《2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题4 立体几何 2.4.3 用空间向量的方法解立体几何问题课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题4 立体几何 2.4.3 用空间向量的方法解立体几何问题课件.ppt（103页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时用空间向量的方法解立体几何问题 热点考向一热点考向一 利用空间向量证明空间平行、垂直关系利用空间向量证明空间平行、垂直关系【考向剖析考向剖析】: :本考向考查形式主要为解答题本考向考查形式主要为解答题, ,主要考主要考查建立空间直角坐标系、利用空间向量的平行、垂直查建立空间直角坐标系、利用空间向量的平行、垂直关系关系, ,证明空间直线、平面间的平行、垂直关系证明空间直线、平面间的平行、垂直关系, ,以解以解答题为主答题为主. .考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力数学运算能力, ,多为基础题、中档题多为基础题、中档题, ,分数为分数为
2、6 6分左右分左右. . 2019 2019年的高考仍将以解答题的形式考查年的高考仍将以解答题的形式考查, ,考查知识考查知识点点: :空间向量与直线、平面间的平行、垂直关系空间向量与直线、平面间的平行、垂直关系. .【典例典例1 1】如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,AB=1,点点E E为棱为棱PCPC的中点的中点. .证明证明: :(1)BEDC.(1)BEDC.(2)BE(2)BE平面平面PAD.PAD.(3)(3)平面平面PCDP
3、CD平面平面PAD.PAD.【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(3)(3)问问建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系; ;求平面求平面PCDPCD与平面与平面PADPAD的法向量的法向量; ;证明平面证明平面PCDPCD平面平面PADPAD【解析解析】依题意依题意, ,以点以点A A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系( (如如图图),),可得可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由由E E为棱为棱PCPC的中点的中点, ,得得E(1,1,1).E(1,1,1).(1)
4、(1)向量向量 =(0,1,1), =(2,0,0),=(0,1,1), =(2,0,0),故故 =0. =0.所以所以BEDC.BEDC.(2)(2)因为因为ABAD,ABAD,又又PAPA平面平面ABCD,ABABCD,AB 平面平面ABCD,ABCD,所以所以ABPA,PAAD=A,ABPA,PAAD=A,所以所以ABAB平面平面PAD,PAD,所以向量所以向量 =(1,0,0)=(1,0,0)为平面为平面PADPAD的法向量的法向量. .而而 =(0,1,1) =(0,1,1)(1,0,0)=0,(1,0,0)=0,所以所以BEAB,BEAB,又又BEBE 平面平面PAD,PAD,所以
5、所以BEBE平面平面PAD.PAD.(3)(3)由由(2)(2)知平面知平面PADPAD的法向量的法向量 =(1,0,0),=(1,0,0),向量向量 =(0,2,-2), =(2,0,0),=(0,2,-2), =(2,0,0),设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(x,y,z),n=(x,y,z),则则 即即 不妨令不妨令y=1,y=1,可得可得n=(0,1,1)n=(0,1,1)为平面为平面PCDPCD的一个法向量的一个法向量. .且且n n =(0,1,1) =(0,1,1)(1,0,0)=0,(1,0,0)=0,所以所以n .n .所以平面所以平面PCDPCD平面平面PA
6、D.PAD.【易错警示易错警示】解答本题易出现三种错误解答本题易出现三种错误(1)(1)建系后建系后, ,将相关点的坐标确定错将相关点的坐标确定错, ,造成后面步步错造成后面步步错. .(2)(2)在在(2)(2)中忽略中忽略BEBE 平面平面PAD,PAD,而致误而致误. .(3)(3)将平面的法向量求错将平面的法向量求错, ,而致误而致误. .【名师点睛名师点睛】利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,建系时要尽可能地利用条件建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系中的垂直关系. .(2)(2)建立空
7、间图形与空间向量之间的关系建立空间图形与空间向量之间的关系, ,用空间向量用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素. .(3)(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量法向量, ,再研究平行、垂直关系再研究平行、垂直关系. .(4)(4)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题. .【考向精练考向精练】1.1.如图如图,F,F是正方体是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱CDCD的中点的中点.E.E是是BBBB1 1上一点上一点, ,若
