《广东省廉江市2018届高考数学一轮复习 第四讲 数学归纳法课件 理 新人教A版选修4-5.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省廉江市2018届高考数学一轮复习 第四讲 数学归纳法课件 理 新人教A版选修4-5.ppt（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四第四讲讲数学数学归纳归纳法法证证明不等式明不等式一数学一数学归纳法法学学习习目目标标1.理理解解并并掌掌握握数数学学归归纳纳法法的的概概念念，运运用用数数学学归归纳纳法法证证明等式明等式问题问题；2学学会会运运用用数数学学归归纳纳法法证证明明几几何何问问题题、证证明明整整除除性等性等问题问题 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练一一数数学学归纳法法课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标课前自主学案课前自主学案1数数学学归纳法法适适用用于于证明明一一个个与与_有关的命有关的命题2数学数学归纳法的步法的步骤是：是：(1)(归纳奠奠基基)_；(2)(归纳递推推)假假设当当nk(kN
2、，且且kn0)时命命题成成立，立，_(3)结论：由由(1)(2)可可知知，命命题对一一切切nn0的的自自然然数数都都成立成立无限多个正整数无限多个正整数验证当当nn0(n0为命命题成立的起始自成立的起始自然数然数)时命命题成立成立推推导nk1时命命题也成立也成立思考感悟思考感悟在数学在数学归纳法中的法中的n0是什么是什么样的数？的数？提提示示：n0是是适适合合命命题的的正正整整数数中中的的最最小小值，有有时是是n01或或n02，有有时n0值也也比比较大大，不不一一定定是是从从1开始取开始取值课堂互动讲练课堂互动讲练用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题考点一考点一考点一考点一考点突破
3、考点突破例例例例1 1【名名师点点评】运运用用数数学学归纳法法证明明时，两两个个步步骤缺缺一一不不可可，步步骤(1)是是证明明的的归纳基基础，步步骤(2)是是证明的主体，它反映了无限明的主体，它反映了无限递推关系推关系变 式式 训 练 1 求求 证 ： (n 1)(n 2)(n n)2n135(2n1)(nN)证明：明：(1)当当n1时，等式左，等式左边2，等式右等式右边212，等式成立等式成立(2)假假设nk(kN)等式成立，等式成立，即即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立成立那么那么nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k
4、1)2k 1135(2k1)2(k1)1即即nk1时等式也成立等式也成立由由(1)(2)可知可知对任何任何nN等式均成立等式均成立用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题考点二考点二考点二考点二例例例例2 2 平平面面上上有有n个个圆，其其中中每每两两个个圆都都相相交交于于两两点点，并并且且每每三三个个圆都都不不相相交交于于同同一一点点，求求证：这n个个圆把平面分成了把平面分成了f(n)n2n2部分部分【思思路路点点拨】用用数数学学归纳法法证明明几几何何问题，主主要要是是搞搞清清楚楚当当nk1时比比nk时分分点点增增加加了了多多少少，区区域域增增加加了了几几块，本本题中中第第k1个个圆
5、被被原原来来的的k个个圆分分成成2k条条弧弧，而而每每一一条条弧弧把把它它所所在在部部分分分分成成了了两两部部分分，此此时共共增增加加了了2k个个部部分分，问题就就得得到了解决到了解决【证明明】(1)当当n1时，一一个个圆把把平平面面分分成成两两部部分分，且且f(1)1122，因因此此，n1时命命题成成立立(2)假假设nk(k1)时，命命题成成立立，即即k个个圆把把平平面面分分成成f(k)k2k2部部分分如如果果增增加加一一个个满足足条条件件的的任任一一个个圆，则这个个圆必必与与前前k个个圆交交于于2k个个点点这2k个个点点把把这个个圆分分成成2k段段弧弧，每每段段弧弧把把它它所所在在的的原原
