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1、例：随机误差实验结果例：随机误差实验结果例：随机误差实验结果例：随机误差实验结果分区号测量值( xi)误差量( i)出现次 数（ni) 频率（ni)概率密度（ni/（n i）15.21-0.0510.0070.725.22-0.0430.0202.035.23-0.0380.0585.845.24-0.02180.12012.055.25-0.01280.18718.765.260340.22722.775.27+0.01290.19319.385.28+0.02170.11311.395.29+0.0390.0606.0105.30+0.0420.0131.3115.31+0.0510.00
2、70.7l 随机误差的频率直方图随机误差的频率直方图ni/n 0.150.100.050.040.02-0.02-0.040ni为为在在 范围内出现的次数范围内出现的次数l 随机误差的概率密度分布曲线图随机误差的概率密度分布曲线图f() F()f()dd概率密度：概率密度：与与与与分布函数互分布函数互分布函数互分布函数互为微积分关系为微积分关系为微积分关系为微积分关系分布分布分布分布函数函数函数函数一、随机误差的特点一、随机误差的特点 测试条件：测试条件： 研究对象在无系统误差且无研究对象在无系统误差且无粗差的独立的等精度实验结果粗差的独立的等精度实验结果. . 特点：特点：对称性：绝对值相等
3、的正、负误差概率密度分对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分布曲线对称于纵轴。布曲线对称于纵轴。抵偿性：相同条件下抵偿性：相同条件下, ,当测量次数当测量次数n n趋于趋于时时, ,全体误差的代数和为全体误差的代数和为0 0。单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密度大的概率密度大, ,在在=0=0处概率最大处概率最大. .有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。二、概率密度的正态分布二、概率密度的正态分布1 1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度、随机误差必然服从正态分布，其概率密度可由高斯方程描述。它们的概率
4、密度分布曲可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲线又称之为正态分布曲线。线又称之为正态分布曲线。2 2、标准误差、标准误差越小越小, ,精密度指数精密度指数h h越大越大, ,正态分正态分布曲线越陡布曲线越陡, , 小误差的概率密度越大，测量小误差的概率密度越大，测量值越集中值越集中, ,测量精密度越高。测量精密度越高。l l 随机误差正态分布曲线图随机误差正态分布曲线图() ()d - - - 拐点拐点 1/(2e) 1/(2)hhh()()()3 3、（曲线的拐点）的大小说明了测量值的曲线的拐点）的大小说明了测量值的离散性离散性, , 故等精度测量是一种故等精度测量是一种值相同的测值相同的
5、测量。量。4 4、正态分布曲线的关键点、正态分布曲线的关键点 峰点坐标：峰点坐标： 拐点坐标：拐点坐标： 概率：概率：l 一、算是平均值与数学期望值一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值算是平均值: 2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶原点距，记为：原点距，记为： 它表示了随机变量的中心位置。它表示了随机变量的中心位置。 l 图12 测量值的概率密度分布曲线测量值的概率密度分布曲线(x) 1/2emax()0X0- X0X0+X 数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均数。对于正态分布，上式积分后可得：
