《高等数学：13-1 第二型曲线积分(1-33)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：13-1 第二型曲线积分(1-33)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章第十三章 第二型曲线积分与曲面积分第二型曲线积分与曲面积分13.1 第二型曲线积分第二型曲线积分1 向量场向量场(1) 场场分布有某物理量的区域称为在该区域中分布有某物理量的区域称为在该区域中确定了该物理量的一个场确定了该物理量的一个场(2) 向量场向量场当涉及的物理量具有向量的特征时当涉及的物理量具有向量的特征时,此时的场称为此时的场称为向量场向量场向量场举例向量场举例1) 质量为质量为 M 的质点置于原点所产生的引力场的质点置于原点所产生的引力场质点质点 M 对位于对位于 ( x , y , z ) 点处单位质点的引点处单位质点的引力力:2) 梯度场梯度场设设 u = f (x ,
2、 y , z) , 则则是向量场是向量场 , 称为称为 梯度场梯度场 , f (x , y , z) 称为梯度场称为梯度场的的势函数势函数 ,有势函数的向量场称为有势函数的向量场称为有势场有势场引力场引力场:引力场是函数引力场是函数 形成的梯度场形成的梯度场是此引力场的势函数是此引力场的势函数 引力场是有势场引力场是有势场 ( 保守场保守场 )3) 流速场流速场 当流体在某区域流动时当流体在某区域流动时 , 流体的流动流体的流动速度速度 在该区域内形成一流速场在该区域内形成一流速场若速度若速度 与时间与时间 t 无关无关 , 称为称为稳定流场稳定流场若速度若速度 与时间与时间 t 有关有关 ,
3、 称为称为不稳定流场不稳定流场一般地一般地 , 场中的物理量除与位置有关之外还和场中的物理量除与位置有关之外还和时间有关时间有关 , 这种场称为这种场称为不稳定场不稳定场 ( 或或时变场时变场 ) , 而而与时间无关的场称为与时间无关的场称为稳定场稳定场 向量场的表示向量场的表示:连续向量场连续向量场: 向量场的各个分量函数都是连续函数向量场的各个分量函数都是连续函数可微向量场可微向量场: 向量场的各个分量函数都是可微函数向量场的各个分量函数都是可微函数(3) 向量线向量线 ( 场线场线 )向量线向量线 :向量场向量场 的向量线是场内的一的向量线是场内的一条曲线条曲线 , 在这条曲线上的每一点
4、处在这条曲线上的每一点处 , 曲线的切曲线的切向量与向量场向量与向量场 在此点处的向量平行在此点处的向量平行 对于平面向量场对于平面向量场 : 向量线在向量线在 M(x , y) 点处的切向量为点处的切向量为:向量线应满足微分方程向量线应满足微分方程:即即例例求平面向量场求平面向量场 的向量线方程的向量线方程解解向量线满足微分方程向量线满足微分方程:积分得积分得所以向量线所以向量线2 第二型曲线积分第二型曲线积分在曲线在曲线 L 上插入分点上插入分点: 将将 L 划分成划分成 n 个有向弧段个有向弧段 :问题：问题：设有平面力场设有平面力场计算平面质点计算平面质点 M 受力受力 作用作用 ,
5、沿曲线沿曲线 L 从从A 点运动到点运动到 B 点力点力 所作的功所作的功 记每一小弧段记每一小弧段 上力所作的功为上力所作的功为 , 则则当当 充分小时充分小时 , 在在 上近似不变上近似不变任取任取 记记 ( )则有则有若记若记定义定义:设设 L 是一光滑是一光滑 ( 或分段光滑或分段光滑 ) 的平面有向曲线的平面有向曲线 , 在在 L 上有定义且有界上有定义且有界 ( 每个分量有界每个分量有界 ) 设沿着曲线从设沿着曲线从 A 到到 B 的移动方向为曲线的正方向的移动方向为曲线的正方向沿着曲线沿着曲线 L 的正方向依次插入分点的正方向依次插入分点: 将将 L 任意划分成任意划分成 n 个