8、若D D1 1FDE,FDE,则有则有 ( () ) A.BA.B1 1E=EBE=EBB.BB.B1 1E=2EBE=2EBC.BC.B1 1E= EBE= EBD.ED.E与与B B重合重合【解析解析】选选A.A.分别以分别以DA,DC,DDDA,DC,DD1 1为为x,y,zx,y,z轴建立空间直轴建立空间直角坐标系角坐标系, ,设正方体的棱长为设正方体的棱长为2,2,则则D(0,0,0),F(0,1,0),DD(0,0,0),F(0,1,0),D1 1(0,0,2),(0,0,2),设设E(2,2,z),E(2,2,z),则则 =(0,1,-2), =(2,2,z),=(0,1,-2)
9、, =(2,2,z),因为因为 =02+12-2z=0, =02+12-2z=0,所以所以z=1,z=1,所以所以B B1 1E=EB.E=EB.2.2.如图所示如图所示, ,在平行六面体在平行六面体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点M,P,QM,P,Q分别为棱分别为棱AB,AB,CD,BCCD,BC的中点的中点, ,若平行六面体的各若平行六面体的各棱长均相等棱长均相等, ,则则: :AA1 1MDMD1 1P;P;AA1 1MBMB1 1Q;Q;AA1 1MM平面平面DCCDCC1 1D D1 1; ;AA1 1MM平面平面D D1 1PQBP
10、QB1 1. .以上说法正确的个数为以上说法正确的个数为 ( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C. = + = + , = C. = + = + , = + = + ,+ = + ,所以所以 , ,所以所以A A1 1MDMD1 1P,P,由线由线面平行的判定定理可知面平行的判定定理可知,A,A1 1MM平面平面DCCDCC1 1D D1 1,A,A1 1MM平面平面D D1 1PQBPQB1 1.正确正确. .【加练备选加练备选】1.(20181.(2018武汉调研武汉调研) )已知平面已知平面内的三点内的三点 A(0,0,1), A(0,0,1),
11、B(0,1,0),C(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),平面平面的一个法向量的一个法向量n=(-1,-1,n=(-1,-1,-1),-1),则不重合的两个平面则不重合的两个平面与与的位置关系是的位置关系是_ _ _._.【解析解析】设平面设平面的法向量为的法向量为m=(x,y,z),m=(x,y,z),由由m m =0, =0,得得x x0+y-z=00+y-z=0y=z,y=z,由由m m =0, =0,得得x-z=0x-z=0x=z,x=z,取取x=1,x=1,所以所以m=(1,1,1),m=-n,m=(1,1,1),m=-n,所以所以mn,mn,所以所以. .答案答案:
12、:2.(20182.(2018西安调研西安调研) )已知已知 =(1,5,-2), =(3,1,z),=(1,5,-2), =(3,1,z),若若 , =(x-1,y,-3), =(x-1,y,-3),且且BPBP平面平面ABC,ABC,则实数则实数x+y=_.x+y=_.【解析解析】由条件得由条件得 解得解得x= ,y=- ,z=4,x= ,y=- ,z=4,所以所以x+y= - = .x+y= - = .答案答案: : 3.3.已知点已知点P P是平行四边形是平行四边形ABCDABCD所在平面外一点所在平面外一点, ,如果如果 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1
13、).=(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1).对于结论对于结论: :APAB;APAD; APAB;APAD; 是平面是平面ABCDABCD的一个法向量的一个法向量; ; . .其中正确的序号是其中正确的序号是_._.【解析解析】因为因为 =0, =0, =0, =0,所以所以ABAP,ADAP,ABAP,ADAP,则则正确正确. .又又 与与 不平行不平行, ,所以所以 是平面是平面ABCDABCD的一个法向量的一个法向量, ,则则正确正确. .由于由于 = - =(2,3,4), =(-1,2,-1),= - =(2,3,4), =(-1,2,-1),所以所以 与与
14、 不平行不平行, ,故故错误错误. .答案答案: :热点考向二热点考向二 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角高频考向高频考向考考情情分分析析20162016年年20172017年年20182018年年T18T18T19T19 T19T19 T18T18 T19T19 T19T19 T18T18T9,T9,T20T20T19T19考考向向解解读读主要考查通过建立空间直角坐标系主要考查通过建立空间直角坐标系, ,解决空间解决空间图形中的线线角、线面角和面面角的求解图形中的线线角、线面角和面面角的求解, ,三三种题型都有可能出现种题型都有可能出现, ,考查学生的空间想象能考查学生的空间想象能力
15、、运算能力、三种角的定义及求法等力、运算能力、三种角的定义及求法等类型一求异面直线所成的角类型一求异面直线所成的角【典例典例2 2】(2015(2015全国卷全国卷)如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,ABC=120,ABC=120,E,FE,F是平面是平面ABCDABCD同一侧的两点同一侧的两点,BE,BE平面平面ABCD,DFABCD,DF平面平面ABCD,BE=2DF,AEEC.ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)(1)证明证明: :平面平面AECAEC平面平面AFC.AFC.(2)(2)求直线求直线AEAE与直线与直线CFCF所成角的余弦值所成角的余弦值. .【