6、数。对于正态分布，上式积分后可得：正态分布重要特征之一：正态分布重要特征之一：l全体测量值的数学期望就是测量值的真值。全体测量值的数学期望就是测量值的真值。在未知在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术的情况下，对于有限测量列，可以利用算术平均值平均值x代替真值代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称用测量偏差或残余误差（简称残差）残差）vi=xi-x 代替测量误差代替测量误差 i= xi-x0l二、方差与标准误差二、方差与标准误差l 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表方差定义为随机变量的二阶中心距，它表征了随机变量相对于其中心位置（数学期望）征了随机变量相对于其中心位置（数学期望）
7、的离散程度。的离散程度。l 对于全体测量值来说，母体的方差对于全体测量值来说，母体的方差DxDx表征表征了测量值相对于其真值了测量值相对于其真值X X0 0的离散程度。的离散程度。l l 标准误差标准误差是方差是方差DxDx的均方根值，这也是的均方根值，这也是标准误差标准误差又称均方根误差的原因。又称均方根误差的原因。l l置信区间：置信区间：l l 就是随机变量的范围就是随机变量的范围(-LL)表示表示l l又：又：L=Z l lZ为置信系数，为置信系数， Z = L/ l l置信限：置信限：L= Z l l置信概率置信概率(Z)：随机变量在置信区间内随机变量在置信区间内取值的取值的概率概率
8、.l l置信度：结合置信区间与置信概率置信度：结合置信区间与置信概率l l置信水平置信水平 (Z) ：随机变量在置信区间外随机变量在置信区间外取值的概率取值的概率l 图15 置信区间与置信区间与置信概率置信概率(0)1/2置信区间置信区间(L)1/2置信概率置信概率P= (z)=1-l Z Z(Z)(Z)Z Z(Z)(Z)Z Z(Z)(Z)Z Z(Z)(Z)0 00.00000.00000 00.90.90.63180.63188 81.91.90.94250.94257 72.72.70.99300.99307 70.10.10.07960.07966 61.01.00.68260.6826
9、9 91.961.960.95000.95000 02.82.80.99480.99489 90.20.20.15850.15852 21.11.10.72860.72867 72.02.00.95450.95450 02.92.90.99620.99627 70.30.30.23580.23585 51.21.20.76980.76986 62.12.10.96420.96427 73.03.00.99730.99730 00.40.40.31080.31084 41.31.30.80640.80640 02.22.20.97210.97219 93.53.50.99530.99535 50
10、.50.50.38290.38293 31.41.40.83840.83849 92.32.30.97850.97855 54.04.00.99930.99937 70.60.60.45140.45149 91.51.50.86630.86639 92.42.40.98360.98361 14.54.50.99990.99993 30.67450.67450.50000.50000 01.61.60.89040.89040 02.52.50.98750.98758 85.05.00.99990.99999 90.70.70.51600.51607 71.71.70.91080.91087 72
11、.582.580.99010.99012 2 1.00001.00000 00.80.80.57620.57629 91.81.80.92810.92814 42.62.60.99060.99068 8Z=1时，置信区间： 置信概率(Z) = 0.683 = 68 .3% 置信水平 (Z) = 0 .317 = 31 .7%Z=2或Z=3时，置信区间： 2 或3 置信水平 (Z) = 5%或 置信水平 (Z) = 0 .3 %故 极限误差 = lim= 2 或3 原始数据必须实事求是地记录，并注明有原始数据必须实事求是地记录，并注明有关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错关情况。在整理数据时
