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1、问题问题Dl2r2rOBEAw wj j观察运动机构所给观察运动机构所给的的运动运动条件条件 OABDEMj jlhvDEw wO观察运动机构所给条件观察运动机构所给条件运动运动条件条件约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标一、一、问题的提出问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系自由系统统与与非自由系统非自由系统。 1717世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。自由质点或自由质点系动力学。( (两体问题两体问题) ) 1818世纪产生了刚体动力
2、学问题，也就是说提出了世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受受约束约束质点系的动力学问题。质点系的动力学问题。 今天大量工程实际问题作初步今天大量工程实际问题作初步分析时分析时，一般都是受约束，一般都是受约束系统系统的的建建模模问题问题。首先要确定系统独立的运首先要确定系统独立的运动学变量。动学变量。 研究约束质点系的力研究约束质点系的力学问题，必须阐明学问题，必须阐明约束，约束，自由度与广义坐标自由度与广义坐标的概念。的概念。二、约束二、约束1. 约束概念约束概念约束约束就是限制物体任意运动的条件就是限制物体任意运动的条件。不受约束可以任意运动的质点系称为不受约束可以任意运动的质点系称为
3、自由质点系自由质点系,受有约束而不能任意运动的质点系则称为受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系非自由质点系。 刚体静力学研究刚体静力学研究约束约束, , 是探究是探究约束的约束的原因原因-约束力约束力 运动学研究约束运动学研究约束, ,是是探究探究约束的结果约束的结果-运动的限制运动的限制 FAOxy2. 独立坐标、位形空间、约束方程的概念独立坐标、位形空间、约束方程的概念(1) 坐标坐标 确定一个确定一个自由自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称些参数或代表长度或代表角度，统称坐标坐标。(2)位形位形 对于由对
4、于由n个个自由自由质点组成的自由质点系，则需要质点组成的自由质点系，则需要3 3n个个独立坐标，这独立坐标，这3 3n个的坐标集合称为个的坐标集合称为自由自由质点系的质点系的位形位形。(3)约束方程约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程约束方程。3. 约束约束的的分类分类 如果如果限制运动的条件限制运动的条件仅是仅是几何几何性质的，则称为性质的，则称为几何约束几何约束。单摆单摆:曲面上的质点曲面上的质点：（1）几何约束与运
5、动约束）几何约束与运动约束几何约束几何约束约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：xyOAzxyzM(r=1,2, ,s)运动约束运动约束几何约束几何约束运动约束运动约束纯滚动的圆轮纯滚动的圆轮： 如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运动约束运动约束。约束方程的一般形式约束方程的一般形式(r=1,2, ,s)（2）定常约束定常约束与非与非定常约束定常约束定常约束定常约束 当约束方程中都不包含时间当约束方程中都不包含时间t t时，时，这种约束称为这种约束称为定常约束定常约束。定常几何约束定常几何约束非定常几何约束非定常几何约束 若约
6、束方程中明显包含时间若约束方程中明显包含时间t t，这种约束就称为这种约束就称为非定常几何约束非定常几何约束。约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：xyOAzAv（匀速）（匀速）（3）完整约束完整约束与非与非完整约束完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速度的投影）的约束，称为质点速度的投影）的约束，称为完整约束完整约束。 约束方程总是以微分形式表示约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的不可能积分成有限的形式的约束称形式的约束称为为非非完整约束完整约束。1位移约束位移约束-全部几何约束全部几何约束2运动约束可积分运动
7、约束可积分-如如纯滚动的圆轮纯滚动的圆轮; ;运动约束不可积分运动约束不可积分-碰撞系统碰撞系统, ,摩擦系统等摩擦系统等。约束方程的一般形式为约束方程的一般形式为：（4）单面约束与双面约束）单面约束与双面约束双面约束双面约束：在约束方程中用严格的：在约束方程中用严格的等号表示的约束等号表示的约束。OA为刚性杆为刚性杆：单面约束单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束：在约束方程含有不等号表示的约束。OA为柔绳为柔绳：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：xyOAz或或 0n个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，约束方程的一般形式约束方程的一般形式为