16、大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,求直线求直线AE,CFAE,CF的方向向量的方向向量; ;求两个方向向量所成的角求两个方向向量所成的角; ;求直线求直线AEAE与直线与直线CFCF所成的角所成的角【解析解析】(1)(1)连接连接BD,BD,设设BDAC=G,BDAC=G,连接连接EG,FG,EF.EG,FG,EF.在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,不妨设不妨设GB=1.GB=1.由由ABC=120,ABC=120,可得可得AG=GC= .AG=GC= .由由BEBE平面平面ABCD,AB=BCABCD,AB=BC可知可知AE=
17、EC.AE=EC.又又AEEC,AEEC,所以所以EG= ,EG= ,且且EGAC.EGAC.在在RtEBGRtEBG中中, ,可得可得BE= ,BE= ,故故DF= .DF= .在在RtFDGRtFDG中中, ,可得可得FG= .FG= .在直角梯形在直角梯形BDFEBDFE中中, ,由由BD=2,BE= ,DF= ,BD=2,BE= ,DF= ,可得可得EF= .EF= .从而从而EGEG2 2+FG+FG2 2=EF=EF2 2, ,所以所以EGFG.EGFG.又又ACFG=G,ACFG=G,可得可得EGEG平面平面AFC.AFC.又因为又因为EGEG 平面平面AEC,AEC,所以平面所
18、以平面AECAEC平面平面AFC.AFC.(2)(2)如图如图, ,以以G G为坐标原点为坐标原点, ,分别以分别以 , , 的方向为的方向为x x轴轴,y,y轴正方向轴正方向,| |,| |为单位长度为单位长度, ,建立空间直角坐标建立空间直角坐标系系. .由由可得可得A(0,- ,0),E(1,0, ),F ,A(0,- ,0),E(1,0, ),F ,C(0, ,0),C(0, ,0),所以所以 =(1, , ), = .=(1, , ), = .故故cos= =- .cos= =- .所以直线所以直线AEAE与直线与直线CFCF所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . .【易错警示易错警示
19、】解答本题易出现以下两种错误解答本题易出现以下两种错误: :1.1.在建立了坐标系后表示点的坐标时在建立了坐标系后表示点的坐标时, ,容易出现错误容易出现错误. .2.2.在利用夹角公式求余弦值的时候如果求出是负值在利用夹角公式求余弦值的时候如果求出是负值, ,不不要忽略了异面直线所成角的范围要忽略了异面直线所成角的范围. .类型二计算直线与平面所成角类型二计算直线与平面所成角【典例典例3 3】(2016(2016全国卷全国卷)如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,MABCD,ADBC,AB=AD=A
20、C=3,PA=BC=4,M为线段为线段ADAD上一点上一点,AM=2MD,N,AM=2MD,N为为PCPC的中点的中点. .(1)(1)证明证明:MN:MN平面平面PAB.PAB.(2)(2)求直线求直线ANAN与平面与平面PMNPMN所成角的正弦值所成角的正弦值. .【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,写出写出P,M,C,NP,M,C,N的坐标的坐标; ;求求ANAN的方向向量以及平面的方向向量以及平面PMNPMN的法的法向量向量; ;求直线求直线ANAN与平面与平面PMNPMN所成角的正弦所成角的正弦值值【解析解析】(1)(1)
21、由已知得由已知得AM= AD=2,AM= AD=2,取取BPBP的中点的中点T,T,连接连接AT,TN,AT,TN,由由N N为为PCPC中点知中点知TNBC,TN= BC=2.TNBC,TN= BC=2.又又ADBC,ADBC,故故TNAM,TN=AM,TNAM,TN=AM,四边形四边形AMNTAMNT为平行四边形为平行四边形, ,于是于是MNAT.MNAT.因为因为ATAT 平面平面PAB,MNPAB,MN 平面平面PAB,PAB,所以所以MNMN平面平面PAB.PAB.(2)(2)取取BCBC的中点的中点F,F,连接连接AF.AF.由由AB=ACAB=AC得得AFBC,AFBC,从而从而
22、AFADAFAD且且AF= = ,AF= = ,以以A A为坐标原点为坐标原点, , 的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向, , 的方向的方向为为y y轴的正方向轴的正方向, , 的方向为的方向为z z轴的正方向轴的正方向, ,建立空间直建立空间直角坐标系角坐标系, ,由题意可得由题意可得P ,M ,C ,N ,P ,M ,C ,N ,所以所以 = , = , = ,= , = , = ,设设n=(x,y,z)n=(x,y,z)为平面为平面PMNPMN的法向量的法向量, ,则则 即即 可取可取n= ,n= ,所以所以cos = = ,cos = = ,所以直线所以直线ANAN与平面与平面
