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1、一、一、函数连续性的概念函数连续性的概念四、四、函数的间断点函数的间断点第第5 5节节 函数的连续性函数的连续性三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质二、二、初等函数的连续性初等函数的连续性下一页上一页返回一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念引例引例 考察下列考察下列4 4个函数及个函数及 图象：图象：xyo1123yoP(1,a) (a0)2(1)(2)1x下一页上一页返回xyo1yo1x(4)(3)下一页上一页返回数值，说明函数曲线是否断开与点的极限数值，说明函数曲线是否断开与点的极限它们在它们在之外的曲线是连在一之外的曲线是连在一起的，而在起的，而在 处恰恰相反，是断开
2、处恰恰相反，是断开的的. .在求多项式函数的极限时用到在求多项式函数的极限时用到而其他一些函数就不能保证极限值就是函而其他一些函数就不能保证极限值就是函值和函数值有关值和函数值有关. .下一页上一页返回 定定义义 1 1（函函数数值值法法）设设函函数数 y = f (x) 在点在点x0 及其左右近旁有定义，且及其左右近旁有定义，且则则称称函函数数 y = f ( x ) 在在点点 x0 处处连连续续，或或称称 点点x0 为函数为函数 y = f (x) 的的连续点连续点 .1.1.点连续性的定义点连续性的定义下一页上一页返回 若函数若函数y = f (x)的自变量的自变量 x 在点在点x0发发
3、生微小的改变量（或增量）生微小的改变量（或增量），记为记为 x = x - - x0 ，此时相应的函数值由此时相应的函数值由f (x0)变到变到f (x)，记记 y = f (x) - - f (x0)或或 y = f (x0+ + x) - - f (x) ，称为称为函数函数 y = f (x) 在点在点 x0 处的增量处的增量. 函数增量函数增量下一页上一页返回 定定义义 2（增增量量法法）设设函函数数 y = f (x) 在点在点 x0 及其左右近旁有定义及其左右近旁有定义，如果如果则则称称函函数数 y = f (x) 在在点点 x0 处处连连续续. 称称点点x0为函数为函数y = f
4、(x)的的连续点连续点. .下一页上一页返回例例1 1证证由定义由定义1 1知：知：下一页上一页返回注意注意下一页上一页返回2.2.单侧连续性的定义单侧连续性的定义（用引例说明单侧连续性）（用引例说明单侧连续性）定义定义下一页上一页返回由上述定义可知，函数由上述定义可知，函数 y = f (x) 在在 x0 处连续的充要条件可表示为处连续的充要条件可表示为：3.3.点连续的充要条件点连续的充要条件即：即：函数在某点连续的充要条件为函数函数在某点连续的充要条件为函数 在该点处左、右连续在该点处左、右连续下一页上一页返回例例2 2在点在点 的连续性的连续性讨论函数讨论函数解解下一页上一页返回例例3
5、 3解解即函数即函数 f (x) 在点在点 x =0 处右连续处右连续但不左连续但不左连续 , ,下一页上一页返回判断函数在某点是否连续的步骤：判断函数在某点是否连续的步骤： 第一第一 确定函数在所讨论点是否有定确定函数在所讨论点是否有定义，若有则继续，否则为不连续点；义，若有则继续，否则为不连续点； 第二第二 求函数在所讨论点的左极限，若求函数在所讨论点的左极限，若是正常极限则继续，否则为不连续点是正常极限则继续，否则为不连续点； 第三第三 求函数在所讨论点的右极限，求函数在所讨论点的右极限， 若是正常极限则继续，否则为不连续点；若是正常极限则继续，否则为不连续点；下一页上一页返回 第五第五
6、 求函数在所讨论点的函数值，若求函数在所讨论点的函数值，若是与极限值相同则该点为连续点，否则为是与极限值相同则该点为连续点，否则为不连续点不连续点. . 第四第四 判断函数在所讨论点的左极限和判断函数在所讨论点的左极限和右极限是否相等，若是相等则继续，否则右极限是否相等，若是相等则继续，否则为不连续点；为不连续点；下一页上一页返回4. 4. 区间连续性区间连续性如果函数如果函数 内每一点都是连续的，则称函数内每一点都是连续的，则称函数 在开区间在开区间 或者说是或者说是 内的连续函数内的连续函数 在开区间在开区间内连续，内连续，（1）如果函数如果函数 在在闭区间闭区间上上有定义，在开区间有定义
7、，在开区间 内连续，且在内连续，且在 （2）定义定义下一页上一页返回（3）则称函数则称函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，函数函数处分别是处分别是与与区间的两个端点区间的两个端点右连续和左连续，即右连续和左连续，即或者说或者说是闭区间是闭区间 上的连续上的连续下一页上一页返回连续函数的图形是一条连续而不连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线间断的曲线. .注意：注意：例如，例如，由基本初等函数的图形可以断言：由基本初等函数的图形可以断言：（4 4）函数函数 在它定义域内的每一在它定义域内的每一点都连续，则称点都连续，则称 为连续函数为连续函数 下一页上一页返回1.1.简单函数的连续性简单函
