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1、6.4 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的, 应用也最广泛. 在构造正态总体参数的置信区间的过程中, t分布, c2分布, F分布以及标准正态分布N(0,1)扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间, 讨论下列情形:1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间;2, 单正态总体均值(方差未知)的置信区间;3, 单正态总体方差的置信区间;4, 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.一, 单正态总体均值的置信区间(1)设总体XN(m,s2), 其中s2已知, 而m为未知参数, X1,
2、X2,Xn是取自总体X的一个样本.对给定的置信水平1-a, 由上节例1已经得到m的置信区间例例1 某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额x=80元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差s=12元, 求该地旅游者平均消费额m的置信度为95%的置信区间.解解 由1-a=0.95, a=0.05, a/2=0.025.查表得u0.025=1.96, 将数据n=100,x=80, s=12, 代入(4.1)式, 算出对应的置信区间为(77.6, 82.4).例例2 设总体XN(m,s2), 其中m未知, s2=4. X1,Xn为其样本.(1)
3、 当n=16时, 试求置信度分别为0.9及0.95的m置信区间的长度.(2) n多大方能使m的90%置信区间的长度不超过1?(3) n多大方能使m的95%置信区间的长度不超过1?解解 (1) 记m的置信区间长度为D, 则于是当1-a=90%时当1-a=95%时二二, 单正态总体的置信区间单正态总体的置信区间(2)设总体XN(m,s2), 其中m,s2未知, X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本.此时可用s2的无偏估计S2代替s2, 构造统计量对给定的置信水平1-a, 由即因此, 均值m的1-a置信区间为(4.2)例例3 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消费额x=80元, 子样标准差
4、s=12元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额m的95%置信区间.解解 对于给定的置信度 95%(a=0.05), ta/2(n-1)=t0.025(24)=2.0639,将x=80, s=12, n=25, t0.025(24)=2.0639代入(4.2)式得m的置信度为95%的置信区间为(75.09, 84.95).例例4 有一大批糖果. 现从中随机取16袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值m的置信水平
5、为0.95的置信区间.解解 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, t0.025(15)=2.1315,由给出数据算得x=503.75, s=6.2022. 可得均值m的一个置信水平为0.95的置信区间为即 (500.4, 507.1).三三, 单正态总体方差的置信区间单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值m的区间估计, 在实际问题中要考虑精度或稳定性时, 需要对正态总体的方差s2进行区间估计.设总体XN(m,s2), 其中m,s2未知, X1,X2,Xn是取自总体X的样本. 求方差s2的置信度为1-a的置信区间. s2的无偏估计为S2, 而且有对给定的置信水平1-a,
6、由得于是方差s2的1-a置信区间为而标准差s的1-a置信区间例例5 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值x=186, 样本标准差s=12, 假定所论胆固醇水平XN(m,s2), m与s2均未知. 试分别求出m及s的90%置信区间.四四, 双正态总体均值差的置信区间双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中, 往往需要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异, 从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间.对给定的置信水平1-a, 由可导出m1-m2的置信度为1-a的置信区间为例例6 1986年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知
7、体育, 卫生, 社会福利事业职工工资X(单位: 元)N(m1, 2182); 文教, 艺术, 广播事业职工工资Y(单位: 元)N(m2, 2272), 从总体X中调查25人, 平均工资1286元, 从总体Y中调查30人, 平均工资1272元, 求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间.解解 由于1-a=0.99, 故a=0.01, 查表得u0.005=2.576, 又n1=25, n2=30, s12=2182, s22=2272, x=1286, y=1272, 于是, 由公式(4.5)算出m1-m2的置信概率为99%的置信区间为-140.96, 168.96五五, 双正态总体均值差
8、的置信区间双正态总体均值差的置信区间(2)设X是总体N(m1,s2)的容量为n1的样本均值, Y是总体N(m2,s2)的容量为n2的样本均值, 且两总体相互独立, 其中m1,m2及s未知. 从第五章第三节定理4知其中对给定置信水平1-a, 由可导出m1-m2的1-a置信区间为例例7 A,B两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了19块面积相同的麦田, 其中9块属于地区A, 另外10块属于地区B, 测得它们的小麦产量(以kg计)分别如下:地区A:100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地区B: 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92.设地区A的小麦产量XN(m1,s2), 地区B的小麦产量YN(m2,s2), m1,m2,s2均未知.试求这两个地区的平均产量之差m1-m2的90%置信区间.解解 由题意知所求置信区间的两个端点为由a=0.1, n1=9, n2=10查表得t0.1/2(17)=1.7396, 按已给数据计算得于是置信下限为置信上限为故均值差m1-m2的90%置信区间为(-3.59, 9.59)在表6-4-1和表6-4-2中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间, 以方便查用.