6、有向小弧段个有向小弧段 :记记 ( )任取任取 如果极限如果极限其值其值 A 与划分无关与划分无关 , 与与 的选取无关的选取无关 ,则称则称 沿有向曲线沿有向曲线 L 从从 A 到到 B 点点关于坐关于坐标可积可积 ,第二型曲线积分第二型曲线积分 , 极限值极限值 A 称为称为 沿有向曲线沿有向曲线 L 从从 A 到到 B 点的点的 记作记作 , 即即也就是也就是( 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 )可知可知:是大小为是大小为 ds , 方向与方向与 L 的正向一致的曲线的正向一致的曲线 L 的切向量的切向量 ( 称为称为有向曲线的切向量有向曲线的切向量 ) P (x , y ) , Q
7、(x , y )称为称为被积函数被积函数 ; L 称为称为积分路径积分路径 ; 说明说明:称为称为被积被积表达式表达式 ;称为第二型曲线积分的称为第二型曲线积分的向量形式向量形式 ;称为第二型曲线积分的称为第二型曲线积分的坐标形式坐标形式(1) 第一与第二型曲线积分的区别第一与第二型曲线积分的区别 :(a) 第一型曲线积分是数量函数第一型曲线积分是数量函数 f (x , y ) 在曲线在曲线 L 上上的积分的积分 ,第二型是向量场第二型是向量场 在曲线在曲线 L 的积分的积分(b) 第一型曲线积分与曲线第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关的方向无关 , 而第二型而第二型曲线积分与曲线曲线积分与
8、曲线 L 的方向有关的方向有关(2) 平面质点平面质点 M 受力受力 作用作用 , 沿曲线沿曲线 L 从从A 点运动到点运动到 B 点力点力 所作的功所作的功 空间第二型曲线积分空间第二型曲线积分 设设 L 是一光滑是一光滑 ( 或分段光滑或分段光滑 ) 的从的从 A 点到点到 B 点点的空间有向曲线的空间有向曲线 , 空间向量场空间向量场沿空间有向曲线沿空间有向曲线 L 从从 A 点到点到 B 点的第二点的第二型空间曲线积分定义为型空间曲线积分定义为 ( )其中其中 是任取的是任取的 , 且对且对 L 的划分的划分 是任意的是任意的 ,可见可见:是大小为是大小为 ds , 方向与方向与 L
9、的正向一致的曲线的正向一致的曲线 L 的切向量的切向量 ( 称为称为有向曲线的切向量有向曲线的切向量 )3 第二型曲线积分的基本性质第二型曲线积分的基本性质(1) 可积的充分条件可积的充分条件若若 在在 L 上连续上连续 , 则则 沿沿 L 的第二型曲线积分的第二型曲线积分 存在存在(2) 线性运算性质线性运算性质设设 沿沿 L 关于坐标可积关于坐标可积 , 则对任意实数则对任意实数 k1 , k2 , 沿沿 L 也关于坐标可积也关于坐标可积 , 且且 (3) 区域可加性区域可加性 也可积也可积 , 且且 设设 沿沿 L1 , L2 关于坐标可积关于坐标可积 ( L1 , L2 的交迭的交迭部
10、分的长度为零部分的长度为零 ) , 则则 沿沿 L = L1 L2 关于坐关于坐标标(4) 有向性有向性 即改变曲线的方向即改变曲线的方向 , 积分改变符号积分改变符号4 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算设设 L 是一光滑是一光滑 ( 或分段光滑或分段光滑 ) 的从的从 A 点到点到 B 点的点的有向曲线有向曲线 : 在在 L 上连续上连续因为因为 在在 L 上取值上取值 所以在所以在 L 上有上有故被积表达式可表示为故被积表达式可表示为将将 沿曲线沿曲线 L 从从 A 点到点到 B 点的累积点的累积 = 从从 到到 进行累积进行累积(积分积分)= 将将对对 t第二型曲线积分的计算公式
