《高等数学课件：8 各种积分的联系及其在场论中的应用-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：8 各种积分的联系及其在场论中的应用-1（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、各种积分的联系及其在场各种积分的联系及其在场论中的应用论中的应用Green 公式、平面线积分的路径无关性公式、平面线积分的路径无关性Stokers 公式与旋度公式与旋度Gauss 公式与散度公式与散度2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系边界曲线边界
2、曲线L L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.二、格林二、格林(Green)(Green)公式公式2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1 12007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系同理可证同理可证yxodDcCEAB2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系D证明证明(2)(2)两式相加得两式相加得l1l2l3若区域若区域D由按段光滑的闭由按段光滑的闭曲线围成曲线围成.如图如图, 2007年8月7南京航空航
3、天大学 理学院 数学系Dl1l2l32007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系DGFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系注2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系例例1解解1. 1. 计算曲线积分计算曲线积分2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系xyoLAB 2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系练习：练习：解解2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系解解2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系xyoLyxo2007年8月16南京航
4、空航天大学 理学院 数学系xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系例例4解：解：Cxyo2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系Cxyo2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系3. 3. 计算平面面积计算平面面积2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系例例6解解2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系2007年
5、8月25南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ;2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系GyxoBA定义定义四、曲线积分与路径无关的定义四、曲线积分与路径无关的定义2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1证明证明GyxoBAc2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系GyxoBA2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理 2 2 证明证明2007年8月30南京航空航天大学 理学
6、院 数学系2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系两条件缺一不可两条件缺一不可注2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系M(1,2)(0,0)(1,0)xy例例1解解2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系M(1,2)(0,0)(1,0)xy例例1解解2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系例例22007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系(1) 若积分与路径无关，若积分与路径无关， 可自由选择路径；可自由选择路径；一般选择平行于坐标轴的折线段一般选择平行于坐标轴的折线段注(2) 若积分与路径无关，若积分与路径无关， 是指从起点到终点的是指从起点到
7、终点的任何任何 路径积分都相等路径积分都相等. 若有若有有限有限条路径积分相等条路径积分相等, 也未必与路径无关也未必与路径无关2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系例例3 计算算 其中其中 到点到点 D(0,1) 的路径的路径(见右图见右图). 分析分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件与路径无关的条件, ,则可改变积分路径则可改变积分路径, ,使易于计算使易于计算. . L 为沿着右半圆周为沿着右半圆周由点由点 A(0, - -1) 2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系解解 记记 易知除去点易知除去点
8、E(0.5, 0) 外外, 处处满足处处满足 设 为由点由点 到点到点 再到点再到点 最最 2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系的折的折线段段. 后到点后到点 可被包含在某可被包含在某 一不含奇点一不含奇点 E 的单连通区域内的单连通区域内, 所以有所以有2007年8月39南京航空航天大学 理学院 数学系注注: 定理定理2 2 中对中对“单连通区域单连通区域”的要求是重要的要求是重要 的的. .如本例若取沿如本例若取沿 y 轴由点轴由点 A 到点到点 D 的路径的路径 , 虽虽 然算起来很简单然算起来很简单, ,但却不可用但却不可用. .因为任何包含因为任何包含 的单连通区域必定
9、含有奇点的单连通区域必定含有奇点 E . 2007年8月40南京航空航天大学 理学院 数学系二元函数的全微分二元函数的全微分2007年8月41南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理 3 32007年8月42南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2007年8月43南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月44南京航空航天大学 理学院 数学系yOxGM0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)事实上，事实上，2007年8月45南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月46南京航空航天大学 理学院 数学系XB(x,y)A(x,0)yO(0,0)例例4解解2007年8月47南京航空航天大学 理学院 数学系解解2007年8月48南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月49南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结(P.243 (P.243 定理定理8.2)8.2)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题2007年8月50南京航空航天大学 理学院 数学系