12、，再舍弃上述有明显错误的数据。误的数据。l 基本方法是给出一个置信水平值（常给定基本方法是给出一个置信水平值（常给定 =0.05 =0.05或或0.010.01），然后确定相应的置信区间，），然后确定相应的置信区间，则超过此区间的误差被认为是粗差，相应的测则超过此区间的误差被认为是粗差，相应的测量值予以舍弃。量值予以舍弃。l 常用这两种方法：常用这两种方法： 1 1）拉依达准则）拉依达准则 2 2）格拉布斯准则）格拉布斯准则l一、一、 系统误差是一种恒定不变的或按一定规律变系统误差是一种恒定不变的或按一定规律变化的误差化的误差. .l恒定系差恒定系差l 误差的大小和符号固定不变。误差的大小和符
13、号固定不变。l例如,仪器仪表的固有(基本)误差;工业仪表检验时,标准表的误差会引起被校表的恒定系差;仪表零点的偏高或偏低,观察者读数时的角度不正确(对模拟式仪表而言)等所应引起的误差均属此类.l 变化系差变化系差l 是一种按照一定规律变化的系统误差是一种按照一定规律变化的系统误差. . 可分为可分为累计性系差、周期性系差及复杂变化系差等累计性系差、周期性系差及复杂变化系差等. .l累计性系差:是一种在测量过程中,随着时间的增长,误差逐渐加大或减少的系差.它可以是随时间作线性变化(称线性系差), 见图中直线b,也可以是非线性变化的(见图中曲线c).其原因往往是由于元件的老化、磨损,以及工作电池的
14、电压或电流随使用时间的加长而缓慢降低等而引起, 例如电位差计中,滑线电阻的磨损,工作电池电压随放电时间的加长而降低等l l 系统误差的变化特征系统误差的变化特征a恒定系差恒定系差b累计性系差累计性系差c累计性系差累计性系差d周期性系差周期性系差e复杂变化的系差复杂变化的系差t0l二、系差的消除方法二、系差的消除方法l交换法交换法l在测量过程中在测量过程中, ,将引起系差的某些条件将引起系差的某些条件( (如被测量的位置如被测量的位置) )相互交换相互交换, ,而保持其它条件不变而保持其它条件不变, ,使产使产生系差的因数对测量结果起相反作用生系差的因数对测量结果起相反作用, ,从而抵消了系差从
15、而抵消了系差. .l上、下读数法或换向法上、下读数法或换向法l仪表测量机构的空程或间隙等的影响会造成误差仪表测量机构的空程或间隙等的影响会造成误差, ,取上行读数和下行读数的平均值可以消除这取上行读数和下行读数的平均值可以消除这部分系差部分系差. .l 校准法l 恒定系差用偶然误差的处理方法难以判断和消除.如果测量仪器本身存在恒定系差,只能用标准表进行现场检验或送检的办法解决.经过检定.仪表可以得到不同示值下的修正曲线或数表.l补偿法l 在测量过程中,由于某个条件的变化或仪器的某个环节的非线性特性等会引入变化的系差.此时常在测量系统中采取补偿措施,以便在测量过程中自动消除系差.如用热电偶测量温
16、度时,其参比端温度的变化会引入变化系差,减弱或消除的较好办法是在测量系统中加冷端补偿器,则可起到自动补偿的作用等.l。U0调调R0 ，使其使其平衡平衡输出值为零输出值为零则则:R1R2R0RxABCDUR1R2RxR0ABCDU交换交换R0与与RX的位置的位置, 再调再调R0 ，使其使其平衡平衡输出值为零输出值为零则则:l三、系统误差的估计方法三、系统误差的估计方法l恒定系差的估计恒定系差的估计l恒定系差：恒定系差：l修正值：修正值： 测量值误差平均值测量值误差平均值l变化系差的估计变化系差的估计l精确：以函数关系式或实验公式描述精确：以函数关系式或实验公式描述l一般：估计出变化系差的上一般：
17、估计出变化系差的上/ /下限值下限值b b和和a.a.l设设abab，= = （a+ba+b）/2 /2 （恒定部分）恒定部分）l e=e=（b b a a）/2 /2 （幅值幅值 ） 直接检测量将误差传递给间接检测量。直接检测量将误差传递给间接检测量。一、间接测量中系统误差的传递一、间接测量中系统误差的传递二、间接测量中随机误差的传递二、间接测量中随机误差的传递 如果直接检测的各个量之间彼此相关，如果直接检测的各个量之间彼此相关，间接检测量的计算将十分复杂，应设法间接检测量的计算将十分复杂，应设法将相关量转化为独立量来计算。（去耦）将相关量转化为独立量来计算。（去耦）l一、随机误差的合成一、
18、随机误差的合成l 按按方和根方和根法得到它们的标准误差法得到它们的标准误差: :l l二、系统误差的合成二、系统误差的合成l1 1、恒定系差的合成、恒定系差的合成l可按代数和法合成：可按代数和法合成：l当误差项数较多时，一般情况下按方和根当误差项数较多时，一般情况下按方和根法合成较好法合成较好。l2.2.变值系差的合成变值系差的合成l第第j j 个个系差的误差区间为系差的误差区间为 a aj j, ,b bj j l系统不确定度为：系统不确定度为：e ej j=1/2(b=1/2(bj j-a-aj j) )l标准误差为：标准误差为： j j= =e ej j/ /k kj j （系统不确定度