23、PMNPMN所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . .类型三计算二面角类型三计算二面角【典例典例4 4】如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,侧面侧面PADPAD为等边三角为等边三角形且垂直于底面形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,EBAD=ABC=90,E是是PDPD的中点的中点. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)证明证明: :直线直线CECE平面平面PAB.PAB.(2)(2)点点M M在棱在棱PC PC 上上, ,且直线且直线BMBM与底面与底面ABCDABCD所成角为所成角为45,45,求二面角求
24、二面角M-AB-DM-AB-D的余弦值的余弦值. .【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,求出求出M M点坐标点坐标; ;求平面求平面MABMAB与平面与平面ABDABD的法向量的法向量; ;求二面角求二面角M-AB-DM-AB-D的余弦值的余弦值【解析解析】(1)(1)取取PAPA的中点的中点F,F,连接连接EF,BF.EF,BF.因为因为E E是是PDPD的中点的中点, ,所以所以EFAD,EF= AD,EFAD,EF= AD,由由BAD= BAD= ABC=90,ABC=90,得得BCAD,BCAD,又又BC= AD,BC= A
25、D,所以所以EF BC.EF BC.四边形四边形BCEFBCEF为平行四边形为平行四边形,CEBF.,CEBF.又又BFBF 平面平面PAB,CEPAB,CE 平面平面PAB,PAB,故故CECE平面平面PAB.PAB.(2)(2)由已知得由已知得BAAD,BAAD,以以A A为坐标原点为坐标原点, , 的方向为的方向为x x轴轴正方向正方向, , 为单位长为单位长, ,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系, ,则则A ,B ,C ,P ,A ,B ,C ,P , =(1,0,- ), =(1,0,0), =(1,0,- ), =(1,0,0),设设M ,M ,则则 = ,
26、 = ,= , = ,因为因为BMBM与底面与底面ABCDABCD所成的角为所成的角为45,45,而而n= n= 是底面是底面ABCDABCD的一个法向量的一个法向量, ,所以所以 =sin 45=sin 45, = , = ,即即 +y+y2 2-z-z2 2=0.=0. 又又M M在棱在棱PCPC上上, ,设设 = ,= ,则则 x=,y=1,z= - .x=,y=1,z= - .由由得得 所以所以M ,M ,从而从而 = .= .设设m=(xm=(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )是平面是平面ABMABM的法向量的法向量, ,则则 即即 所以可取所以可取m=(0,- ,2).m=
27、(0,- ,2).于是于是cos= = ,cos= = ,因此二面角因此二面角M-AB-DM-AB-D的余弦值为的余弦值为 . .【易错提醒易错提醒】解答本题易出现以下两种错误解答本题易出现以下两种错误: :一是两平一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角面的法向量的夹角不一定是所求的二面角, ,求解时一定求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角; ;二是二是利用方程思想进行向量运算利用方程思想进行向量运算, ,要认真细心要认真细心, ,准确计算准确计算. .【名师点睛名师点睛】1.1.利用空间向量求空间角的一般步骤利用空间向量求空间角
28、的一般步骤(1)(1)建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系. .(2)(2)求出相关点的坐标求出相关点的坐标, ,写出相关向量的坐标写出相关向量的坐标. .(3)(3)结合公式进行论证、计算结合公式进行论证、计算. .(4)(4)转化为几何结论转化为几何结论. .2.2.利用空间向量求线线角、线面角的思路利用空间向量求线线角、线面角的思路(1)(1)异面直线所成的角异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量可以通过两直线的方向向量的夹角的夹角求得求得, ,即即cos =|cos cos =|cos |.|.(2)(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与主要
29、通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角平面的法向量的夹角求得求得, ,即即sin =|cos sin =|cos |.|.3.3.利用空间向量求二面角的思路利用空间向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角的直线的方向向量的夹角( (或其补角或其补角) )或通过二面角的或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得两个面的法向量的夹角求得, ,它等于两个法向量的夹角它等于两个法向量的夹角或其补角或其补角. .如图所示如图所示, ,平面多边形平面多边形ABCDEABCDE中中,AE=ED,AB=BD,AE=ED,A
30、B=BD,且且AB= ,AD=2,AE= ,CD=1,ADCD,AB= ,AD=2,AE= ,CD=1,ADCD,现沿直线现沿直线AD,AD,将将ADEADE折起折起, ,得到四棱锥得到四棱锥P-ABCD.P-ABCD.(1)(1)求证求证:PBAD.:PBAD.(2)(2)若若PB= ,PB= ,求求PDPD与平面与平面PABPAB所成角的正弦值所成角的正弦值. .【解析解析】(1)(1)取取ADAD的中点的中点O,O,连接连接OB,OP,OB,OP,因为因为BA=BD,EA=ED,BA=BD,EA=ED,即即PA=PD,PA=PD,所以所以OBADOBAD且且OPAD,OPAD,又又OBO
