16-2r r- -r r=4,=4,r r=4.=4. x x4 4的系数为的系数为 2 24 4=1 120.=1 120.D定时检测定时检测基础自测基础自测1.1.二二项项式式（a a+2+2b b）n n展展开开式式中中的的第第二二项项的的系系数数是是8 8，则则它的第三项的二项式系数为它的第三项的二项式系数为（） A.24A.24B.18B.18 C.16 C.16 D.6D.6 解析解析 T T2 2= = 所以所以2 2n n=8=8，n n=4,=4,所以所以 = =6.= =6.D2.2.在在 的展开式中，的展开式中，x x的幂的指数是整数的项共的幂的指数是整
23、数的项共 有有（） A.3A.3项项B.4B.4项项C.5C.5项项D.6D.6项项 解析解析 T Tr r+1+1= = 故当故当r r=0,6,12,18,24=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共时，幂指数为整数，共5 5项项. .C3.3.在在 的的展展开开式式中中，只只有有第第5 5项项的的二二项项式式系系数数最大，则展开式中常数项是最大，则展开式中常数项是（） A.-7A.-7B.7B.7 C.-28 C.-28D.28D.28 解析解析 只有第只有第5 5项的二项式系数最大，则展开式共项的二项式系数最大，则展开式共9 9项，即项，即n n=8=8， 当当r r=6=6时为
24、常数项，时为常数项，T T7 7=7.=7.B解析解析 T Tk k+1+1= = 为常数项为常数项, ,k k=4=4且且 （- -a a）4 4=1 120=1 120，a a4 4=16=16，a a= =2,2,当当a a=2=2时，令时，令x x=1,=1,得各项系数和为得各项系数和为(1- )(1- )8 8=1=1；当当a a=-2=-2时，令时，令x x=1=1，得各项系数和为，得各项系数和为(1+ )(1+ )8 8=3=38 8. .答案答案 C C5.已知已知 展开式中常数项为展开式中常数项为1 120，其中实，其中实数数a为常数，则展开式中各项系数的和为为常数，则展开式
25、中各项系数的和为 （） A.28B.38 C.1或或38D.1或或28二、填空题二、填空题7.7.已知已知n n为正偶数，且（为正偶数，且（x x2 2- - ）n n的展开式中第的展开式中第4 4项的项的二项式系数最大，则第二项式系数最大，则第4 4项的系数是项的系数是 . .（用数（用数字作答）字作答） 解析解析 n n为正偶数，且第为正偶数，且第4 4项二项式系数最大，故展开项二项式系数最大，故展开 式共式共7 7项，项，n n=6=6，第，第4 4项系数为项系数为9.9.（20092009全全国国理理，1313）（x x- -y y）1010的的展展开开式式中中，x x7 7y y3
26、3的系数与的系数与x x3 3y y7 7的系数之和等于的系数之和等于 . . 解析解析 ( (x x- -y y) )1010的展开式中含的展开式中含x x7 7y y3 3的项为的项为 x x10-310-3y y3 3 (-1)(-1)3 3=- =- x x7 7y y3 3, ,含含x x3 3y y7 7的项为的项为 x x10-710-7y y7 7(-1)(-1)7 7= = 由由 =120=120知，知，x x7 7y y3 3与与x x3 3y y7 7的系数之和为的系数之和为-240.-240.-240-2404.4.在在 的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为1515
27、，则，则n n的一个值的一个值 可以是可以是（） A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 解析解析 通项通项T Tr r+1+1= = 常数项是常数项是1515，则，则2 2n n=3=3r r, ,且且 =15=15，验证，验证n n=6=6时，时，r r=4=4合题意合题意. .D2.2.（20092009浙浙江江理理，4 4）在在二二项项式式 的的展展开开式式中中，含含x x4 4的项的系数是的项的系数是（） A.-10A.-10B.10B.10 C.-5 D.5 C.-5 D.5 解析解析 的展开式的通项为的展开式的通项为 令令10-310-3r r=4,=4,得得r r=2,=2,x x4 4项的系数为项的系数为 =10.=10.B 余数是余数是1 1， 所以是所以是星期六星期六练习练习1、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的天后的这一天是星期几？这一天是星期几？作业：作业： 1.课本课本 P35-36 习题习题 10， 2.课课练课课练 第第12，13课时课时31 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
