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1、9-5 9-5 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0A=yEI01A=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线直线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0x0注注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心
2、处。面积面积A与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， Ay0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线A=hl/3二次抛物线二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：
3、方法：a）曲杆或）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移；b）当）当EI分段为常数或分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1llqAB例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIP
4、l4853=Pl65llEIyC22210=DA5Pl/6？非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3A1A2y1y2()bcadbdacl+=226dc+323bl+2dc+332al=2yydxMMki+=2211AAMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。S = 9/6（262 +243+63+42） =111（1）32649S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =
5、15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I3cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。已知：板宽已知：板宽1m，厚，混凝土容重，厚，混凝土容重为为25000N/m3，求，求C点的挠度。点的挠
6、度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：解：q625 N/ m折减抗弯刚度折减抗弯刚度 EI=3.6465 104Nm2200378P=1MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2P=111ly1y2y323=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=+=EIqllqllqllqlEI()1332211+=DMyyyEIwwwqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MP122BNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=DD=lhbhMNlhbhlAlIEIql
7、EAql2122=DPNEAqlEAlqlEAlNN求求ABAB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+-2639632(+-+-=DEI618336318263626616kN2kN/m2kN/m 6m3m3mABEI=常数常数9 9 999994kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B5kN12844MPkN.m1kN.mqllEIB1ql2/83ql2/2MPl求求B点竖向位移。点竖向位移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m25351
8、0201kN2kN10101020m求求A点水平位移。点水平位移。P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2求求B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222+lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102+=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y0求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁C截面的转角。截面的转角。q
9、l/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122+-lqlEIC2183212=qEIql100333=2-1 、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。（ ）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC ABP=1/lP=1/llABP=1/lP=1/ll（ ）AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角9-6 9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算静定结构由于温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。）温度改变对静定结构不
10、产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形）微段的变形 dsdat0ds = at/h=0 Dit=MNhttwawa0D=dsMhtdsNtaa0D=DitdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds例例9-11 9-11 求图示刚架求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=11aN+D=DthtNMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t520100oo()
11、-+a5a+-=haa315a-=ah23102a9-7 9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0e=0，k=0k=0，g=0g=0。代入代入得到：得到：仅用于静定结构仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX应用条件：应用条件：1)1)应力与应变成正比
12、应力与应变成正比; ; 2) 2)变形是微小的。变形是微小的。 即即: :线性变形体系。线性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理一、功的互等定理+dsGAQkQEIMMEANN121212=D=FW1221 +=dsGAQkQEIMMEANN212121D=PW2112功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功W12等于状态等于状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功W21。即：。即： W12= W219-7 9-7 互等定理互等定理二、位移互等定理二、
13、位移互等定理P1P2 位移互等定理位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的相应的位移影响系数位移影响系数21 等于由荷载等于由荷载P2所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移影响系数相应的位移影响系数12 。或者说或者说,由单位荷载由单位荷载P1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移相应的位移21等于由单位荷载等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移相应的位移12 。2112jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于称为位移影响系数，等于Pj=1
14、所引起的与所引起的与Pi相应的位移。相应的位移。注意：注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。 2）12与与21不仅数值相等，量纲也相同。不仅数值相等，量纲也相同。三、反力互等定理三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr =cRcR=212121RcR+=221120cRR+221110称为反力影响系数，等于称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与所引起的与ci相应的反力。相应的反力。 反力互等定理：反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移所引起的与位移c2相
15、应的相应的反力影响系数反力影响系数r21 等于由位移等于由位移c2所引起的与位移所引起的与位移c1相应的反力影响系数相应的反力影响系数r12 。或者说或者说,由单位位移由单位位移c1=1所引起的与位移所引起的与位移c2相应的反力相应的反力r21等于由单位位移等于由单位位移c2=1所引起的与位移所引起的与位移c1相应的反力相应的反力r12 。 注意：注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用于超静定结构。）反力互等定理仅用于超静定结构。Pl/2l/23Pl/16CAC例：已知图例：已知图结构的弯矩图结构的弯矩
16、图求同一结构求同一结构由于支座由于支座A的转动的转动引起引起C点的挠度。点的挠度。解：解：W12=W21 T21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16例：图示同一结构的两种状态，例：图示同一结构的两种状态，求求=？P=1m=1m=1AB=A+ BBA已知图已知图a梁支座梁支座C上升引起的上升引起的D，试绘图，试绘图b的的M图图.PRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)Wab=0=Wba=PD+RC CRC=3P/323Pa/32小结小结一、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚设力系二、=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱各项含义虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移 =DPEIydxEIMM0w图乘法求位移的适用条件y0的取法标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理适用条件内容 W12= W212112dd=r12=r21
