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1、勾勾股股定定理理发现发现应用应用勾股勾股定理定理证明证明赵爽弦图赵爽弦图毕达哥拉斯毕达哥拉斯美国总统美国总统在数轴上表示某些无理数在数轴上表示某些无理数生活应用生活应用旗杆、梯子、河水深度等问题旗杆、梯子、河水深度等问题勾股定勾股定理的逆理的逆定理定理内容内容应用应用已知三角形的三边长，判断是否是直角三角形已知三角形的三边长，判断是否是直角三角形综合应用综合应用折纸中的勾股定理折纸中的勾股定理路程最短问题路程最短问题拼图加面积法拼图加面积法猜想猜想直角三角形，已知两边，求第三边直角三角形，已知两边，求第三边勾股数勾股数分类思想分类思想特殊例子特殊例子用割、补法求图形面积用割、补法求图形面积例：
2、在RtABC中，C=90. （1）若a=3,b=4，则c= ； （2）若c=34,a:b=8:15，则 a= ,b= ；（一）勾（一）勾股定理股定理 1.已知三角形的三边长为已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是则这个三角形的最大角是 度度;2.若若ABC中中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则则AC边上的高长为边上的高长为 ;例例2（二）勾（二）勾股定理的逆定理股定理的逆定理总结：直总结：直角三角形斜边上的高的求法角三角形斜边上的高的求法 勾勾股树股树 如如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
3、角三角形，其中最大的正方形所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为的边长为5 5，则正方形，则正方形A A，B B，C C，D D的面积的的面积的和为和为 25S1S2S3勾股数勾股数 专题一专题一 分类思想分类思想 1.直角三角形中，已知两边长是直角边、直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真当已知条件中没有给出图形时，应认真读题画图，避免遗漏另一种情况。读题画图，避免遗漏另一种情况。 2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上边上的高线的高线AD=8,求求BCDDABC 1.
4、已知已知:直角三角形的三边长分别是直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则则X2=25 或或7ABC1017817108 专题二专题二 方程思想方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。的等量关系，利用勾股定理列方程。1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为米的小东拿着一根长竹竿进一个宽为米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高米，当他把竹竿斜着结果竹竿比城门高米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿
5、长时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？多少？x1m(x+1)32、在一棵树的、在一棵树的10米高处米高处B有两只猴子，有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树其中一只猴子爬下树走到离树20米的米的池塘池塘A，另一只猴子爬到树顶，另一只猴子爬到树顶D后直接后直接跃向池塘的跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？距离相等，试问这棵树有多高？.DBCA3小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边边1.5m远的水底，竹竿高出水面远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水
6、平线刚好相齐，求河端拉向岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。水深度。文字语言文字语言图形语言图形语言解：如图：设解：如图：设AB=xm,则则AC=x+0.5，在直角三角形在直角三角形ABC中：中：x2+1.52=(x+0.5)2解得：解得：x=2答：河水深答：河水深2米。米。符号语言符号语言 专题三专题三 折叠折叠 折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后图形全等，找到对应边、对应角相等便可图形全等，找到对应边、对应角相等便可顺利解决折叠问题顺利解决折叠问题例例:矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的点边上的点F处，已知处，已知A
7、B=8，BC=10，求求DE的长。的长。ABCDFE解解:设设DE为为X,X(8- X)则则CE为为 (8 X).由题意可知由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+ BF2AF282+ BF2102 BF6CF106464 C=90 CE2+CF2EF2(8 X)2+42=X2X=5 1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。 专题四专题四 展开思想展开思想例例1:1:如如图图, ,一一圆圆柱柱高高8cm,8cm,底底
