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1、现代控制理论现代控制理论状态转移矩阵状态转移矩阵强迫响应强迫响应四川理工学院自动化教研室四川理工学院自动化教研室 2009-4-112009-4-11Modern Control Theory一阶常微分方程组，初始条件已知一阶常微分方程组，初始条件已知齐次状态方程的解齐次状态方程的解1、特征值法、特征值法Review2、幂级数假设法、幂级数假设法3、Laplace变换法（可对应变换法（可对应Matlab求解）求解）1、可对角化系统阵、可对角化系统阵矩阵指数的求取矩阵指数的求取Review特别地，特别地， 阵为如下的对角矩阵阵为如下的对角矩阵2、当矩阵为约当块时、当矩阵为约当块时矩阵指数的求取矩
2、阵指数的求取Review矩阵指数的求取矩阵指数的求取Review矩阵指数的求取矩阵指数的求取Review状态转移矩阵状态转移矩阵1、LTI系统的零输入响应，取决于矩阵指数。系统的零输入响应，取决于矩阵指数。2、矩阵指数有明确的物理意义：随着时间的、矩阵指数有明确的物理意义：随着时间的推移，它不断地把初始状态推移，它不断地把初始状态x(0)变换为一系列变换为一系列状态（向量）状态（向量）x(t),从而在状态空间构成一条从而在状态空间构成一条（状态）轨迹。（状态）轨迹。3、所谓状态转移矩阵，就是将系统由一个状、所谓状态转移矩阵，就是将系统由一个状态转移到另外一个状态，即态转移到另外一个状态，即状态
3、转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质注意：eAteBt不一定等于e(A+B)t，除非AB=BA。 系统在状态转移过程中，既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移，也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移。 求状态转移矩阵的方法求状态转移矩阵的方法幂级数法幂级数法特征值、特征向量法特征值、特征向量法拉氏变换法（可利用状态图法求逆）拉氏变换法（可利用状态图法求逆）Cayley-Hamilton法法状态图法求逆状态图法求逆 在系统状态图上，把初始状态作为输入节点，Xi(s)作为输出节点，应用梅森公式可求得(sI-A)-1。例：系统的状态图如下，求状态转移矩阵解：应用梅森公式，由状态图可求得由 ，
4、可知Cayley-Hamilton法法考虑A的特征多项式显然对A的n个特征值，有 。根据Cayley-Hamilton定理有若A有n个相异特征值，则可有n个方程解n个待定系数。有重特征值时有重特征值时Cayley-Hamilton法法 当A有重特征值时，例如，A有一个m重特征值1和(n-m)个相异特征值j。对m重特征值1，利用求导建立m个方程：又，其余(n-m)个特征值j，可建立(n-m)个方程。Example of Cayley-Hamilton Method4阶系统矩阵A有一个特征值2和一个3重特征值1，其建立的Cayley-Hamilton方程如下：由此解出待定系数j(t)。求间隔求间隔
5、1秒的状态转移矩阵秒的状态转移矩阵解：注意友矩阵的特征多项式很容易求得。其特征多项式和伴随矩阵求得如下：Continue求状态转移矩阵求状态转移矩阵自治系统自治系统求求出发点出发点谁来求系统矩阵谁来求系统矩阵A?写成矩阵方程写成矩阵方程代入数值代入数值一阶常微分方程：非齐次方程的解一阶常微分方程：非齐次方程的解一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程它的解是它的解是考虑非齐次微分方程考虑非齐次微分方程从从 0 到到 t 积分积分移项，乘积分因子移项，乘积分因子写成微分形式写成微分形式Review零输入响应零输入响应 & 零状态响应零状态响应非齐次微分方程非齐次微分方程零输入响应零输入响应其解为其解为零
6、状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应Review非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解其解为其解为自治系统自治系统考虑考虑这是非齐次状态方程这是非齐次状态方程拉氏变换可得到同样结果拉氏变换可得到同样结果非齐次状态方程非齐次状态方程零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应输入为单位阶跃，求系统的全响应输入为单位阶跃，求系统的全响应求响应的例题求响应的例题已知已知初始状态初始状态状态矩阵是状态矩阵是Jordan矩阵矩阵Continue相加即得相加即得练习：求状态方程的解练习：求状态方程的解【分析分析】：零状态，单位阶跃。关键是求矩阵指数：零状态，单位阶跃
7、。关键是求矩阵指数求如下系统的零状态单位阶跃响应求如下系统的零状态单位阶跃响应1、用拉氏变换求矩阵指数、用拉氏变换求矩阵指数2、套用状态方程求解的公式、套用状态方程求解的公式练习答案：矩阵指数练习答案：矩阵指数系统状态方程系统状态方程不要忘记验算不要忘记验算练习答案：阶跃响应练习答案：阶跃响应系统状态方程系统状态方程矩阵指数矩阵指数例：实现、求响应例：实现、求响应设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下求系统的状态空间实现，并用状态空间法求系求系统的状态空间实现，并用状态空间法求系统的单位阶跃响应。统的单位阶跃响应。 3 2/s 1- 电动伺服阀电动
8、伺服阀放大器放大器油缸油缸位移传感器位移传感器U( (s) )Y( (s) )【分析分析】要做两件事：要做两件事：1、求系统的、求系统的SS表达式；表达式；2、用状态空间法求单位阶跃响应。求实现的时、用状态空间法求单位阶跃响应。求实现的时候，要给求响应带来方便。候，要给求响应带来方便。例：求出例：求出SS实现实现 3 2/s 1- 电动伺服阀电动伺服阀放大器放大器油缸油缸位移传感器位移传感器U( (s) )Y( (s) )系统的状态空间表达式为系统的状态空间表达式为其中其中实现并不唯一，但对实现并不唯一，但对角型求响应最方便。角型求响应最方便。例：求出单位阶跃响应例：求出单位阶跃响应初始条件假设初始条件假设为为0，不假设为，不假设为0也无所谓也无所谓Recapitulation小结小结状态转移矩阵状态转移矩阵强迫响应、全响应强迫响应、全响应一些计算例子一些计算例子下次课内容下次课内容连续系统的离散化连续系统的离散化离散系统的状态转移矩阵离散系统的状态转移矩阵作业作业