8、：为：(r=1,s)约束方程的个数为约束方程的个数为：s4.约束方程约束方程静力学问题中涉及的约束都是静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束定常几何约束。本教材研究：定常、双面、完整约束。本教材研究：定常、双面、完整约束。例例: : 平面刚体位形的描述方法和约束方程平面刚体位形的描述方法和约束方程1. 刚体基于两点的描述和约束方程刚体基于两点的描述和约束方程OAbOAxyxy位形描述位形描述: :约束方程约束方程: :2. 刚体基于点线的描述和约束方程刚体基于点线的描述和约束方程位形描述位形描述: :约束方程约束方程: :三、广义坐标、自由度三、广义坐标、自由度自由度自由度：唯一确定质点系空间
9、位置的独立唯一确定质点系空间位置的独立坐标坐标个数个数平面质点平面质点:空间质点空间质点:广义坐标广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量用以确定质点系位置的独立参变量 i=1,2, nn个质点个质点，一般地一般地：自由度为自由度为k，取广义坐标取广义坐标：1.基本概念基本概念自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。2.自由刚体的自由度自由刚体的自由度 最简单的刚体由最简单的刚体由4个质点用个质点用6根刚杆组成几何不变体根刚杆组成几何不变体( (形如四面体
10、形如四面体) )，则自由刚体的自由度为，则自由刚体的自由度为：此后每增加一个质点就增加此后每增加一个质点就增加3根刚杆根刚杆。 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：设节点数为设节点数为n, ,约束数为约束数为s。则写成。则写成n=4则一般地：则一般地：n4n4刚体的刚体的定点运动的描述方法定点运动的描述方法1欧拉坐标欧拉坐标 x0y0z0O绕绕z0轴转过轴转过y y角角进动角进动角x1y1z1yy绕绕x1轴转过轴转过q q角角章动角章动角z2y2x2qq绕绕z2轴转过轴转过j j角角自转角自转角jx3y3z3j3.自由刚体的广义坐标自由刚体的广义坐标
11、刚体的刚体的定点运动的描述方法定点运动的描述方法2卡尔丹坐标卡尔丹坐标 x0y0z0O绕绕x0轴转过轴转过a a角角x1y1z1aaz2y2x2bb绕绕y1轴转过轴转过b b角角绕绕z2轴转过轴转过g g角角z3gy3x3g组成的组成的6 6个独立参变量就是自由刚体的个独立参变量就是自由刚体的广义坐标广义坐标。它们被用于描述刚体的它们被用于描述刚体的位形。位形。 4.4.受约束刚体的自由度受约束刚体的自由度 设刚体数为设刚体数为n，则则受约束的空间刚体系的自由度数受约束的空间刚体系的自由度数k = 6n -s 受约束的平面刚体系的自由度数：受约束的平面刚体系的自由度数：k=？若欧拉坐标或卡尔丹
12、坐标的原点（基点）建立平动坐标若欧拉坐标或卡尔丹坐标的原点（基点）建立平动坐标5.5.约束刚体的自由度与广义坐标约束刚体的自由度与广义坐标 约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数义坐标数。刚体约束情况刚体约束情况自由度自由度广义坐标广义坐标刚体上一轴被固定刚体上一轴被固定（定轴转动）（定轴转动）1刚体刚体上仅一点上仅一点被固定被固定（定点运动）（定点运动）3刚体仅被限制作刚体仅被限制作平面平行平面平行运动（平面运动）运动（平面运动）3刚体仅被刚体仅被
13、限制作平行移动限制作平行移动（平移）（平移）3四四 实例实例: :机构如图机构如图, ,轮轮C作纯滚作纯滚动动, ,试写出约束方程和确定自由度。试写出约束方程和确定自由度。3. 约束方程约束方程( (在点在点O 建立直角坐建立直角坐标标) )1. 刚体数目刚体数目 3; ;2. 定轴转动刚体定轴转动刚体 OA ; ; 平面运动刚体平面运动刚体 AB及轮及轮C ; ;总计总计8个约束方程个约束方程xyyC=yD-rOABbCrjqD式中：局部法局部法4.广义坐标广义坐标5.自由度计算自由度计算广义坐标数为广义坐标数为 :3n-s=1, 即即:自由度自由度约束方程数约束方程数：s=8或刚体数刚体数
14、:n=3选广义坐标为选广义坐标为: :自由度恒等于广义坐标数自由度恒等于广义坐标数OABbCrjqD或xyOABbCrjqD整体法整体法:位形描述位形描述约束方程约束方程:整体法整体法:位形描述位形描述约束方程约束方程:OABbjqDxy点D的位置OABbjqDxy点D的位置总计总计8个约束方程个约束方程约束方程约束方程：局部法局部法:广义坐标广义坐标自由度自由度本例为质点与刚体本例为质点与刚体xy具有同一点具有同一点问题问题Dl2r2rOBEAw wj j本本运动机构运动机构的自由度的自由度 OABDEMj jlhvDEw wO本本运动机构运动机构的自由度的自由度五五、 总总 结结(1)(1)检查刚体检查刚体( (质点质点) )数目数目 n。(2)(2)检查各刚体的运动形式。检查各刚体的运动形式。(3)(3)列写出约束方程。列写出约束方程。(4)(4)计算自由度计算自由度, ,确定广义坐标。确定广义坐标。(a)(a)空间刚体系空间刚体系 k=6n-s，空间质点系空间质点系 k=3n-s(b)(b)平面刚体系平面刚体系 k=3n-s, 平面质点系平面质点系 k=2n-s 实用方法：实用方法：加锁加锁大胆的假设小心的求证xyOAzDl2r2rOBEAw wj j分析本机构的自由度分析本机构的自由度 OABDEMj jlhvDEw wO分析本机构的自由度分析本机构的自由度