11、第二型曲线积分的计算公式:其中当其中当 t 从从 变到变到 时时 , 曲线上的点从曲线上的点从 A 点点变化到变化到 B 点点 , 即与有向曲线的正向一致即与有向曲线的正向一致解解例例计算计算 , 其中其中 L 是抛物线是抛物线 自点自点 A( 1 , 1 ) 到点到点 B( 1 , 1 ) 的有向曲线的有向曲线 解解例例计算计算其中其中 L 是圆周是圆周 的反时针方向的反时针方向且当且当 从从 0 2 时时 , 描绘曲线的方向与曲线描绘曲线的方向与曲线的正向一致的正向一致解解例例质点在平面力场质点在平面力场 的作用下沿椭圆的作用下沿椭圆在第一象限部分从点在第一象限部分从点 A(a , 0)
12、移动移动到点到点 B(0 , b ) , 已知已知 的大小与质点到坐标的大小与质点到坐标 原点的距离成正比原点的距离成正比 , 方向指向原点方向指向原点 , 求求所作的功所作的功设设 M(x , y) 是是 L 上的任意一点上的任意一点则在则在 M 点处点处 , 有有所作的功所作的功 : 第二型空间曲线积分的计算第二型空间曲线积分的计算设设在光滑有向曲线在光滑有向曲线( 或逐段光滑或逐段光滑) L 上连续上连续则沿则沿 L 从点从点 A 到到 点点 B 的第二型空间曲线积分的第二型空间曲线积分 :其中其中 , 当当 t 从从 时时 , 曲线上的点曲线上的点 M( x , y , z) 从点从点
13、 A 沿沿 L 变动到点变动到点 B解解例例计算计算其中其中 L 是圆柱面是圆柱面 与平面与平面 的的交线交线 , 并且从并且从 z 轴正向往原点看去轴正向往原点看去 L 是逆时针方向是逆时针方向L 的方程为的方程为化为参数方程得化为参数方程得当当 t : 0 2 时时 , 曲线上的点沿曲线的正向变化曲线上的点沿曲线的正向变化 5 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系是大小为是大小为 ds , 方向与方向与 L 的正向一致的曲线的正向一致的曲线 L 的切向量的切向量 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系对于空间曲线积分对于空间曲线积分 , 同样可得同样可得说明说明: (1) 若
14、若若若(2) 被积表达式被积表达式 : 表示单位时间内流体沿曲线正向表示单位时间内流体沿曲线正向流过弧微元流过弧微元( 单位截面单位截面) ds 的流量的流量表示单位时间内流体表示单位时间内流体沿有向曲线沿有向曲线 L 的正向流过整个曲线的正向流过整个曲线 L 的流量的流量当曲线当曲线 L 为闭曲线时为闭曲线时 , 又称此流量为又称此流量为 沿有沿有 向闭曲线向闭曲线 L 的的环流量环流量 ( 简称环量简称环量 ) , 记作记作 1)说明向量场在说明向量场在 L 上具有与上具有与 L 正向正向 同方向的旋转净趋势同方向的旋转净趋势2)说明向量场在说明向量场在 L 上具有与上具有与 L 正向正向 反方向的旋转净趋势反方向的旋转净趋势3)说明向量场在说明向量场在 L 上没有旋转净趋势上没有旋转净趋势环流量是向量场沿闭曲线环流量是向量场沿闭曲线 L 的旋转净趋势的的旋转净趋势的一种度量一种度量解解例例试求试求 “ 螺旋场螺旋场 ” 的向量线方程的向量线方程 , 并计算并计算 沿向量线反时针沿向量线反时针 方向的环量方向的环量向量线满足方程向量线满足方程即即向量线方程向量线方程: 沿沿 L: 反时针方向的环量反时针方向的环量 是一环绕原点是一环绕原点 , 具有反具有反时针方向旋转趋势的向量场时针方向旋转趋势的向量场