8、面面半半径径2cm,2cm,一一只只蚂蚂蚁蚁从从点点A A爬爬到到点点B B处处吃吃食食, ,要要爬爬行行的的最最短短路路程程( ( 取取3 3）是是( ( ) ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 BB8OA2蛋糕ACB周长的一半例例2为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高纸，如图已知圆筒高108cm，其截面周长为，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪
9、多长圈，应截剪多长油纸。油纸。2736108ABC45454=180例例3 如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方沿正方体的表面到顶点体的表面到顶点C处吃食物，那么它需处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？要爬行的最短路程的长是多少？ABCDABCD16 1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画几何体的内部路径最值的问题，一般画出几何体截面出几何体截面 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。 专题五专题五 截面中的勾股定理截面中的勾股定理小明家住在小明家住在18层的高
10、楼，一天，他与妈妈去买竹竿。层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，太糟糕，太长了，放长了，放不进去。不进去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米专题六、专题六、辅助
11、线思想（构造直角三角形）辅助线思想（构造直角三角形） 例1、如图，已知ABC中，B=450，C=300，AB= ，求BC的长？ D例例2、如图，、如图，B= C= D= E=90，且，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求，则求AF的长。的长。ABCDEF334223242 10 例例3、在数轴上表示、在数轴上表示的点？的点？例例4、构造直角三角形、构造直角三角形 等等腰（边）三角形腰（边）三角形 48 1 1、在、在ABCABC中，中， AB=AC=10AB=AC=10， BC=12BC=12，则，则ABC ABC 的的面积为面积为_2 2、等边三角形的边长为、等边三角形的边长为2
12、 2，则该三角形的面积，则该三角形的面积为为_CA D B专题七、专题七、勾股定理与平面直角坐标系勾股定理与平面直角坐标系 1 1、在平面直角坐标系中，已知点、在平面直角坐标系中，已知点P P的的坐标是坐标是(1,2)(1,2)，则，则OPOP的长为（的长为（ ）P(1,2)oxy12122 2、如图，平面直角坐标系中如图，平面直角坐标系中,ABAC.,ABAC.求点求点B B的坐标。的坐标。x21ABAOBO 2 + x x4ACAOCO 12 5BC(x1)（-x，0）X4B（- 4,0）专题八、专题八、整体思想整体思想 1 1、一个直角三角形的周长为、一个直角三角形的周长为2+ 2+ ，
13、斜边长为，斜边长为2 2，则其面积为则其面积为_ 2 2、已知、已知RtABCRtABC中，中，C=90C=90，若，若a+b=14a+b=14，c=10c=10，则则RtABCRtABC的面积是的面积是_ 3 3、一个直角三角形的周长为、一个直角三角形的周长为24cm24cm，面积为，面积为24cm24cm，则斜边长为则斜边长为_ 2410 cm专题九、专题九、勾股定理与全等勾股定理与全等 1、如如图所示，直线图所示，直线L过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点B，点，点A,C到直线到直线L的距离是的距离是1和和2，则正方形，则正方形ABCD的的边长是（边长是（ ）EFLDCBA12 2、如、
14、如图，直线上有三个正方形，若图，直线上有三个正方形，若A,B的面积分别为的面积分别为5和和11，则，则C的面的面积为积为 （）63 3、正方形面积与勾股定理中的、正方形面积与勾股定理中的、正方形面积与勾股定理中的、正方形面积与勾股定理中的a a2 2、b b2 2、c c2 2的相互转化的相互转化的相互转化的相互转化在直线在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正放置的四个的正方形的面积依次是的正方形的面积依次是S1 1、S2 2、S3 3、S4 4，则，则S1 1+S2 2+S3 3+
15、S4 4= 。S1 1S2 2S3 3S4 41234C1：如图，一条河同一侧的两村庄如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中，其中A、B到河岸最短距离分别为到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上，现欲在河岸上M处建一个水泵站向处建一个水泵站向A、B两村送水，当两村送水，当M在河岸上何处时，到在河岸上何处时，到A、B两村两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。铺设水管总长度最短，并求出最短距离。AMBADE124114 5 专题十、专题十、勾股定理与最短距离问题勾股定理与最短距离问题2 2、如图，、如图，将一根将一根25cm25cm长的细木棍放入长，宽高长的细