19、或极限误差系统不确定度或极限误差与置信系数之比）与置信系数之比）l合成方法：合成方法：l（1 1）线性相加法：）线性相加法：l e =ee =e1 1+ e+ e2 2+e+e3 3+ + e+ + en nl（2 2）方和根法：方和根法：l e = ee = e1 12 2+ e+ e2 22 2+e+e3 32 2+ + e+ + en n2 2l（3 3）广义方和根法：将各变值系差的系统不确定度转广义方和根法：将各变值系差的系统不确定度转换成相应的标准误差，用方和根法合成后，得到总的换成相应的标准误差，用方和根法合成后，得到总的标准误差，再转化为总的系统不确定度。标准误差，再转化为总的系
20、统不确定度。l l三三 、随机误差与系统误差的合成、随机误差与系统误差的合成l1.1.线性相加法线性相加法: :g=e+g=e+l 线性相加的结果，综合不确定度线性相加的结果，综合不确定度g g偏大。偏大。l2.2.方和根法：方和根法：g= eg= e2 2+2 2l3.3.广义方和根法广义方和根法l四、最后结果的表示四、最后结果的表示l（1 1）随机不确定度（又称）随机不确定度（又称A A类不确定度）类不确定度）与系统不确定度（又称与系统不确定度（又称B B类不确定度）在结类不确定度）在结果中分别标明。最后结果可表示为：果中分别标明。最后结果可表示为：lM=M=（,e,e）l式中，M为被测量
21、的测量值或计算结果；e及分别是相应的系统、随机不确定度。l（2 2）用随机不确定度与系统不确定度合成）用随机不确定度与系统不确定度合成后的综合不确定度表示之。最后结果可写后的综合不确定度表示之。最后结果可写为：为：M gM g 。l例：标准活塞式压力计实验测得各种误差因数引起的压例：标准活塞式压力计实验测得各种误差因数引起的压力的极限误差值如下。求总的不确定度（压力力的极限误差值如下。求总的不确定度（压力P=ma/SP=ma/S，单位均略）。单位均略）。l（1 1）恒定系差：）恒定系差：=+0.2=+0.2，由系统安装误差引起。由系统安装误差引起。l（2 2）系统不确定度：）系统不确定度：e
22、e1 1=10.3=10.3，是由活塞有效面积是由活塞有效面积S S引起引起的：的：e e2 2=3.2=3.2，来自砝码及活塞质量（来自砝码及活塞质量（m m）；）；e e3 3=0.5=0.5，是由是由重力加速度重力加速度a a的误差引起的。的误差引起的。l（3 3）随机不确定度：）随机不确定度：1 1=11.6=11.6，是由是由活塞有效面积引起活塞有效面积引起的；的； 2 2=4.8=4.8，是由是由砝码及活塞质量（砝码及活塞质量（m m）引起的。引起的。l解：设引起误差的各个因数是相互独立的，按照方和根解：设引起误差的各个因数是相互独立的，按照方和根法合成之。总的系统不确定度为：法合
23、成之。总的系统不确定度为：= =l e = ee = e1 12 2+ e+ e2 22 2+e+e3 32 2 = = 10.310.32 2+3.2+3.22 2+0.5+0.52 2=10.8=10.8l总的总的随机不确定度为：随机不确定度为：l = = 1 12 2+2 22 2= 11.6= 11.62 2+4.8+4.82 2=12.6=12.6l故故活塞压力计总的不确定度活塞压力计总的不确定度g g及修正量及修正量c c为：为：lg= eg= e2 2+ + 2 2= 10.8= 10.82 2+12.6+12.62 216.61716.617lC= - = - 0.2C= -
24、= - 0.2l最小二乘原理：欲得真值的最佳估计值，应使最小二乘原理：欲得真值的最佳估计值，应使l 各测量值各测量值x xi i的残差的残差vivi的平方之的平方之l 和为最小。和为最小。l真值真值x x0 0的最佳估计值即算术平均值的最佳估计值即算术平均值x x ，具有残具有残差平方和最小值的特性。差平方和最小值的特性。l由于残差均是实数，各个残差的平方必为正数，由于残差均是实数，各个残差的平方必为正数，故残差的平方和为最小值就保证了相应的标准故残差的平方和为最小值就保证了相应的标准偏差及方差为最小值，同时也说明了测量数据偏差及方差为最小值，同时也说明了测量数据的离散度也是最小的，精度较高。的离散度也是最小的，精度较高。l