31、P=O,OBOP=O,所以所以ADAD平面平面BOP,BOP,而而PBPB平面平面BOP,BOP,所以所以PBAD.PBAD.(2)(2)可求得可求得OP=1,OB=2,OP=1,OB=2,则则OPOP2 2+OB+OB2 2=5=PB=5=PB2 2, ,所以所以POOB,POOB,所以所以OP,OB,ODOP,OB,OD两两互相垂直两两互相垂直, ,以以O O为坐标原点为坐标原点,OB, OD, OP,OB, OD, OP所在的直线分别为所在的直线分别为x,y,zx,y,z轴轴, ,建立如图所示空间直角坐标系建立如图所示空间直角坐标系, ,则则A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,
32、1,0),P(0,0,1),A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), =(0,-1,1), =(0,1,1), =(-2,0,1), =(0,-1,1), =(0,1,1), =(-2,0,1),设设m=(a,b,c)m=(a,b,c)为平面为平面PABPAB的一个法向量的一个法向量, ,则则由由 令令a=1,a=1,则得则得c=2,b=-2,c=2,b=-2,所以所以m=(1,-2,2),m=(1,-2,2),设设PDPD与平面与平面PABPAB所成角为所成角为,则则sin =|cos|= = = ,sin =|cos|= = = ,故故sin = ,sin
33、 = ,即即PDPD与平面与平面PABPAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . .【加练备选加练备选】1.(20181.(2018天津高考天津高考) ) 如图如图,ADBC,ADBC且且AD=2BC, ADCD, AD=2BC, ADCD, EGADEGAD且且EG=AD,CDFGEG=AD,CDFG且且CD=2FG,DGCD=2FG,DG平面平面ABCD, DA= ABCD, DA= DC=DG=2.DC=DG=2.(1)(1)若若M M为为CFCF的中点的中点,N,N为为EGEG的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面CDE.CDE.(2)(2)求二面角求二面角E-BC-FE-BC
34、-F的正弦值的正弦值. .(3)(3)若点若点P P在线段在线段DGDG上上, ,且直线且直线BPBP与平面与平面ADGEADGE所成的角为所成的角为60,60,求线段求线段DPDP的长的长. .【解析解析】依题意依题意, ,可以建立以可以建立以D D为原点为原点, ,分别以分别以 , , , 的方向为的方向为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的正方向的空间直角坐标系轴的正方向的空间直角坐标系( (如图如图),),可得可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2
35、),G(0,0,2),M ,N(1,0,2).E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M ,N(1,0,2).(1)(1)依题意依题意 =(0,2,0), =(2,0,2).=(0,2,0), =(2,0,2).设设n n0 0=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面CDECDE的法向量的法向量, ,则则 即即 不妨令不妨令z=-1,z=-1,可得可得n n0 0=(1,0,-1).=(1,0,-1).又又 = ,= ,可得可得 nn0 0=0,=0,又因为直线又因为直线MNMN 平面平面CDE,CDE,所以所以MNMN平面平面CDE.CDE.(2)(2)依题意依题意, ,可
36、得可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2).=(0,-1,2).设设n=(xn=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )为平面为平面BCEBCE的法向量的法向量, ,则则 即即 不妨令不妨令z z1 1=1,=1,可得可得n=(0,1,1). =(0,1,1). 设设m=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )为平面为平面BCFBCF的法向量的法向量, ,则则 即即 不妨令不妨令z z2 2=1,=1,可得可得m=(0,2,1).=(0,2,1).因此有因此有coscos= = ,= = ,于是于是sinsi
37、n= .= .所以所以, ,二面角二面角E-BC-FE-BC-F的正弦值为的正弦值为 . .(3)(3)设线段设线段DPDP的长为的长为h(h0,2),h(h0,2),则点则点P P的坐标为的坐标为(0,0,h),(0,0,h),可得可得 =(-1,-2,h).=(-1,-2,h).易知易知, =(0,2,0), =(0,2,0)为平面为平面ADGEADGE的一个法向量的一个法向量, ,故故|cos|= = ,|cos|= = ,由题意由题意, ,可得可得 =sin 60= ,=sin 60= ,解得解得h= h= 0,2.0,2.所以线段所以线段DPDP的长为的长为 . .2.(20182.