6、有有平平面面分分成成为两两部部分分因因此此，这时平平面面被被分分割割的的总数数在在原原来来的的基基础上上又又增增加加了了2k部部分分，即即有有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即当即当nk1时，f(n)n2n2也成立也成立根根据据(1)、(2)，可可知知n个个圆把把平平面面分分成成了了f(n)n2n2部分部分【名名师点点评】有有关关诸如如此此类问题的的论证，关关键在在于于分分析析清清楚楚nk与与nk1时二二者者的的差差异异，这时常常常常借借助助于于图形形的的直直观性性，然然后后用用数数学学式式子子予予以以描述，建立起描述，建立起f(k)与与f(k1)之之间的的递推关系推关
7、系则当当nk1时，即即增增加加一一条条直直线l，因因为任任何何两两条条直直线不不平平行行，所所以以l与与k条条直直线都都相相交交,有有k个个交交点点；又又因因为任任何何三三条条直直线不不共共点点，所所以以这k个个交交点点不不同同于于k条条直直线的的交交点点，且且k个个交交点点也也互互不不相相同同，如如此此k个个交交点点把把直直线l分分成成k1段段，每每一一段段把把它它所所在在的的平平面面区区域域分分为两两部部分分，故故新新增增加加了了k1个个平平面面部部分分用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明整除性考点三考点三考点三考点三例例例例3 3 用用数数学学归纳法法证明明(x1)n1(x2)2n1(
8、nN)能被能被x23x3整除整除【思思路路点点拨】证明明多多项式式的的整整除除问题，关关键是是在在(x1)n1(x2)2n1中凑出中凑出x23x3.【证明明】(1)当当n1时，(x1)11(x2)211x23x3能能被被x23x3整除，命整除，命题成立成立(2)假假设当当nk(k1)时，(x1)k1(x2)2k1能能被被x23x3整除，那么整除，那么(x1)(k1)1(x2)2(k1)1(x1)(x1)k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)(x2)2k1.因因为(x1)
9、k1(x2)2k1和和x23x3都都能能被被x23x3整整除除，所所以以上上面面的的式式子子也也能能被被x23x3整整除除这就是就是说，当，当nk1时，(x1)(k1)1(x2)2(k1)1也也能能被被x23x3整整除除根据根据(1)(2)可知，命可知，命题对任何任何nN都成立都成立【名名师点点评】用用数数学学归纳法法证明明数数或或式式的的整整除除性性问题时，常常采采取取加加项、减减项的的配配凑凑法法，而而配配凑凑的方法很多，关的方法很多，关键是凑成是凑成nk时假假设的形式的形式变式式训练3求求证：an1(a1)2n1能能被被a2a1整除整除(nN)证明明：(1)当当n1时，a11(a1)21
10、1a2a1，命，命题显然成立然成立(2)假假设当当nk(k1)时，ak1(a1)2k1能能被被a2a1整除，整除，则当当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由由归纳假假设，以以上上两两项均均能能被被a2a1整整除除，故故当当nk1时，命，命题也成立也成立由由(1)、(2)可知，可知，对nN命命题都成立都成立误区警示区警示例例例例方法感悟方法感悟1数数学学归纳法法的的两两个个步步骤缺缺一一不不可可，第第一一步步中中验证n的的初初始始值至至关关重重要要，它它是是递推推的的基基础，但但n的的初初始始值不一定是不一定是1，而是，而是n的取的取值范范围内的最小内的最小值2第第二二步步证明明的的关关键是是运运用用归纳假假设在在使使用用归纳假假设时，应分分析析p(k)与与p(k1)的的差差异异与与联系系，利利用用拆拆、添添、并并、放放、缩等等手手段段，或或从从归纳假假设出出发,从从p(k1)中分离出中分离出p(k)再再进行局部行局部调整整3在在研研究究探探索索性性问题时，由由特特例例归纳猜猜想想的的结论不不一一定定是是真真命命题，这时需需要要使使用用数数学学归纳法法证明明，其一般解其一般解题步步骤是：是：归纳猜想猜想证明明