16、木棍放入长，宽高分别为分别为8cm8cm、6cm6cm、和、和 cmcm的长方体无盖盒子的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？ABCDE E862510205解决较综合的问题-最短路程1、如如图图，四四边边形形ABCD中中，B900，AB20，BC15，CD7，AD24,求证求证A+C=1800。专题十一、割补图形专题十一、割补图形25转转化化思思想想2、如图所示是一块地，已知、如图所示是一块地，已知AD=8米，米，CD=6米，米，D=900，AB=26米，米，BC=24米，求米，求这块地的面积这块地的面积 专题十二专题十二格点格点三角形三
17、角形BCD是直是直角吗角吗核心内容归纳：基本思想与方法： 数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，（转化）化归思想，由特殊到一般（发现猜想证明），整体思想、数学建模思想等.题组练习题组练习巩固提升巩固提升1.在Rt ABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=12，c=20，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，A=30，求a，c.答案:（4）a=，c=.5165第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型（公式）2、已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边。3434易错题易错题1.如图，已知在ABC中，B =90，若BC4，A
18、Bx，AC=8- -x，则AB=, ,AC=.2.在Rt ABC C 中中, ,B=90，b=34, ,a:c=8:15, ,则a=, , c=.351630第一组练习:勾股定理的直接应用（二）知一边及另两边关系型（方程思想）1 等腰三角形底边上的高为等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，则，则三角形的面积为（三角形的面积为（ ） ABCD8xx16-xx2 2+82 2=(16-x)2 2x=6BC=2x=12B第二组练习第二组练习:勾股定理的直接应用求面积勾股定理的直接应用求面积2 2 已知等边三角形的边长为已知等边三角形的边长为6,6,求它的求它的面积面积. . 求它的高求它的高
19、. .求它的面积求它的面积. . BACD6663330例例如图，一块直角三角形的纸片，两直如图，一块直角三角形的纸片，两直角边角边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，且上，且与与AE重合，求重合，求CD的长的长 ACDBE第8题图x6x8-x46第三组练习:解决较综合的问题-折叠三角形如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航
20、向？第四组练习:解决较实际的问题-方位角第五组第五组 判判断一个三角形是否为直角三角形断一个三角形是否为直角三角形1. 直接给出三边长度，如直接给出三边长度，如3,4,5;2.间接给出三边的长度或比例关系间接给出三边的长度或比例关系（1）.若一个三角形的周长若一个三角形的周长12cm,一边长为一边长为3cm,其其他两边之差为他两边之差为1cm,则这个三角形是则这个三角形是_. （2）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是得到的三角形是 _（3）在）在ABC中，中， ，那么，那么ABC的确切形状是的确切形状是_.ABCD2 2已已知知，如如图图，
21、四四边边形形ABCDABCD中中，AB=3cmAB=3cm，AD=4cmAD=4cm，BC=13cmBC=13cm，CD=12cmCD=12cm，且且A=90A=90，求四边形求四边形ABCDABCD的面积。的面积。36第六组练习:勾股定理和逆定理综合1.(2013菏泽中考菏泽中考)如图，边长为如图，边长为6的大正方形的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为别为S1，S2，则，则S1+S2的值为的值为()A16B17C18D19走进中考走进中考2.(2013巴中中考巴中中考)若直角三角若直角三角形的两直角边长为形的两直角边长为a，b，且满，
22、且满足足则该直则该直角三角形的斜边长为角三角形的斜边长为_3.(2013张家界中考)如图，OP=1，过P作PP1OP且PP1=1，得OP1= 再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2= 又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2 012=_ 4、请、请阅读下列材料：阅读下列材料：问题：问题：现有现有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图1，请把它们，请把它们分割后拼接成一个新的正方形分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长
23、均为1)中用实线画出拼接成的新正方形中用实线画出拼接成的新正方形.小红同学的做法是：小红同学的做法是：设新正方形的边长为设新正方形的边长为x(x0).依题意，割补前后图形的面积相等，依题意，割补前后图形的面积相等，有有x25，解得，解得x . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得矩形对角线的长组成得矩形对角线的长.于是，画出图于是，画出图所示的分割线，拼出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形所示的新正方形.图图1图图图图图图1 1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