38、(2018湖北联考协作体联考湖北联考协作体联考) )等边等边ABCABC的边长为的边长为3,3,点点D,ED,E分别为分别为AB,ACAB,AC上的点上的点, ,且满足且满足 = = (= = (如图如图1),1),将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到A A1 1DEDE的位置的位置, ,使二面角使二面角A A1 1-DE-B-DE-B成直二面角成直二面角, ,连接连接A A1 1B,AB,A1 1C(C(如图如图2)2)(1)(1)求证求证:A:A1 1DD平面平面BCED.BCED.(2)(2)在线段在线段BCBC上是否存在点上是否存在点P,P,使直线使直线PAPA1 1与平面与平面A
39、 A1 1BDBD所成所成的角为的角为60?60?若存在若存在, ,求出求出PBPB的长的长; ;若不存在若不存在, ,请说明理请说明理由由. .【解析解析】(1) (1) 因为等边因为等边ABCABC的边长为的边长为3,3,且且 = = = = , ,所以所以AD=1,AE=2.AD=1,AE=2.在在ADEADE中中,DAE=60,DAE=60,由余弦定理得由余弦定理得DE= = .DE= = .因为因为ADAD2 2+DE+DE2 2=AE=AE2 2, ,所以所以ADDE.ADDE.折叠后有折叠后有A A1 1DDE.DDE.因为二面角因为二面角A A1 1-DE-B-DE-B是直二面
40、角是直二面角, ,所以平面所以平面A A1 1DEDE平面平面BCED,BCED,又平面又平面A A1 1DEDE平面平面BCED=DE,ABCED=DE,A1 1D D 平面平面A A1 1DE,ADE,A1 1DDE,DDE,所以所以A A1 1DD平面平面BCED,BCED,(2)(2)由由(1)(1)的证明的证明, ,可知可知EDDB,AEDDB,A1 1DD平面平面BCED.BCED.以以D D为坐标原点为坐标原点, ,以射线以射线DB,DE,DADB,DE,DA1 1分别为分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴的正半轴的正半轴, ,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直
41、角坐标系. .设设PB=2a(02a3),PB=2a(02a3),过过P P作作PHBDPHBD于于H,H,连接连接A A1 1H,H,则则PH= a,DH=2-a,PH= a,DH=2-a,所以所以A A1 1(0,0,1),P(2-a, a,0),E(0, ,0),(0,0,1),P(2-a, a,0),E(0, ,0),所以所以 =(a-2,- a,1),=(a-2,- a,1),因为因为EDED平面平面A A1 1BD,BD,所以平面所以平面A A1 1BDBD的一个法向量为的一个法向量为 =(0, ,0),=(0, ,0),因为直因为直线线PAPA1 1与平面与平面A A1 1BDB
42、D所成的角为所成的角为60,60,所以所以sin 60= = = , sin 60= = = , 解解得得a= ,a= ,即即PB=2a= ,PB=2a= ,满足满足02a3,02a3,符合题意符合题意, ,所以在线段所以在线段BCBC上存在点上存在点P,P,使直线使直线PAPA1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成的所成的角为角为60,60,此时此时PB= .PB= .热点考向三热点考向三 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题 考向剖析考向剖析: :本考向考查形式是解答题本考向考查形式是解答题, ,主要考查利用主要考查利用空间向量探索与空间线面垂直、平行或空间三种角大空间
43、向量探索与空间线面垂直、平行或空间三种角大小有关的点所在位置、参数值的大小问题小有关的点所在位置、参数值的大小问题, ,该问题一般该问题一般出现在解答题的最后一问出现在解答题的最后一问, ,建立空间直角坐标系是关键建立空间直角坐标系是关键, ,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算能考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算能力力.2019.2019年的高考仍将以解答题的形式考查年的高考仍将以解答题的形式考查. .【典例典例5 5】已知某几何体的直观图和三视图如图所示已知某几何体的直观图和三视图如图所示, ,其正视图为矩形其正视图为矩形, ,侧视图为等腰直角三角形侧视图为等腰直角三角形
44、, ,俯视图为俯视图为直角梯形直角梯形. .(1)M(1)M为为ABAB中点中点, ,在线段在线段CBCB上是否存在一点上是否存在一点P,P,使得使得MPMP平平面面CNBCNB1 1? ?若存在若存在, ,求出求出BPBP的长的长; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .(2)(2)求二面角求二面角C-NBC-NB1 1-C-C1 1的余弦值的余弦值. .【审题导引审题导引】(1)(1)看到看到MPMP平面平面CNBCNB1 1, ,可联想到直线方可联想到直线方向向量与平面的法向量向向量与平面的法向量_._.(2)(2)看到求二面角的余弦看到求二面角的余弦, ,可联想到求两个平面
