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1、6.5.1 无穷限的广义积分无穷限的广义积分6.5 反常积分反常积分例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解证证证证例例5计算计算解解 分母的阶数较高分母的阶数较高, , 可利用到代换可利用到代换, , 令令则则则则再令再令6.5.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解证证例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解故原广义积分发散故原广义积分发散.例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解瑕点瑕点例例5计算广义积分计算广义积分被积函数有两个可疑的瑕点
2、被积函数有两个可疑的瑕点: :解解因为因为所以所以, ,是被积函数的唯一瑕点是被积函数的唯一瑕点. . 从而从而例例6解解计算广义积分计算广义积分此题为混合型广义积分此题为混合型广义积分, , 积分上限为积分上限为下限下限为被积函数的瑕点为被积函数的瑕点. .令令则则于是于是再令再令取取于是于是于是于是再令再令取取于是于是注注: :计算会更简单计算会更简单, ,请读者自行解之请读者自行解之. .本题若采用变换本题若采用变换等等, ,一、无穷限的广义积分的审敛法一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法敛性的判定方法.由定
3、理由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理6.5.3 广义积分的收敛判别法广义积分的收敛判别法证证由定理知由定理知例如，例如，例例解解根据比较审敛法，根据比较审敛法，例例解解所给广义积分收敛所给广义积分收敛例例解解根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散例例解解根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散证证即即收敛收敛.例例5解解所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分的审敛法例例6解解由洛必达法则知由洛必达法则知根据极限审敛法
4、根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例7解解根据比较审敛原理根据比较审敛原理,特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷; 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：小结：小结：绝对收敛绝对收敛无界函数的广义积分无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是练练 习习 题（一）题（一）练习题（一）答案练习题（一）答案练练 习习 题（二）题（二）练习题（二）答案练习题（二）答案一、一、1、收敛；、收敛； 2、收敛；、收敛； 3、发散；、发散； 4、收敛；、收敛；