45、的可联想到求两个平面的_._.【解析解析】建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系, ,则由该几何则由该几何体的三视图可知体的三视图可知: :垂直垂直法向法向量量A(4,0,0),B(0,0,0),C(0,0,4),N(4,4,0),BA(4,0,0),B(0,0,0),C(0,0,4),N(4,4,0),B1 1(0,8,0),(0,8,0),C C1 1(0,8,4).(0,8,4).(1)(1)设平面设平面CNBCNB1 1的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),因为因为 =(-4,-4,4), =(-4,4,0),=(-4,-4,4), =(-4,4,
46、0),所以所以 所以令所以令x=1,x=1,可解得平面可解得平面CNBCNB1 1的一个法向量的一个法向量n=(1,1,2),=(1,1,2),设设P(0,0,a)(0a4),P(0,0,a)(0a4),由于由于M(2,0,0),M(2,0,0),则则 =(2,0,-a),=(2,0,-a),又因为又因为MPMP平面平面CNBCNB1 1, ,所以所以 n=2-2a=0,=2-2a=0,即即a=1,a=1,所以在线段所以在线段CBCB上存在一点上存在一点P,P,使得使得MPMP平面平面CNBCNB1 1, ,此时此时BP=1.BP=1.(2)(2)设平面设平面C C1 1NBNB1 1的法向量
47、为的法向量为m=(x,y,z),=(x,y,z),因为因为 =(-4,4,4), =(-4,4,0),=(-4,4,4), =(-4,4,0),所以所以 所以令所以令x=1,x=1,可解得平面可解得平面C C1 1NBNB1 1的一个法向量为的一个法向量为m=(1,1,0),=(1,1,0),所以所以coscos= = = .= = = .由图可知由图可知, ,所求二面角为锐角所求二面角为锐角, ,即二面角即二面角C-NBC-NB1 1-C-C1 1余弦值余弦值为为 . .【名师点睛名师点睛】利用空间向量求解探索性问题的策略利用空间向量求解探索性问题的策略(1)(1)假设题中的数学对象存在假设
48、题中的数学对象存在( (或结论成立或结论成立) )或暂且认可或暂且认可其中的一部分结论其中的一部分结论. .(2)(2)在这个前提下进行逻辑推理在这个前提下进行逻辑推理, ,把要成立的结论当作把要成立的结论当作条件条件, ,据此列方程或方程组据此列方程或方程组, ,把把“是否存在是否存在”问题转化问题转化为为“点的坐标点的坐标( (或参数或参数) )是否有解是否有解, ,是否有规定范围内的是否有规定范围内的解解”等等. .若由此推导出矛盾若由此推导出矛盾, ,则否定假设则否定假设; ;否则否则, ,给出肯给出肯定结论定结论. .【考向精练考向精练】如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-
49、ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,AB=AC=2,AD=2 ,PB=3 ,PBAC.,AB=AC=2,AD=2 ,PB=3 ,PBAC.世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)(1)求证求证: :平面平面PABPAB平面平面PAC.PAC.(2)(2)若若PBA=45,PBA=45,试判断棱试判断棱PAPA上是否存在与点上是否存在与点P,AP,A不重不重合的点合的点E,E,使得直线使得直线CECE与平面与平面PBCPBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 , ,若存在若存在, ,求出求出 的值的值; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【解析解析】(1)
50、(1)因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,AD=2 ,AD=2 ,所以所以BC=AD=2 ,BC=AD=2 ,又又AB=AC=2,AB=AC=2,所以所以ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2, ,所以所以ACAB,ACAB,又又PBAC,PBAC,且且ABPB=B,ABPB=B,所以所以ACAC平面平面PAB,PAB,因为因为ACAC 平面平面PAC,PAC,所以平面所以平面PABPAB平面平面PAC.PAC.(2)(2)由由(1)(1)知知ACAB,ACACAB,AC平面平面PAB,PAB,如图如图, ,分别以分别以AB,ACAB,AC所所在直线为在直
51、线为x x轴、轴、y y轴轴, ,平面平面PABPAB内过点内过点A A且与直线且与直线ABAB垂直的垂直的直线为直线为z z轴轴, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,则则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,2,0), =(-2,2,0), =(0,2,0), =(-2,2,0),由由PBA=45,PB=3 ,PBA=45,PB=3 ,可得可得P(-1,0,3),P(-1,0,3),所以所以 =(-1,0,3), =(-3,0,3),=(-1,0,3), =(-3,0,3),假设棱假设棱PAPA上存在点
52、上存在点E,E,使得直线使得直线CECE与平面与平面PBCPBC所成角的正所成角的正弦值为弦值为 , ,设设 =(01),=(01),则则 = =(-,0,3), = - =(-,= =(-,0,3), = - =(-,-2,3),-2,3),设平面设平面PBCPBC的法向量为的法向量为n=(x,y,z),n=(x,y,z),则则 即即 令令z=1,z=1,可得可得x=y=1,x=y=1,所以平面所以平面PBCPBC的一个法向量为的一个法向量为n=(1,1,1),n=(1,1,1),设直线设直线CECE与平面与平面PBCPBC所成的角为所成的角为,则则sin =|cos|= sin =|cos
53、|= = = ,= = ,整理得整理得332 2+4=0,+4=0,因为因为01,00,+40,故故332 2+4=0+4=0无解无解, ,所以棱所以棱PAPA上不存在与点上不存在与点P,AP,A不重合的点不重合的点E,E,使得直线使得直线CECE与与平面平面PBCPBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . .【加练备选加练备选】 (2018 (2018南通二模南通二模) )如图如图, ,在直角梯形在直角梯形AAAA1 1B B1 1B B中中,A,A1 1AB=90,AAB=90,A1 1B B1 1AB,AB,AB=AAAB=AA1 1=2A=2A1 1B B1 1=2.=2.直角梯形直角
54、梯形AAAA1 1C C1 1C C通过直角梯形通过直角梯形AAAA1 1B B1 1B B以以直线直线AAAA1 1为轴旋转得到为轴旋转得到, ,且使得平面且使得平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.点点M M为线段为线段BCBC的中点的中点, ,点点P P为线段为线段BBBB1 1上的动点上的动点. .(1)(1)求证求证:A:A1 1C C1 1AP.AP.(2)(2)当点当点P P是线段是线段BBBB1 1中点时中点时, ,求二面角求二面角P-AM-BP-AM-B的余弦值的余弦值. .(3)(3)是否存在点是否存在点P,P,使得直线使得直线A A1
55、 1CC平面平面AMP?AMP?请说明理由请说明理由. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知A A1 1AB=AAB=A1 1AC=90,AC=90,且平面且平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,所以所以BAC=90,BAC=90,即即ACAB.ACAB.又因为又因为ACAAACAA1 1且且ABAAABAA1 1=A,=A,所以所以ACAC平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.由已知由已知A A1 1C C1 1AC,AC,所以所以A A1 1C C1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.因为因为APAP 平面平面AAAA1 1B B1 1
56、B,B,所以所以A A1 1C C1 1AP.AP.(2)(2)由由(1)(1)可知可知AC,AB,AAAC,AB,AA1 1两两垂直两两垂直. .分别以分别以AC,AB,AAAC,AB,AA1 1所在直线为所在直线为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间轴建立空间直角坐标系如图所示直角坐标系如图所示. .由已知由已知 AB=AC=AAAB=AC=AA1 1=2A=2A1 1B B1 1=2A=2A1 1C C1 1=2,=2,所以所以A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),BA(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B1 1(0,1,2),A(0,1,2),A
57、1 1(0,0,2).(0,0,2).因为点因为点M M为线段为线段BCBC的中点的中点, ,点点P P为线段为线段BBBB1 1的中点的中点, ,所以所以M(1,1,0),P .M(1,1,0),P .易知平面易知平面ABMABM的一个法向量的一个法向量m=(0,0,1).m=(0,0,1).设平面设平面APMAPM的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),由由 得得 取取y=2,y=2,得得n=(-2,2,-3).=(-2,2,-3).由图可知由图可知, ,二面角二面角P-AM-BP-AM-B的大小为锐角的大小为锐角, ,所以所以|cos|cos|= = = .|=
58、 = = .所以二面角所以二面角P-AM-BP-AM-B的余弦值为的余弦值为 . .(3)(3)存在点存在点P,P,使得直线使得直线A A1 1CC平面平面AMP,AMP,设设P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),且且 = ,0,1,= ,0,1,则则(x(x1 1,y,y1 1-2,z-2,z1 1)=(0,-1,2),)=(0,-1,2),所以所以x x1 1=0,y=0,y1 1=2-,z=2-,z1 1=2.=2.所以所以 =(0,2-,2).=(0,2-,2).设平面设平面AMPAMP的一个法向量为的一个法向量为n n0 0=(x=(x0 0,y,y0 0,z,z0 0),),由由 得得 取取y y0 0=1,=1,得得n n0 0= (= (显然显然=0=0不符合题意不符合题意).).又又 =(2,0,-2),=(2,0,-2),若若A A1 1CC平面平面AMP,AMP,则则 n n0 0. .所以所以 n n0 0=-2- =0,=-2- =0,所以所以= .= .所以在线段所以在线段BBBB1 1上存在点上存在点P,P,且且 =2=2时时, ,使得直线使得直线A A1 1CC平面平面AMP.AMP.