8、数的连续性 定定理理 1若若函函数数 f (x) 和和 g (x) 均均在在 x0 处处连连续续，则则 f (x) + + g (x) ， f (x) - - g (x)， f (x) g (x) ， 在在该该点点都都连连续续. 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性下一页上一页返回故由故由极限的运算法则可得极限的运算法则可得因此因此 f (x) g (x) 在在 x0 处处连连续续 .证证仅证明仅证明 f (x) g (x) 的的情形情形 . .因为因为 f (x) ，g (x) 在在 x0 处处连续，所以连续，所以有有下一页上一页返回例如例如, ,注意注意和、差、积的情况可以推广到有和、
9、差、积的情况可以推广到有 限个函数的情形限个函数的情形 简单函数在其定义区间内连续简单函数在其定义区间内连续. .结论结论下一页上一页返回2.2.复合函数的连续性复合函数的连续性 定定理理2 设设函函数数 y = f (u) 在在点点 u0 处处连连续续，函函数数 u = (x) 在在点点 x0 处处连连续续，且且 u0 = (x0) ，则则复复合合函函数数 y = f (x) 在在 点点 x0 处连续处连续，即即下一页上一页返回意义：意义：1 1. .极限号可以与函数关系互换极限号可以与函数关系互换; ;例例解解下一页上一页返回3.3.初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理 3 初等函数在
10、其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续.意义意义代入法求初等函数的极限代入法求初等函数的极限. .即：即：下一页上一页返回例例解解例例解解下一页上一页返回三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 比较函数比较函数y = f (x)在区间在区间a, b上的函上的函数值的大小数值的大小x x1 1x x2 2y = f (x)bayxO1.1.最值性质最值性质下一页上一页返回 f (x x1 1)， f (x x2 2) 分分别别称称为为函函数数 y = f (x) 在区间在区间 a, b 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.定理定理若函数若函数 y = f (x) 在闭区间在闭
11、区间 a, b ( (2) ) 在在 a, b 上至少存在一点上至少存在一点 x x2 2，使得使得( (1) ) 在在 a, b 上至少存在一点上至少存在一点 x x1 1，使得使得对对于于任任何何 x a, b ，恒恒有有 f (x x1 1) f (x)；对于任何对于任何 x a, b ，恒有恒有 f (x x2 2) f (x).上连续，则上连续，则下一页上一页返回（1 1）若区间内有）若区间内有不连续点不连续点, , 定理定理不一定成立不一定成立. .注意注意: :（2 2）若区间是开）若区间是开区间区间, , 定理不一定理不一定成立定成立; ;x x1 1x x2 2y = f (
12、x)bayxO下一页上一页返回 推推论论 若若函函数数y=f(x)在在闭闭区区间间上上连连续续，则它在该区间上有界则它在该区间上有界 .2.2.有界性有界性 闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数 y = f (x) ，最最小小的的上上界界为为最最大大值值，最最大大的的下下界界为为最最小小值值. 下一页上一页返回x x1 1x x2 2y = f (x)bayxOMmx x1 1x x2 2y = f (x)bayxOCx1x2x33.3.介值性质介值性质定理定理 在闭区间上连在闭区间上连续的函数必取得介于最续的函数必取得介于最大值大值M与最小值与最小值 m之之间的任何值间的任何值. . 即即:
13、 :则则在在 上上至至少少存存在在一一点点 ，使得，使得 C是介于是介于M与与m 之间的任一实数之间的任一实数, , 即即下一页上一页返回4.4.零点零点( (方程根方程根) )的存在性的存在性点点x=x0为函数为函数f(x)的的零点零点如果存在如果存在x0，使得，使得f(x0)=0, ,则称则称且且 f (a) f (b) 0， f (1) = - - 2 0，因因此此由由推推论论可可知知，至至少少存存在在一点一点 c (0, 1) ，使使得得 f (c) = 0.这这表表明明所所给给方方程程在在 (0, 1) 内内至至少少有有一一个个实实根根 . . 下一页上一页返回（4 4）结论）结论.
14、 .小结小结确定方程根的存在性的方法：确定方程根的存在性的方法：（1 1）把方程不为零的一端设成函数；）把方程不为零的一端设成函数；（2 2）判定函数在所求闭区间上是否连续；）判定函数在所求闭区间上是否连续；（3 3）判定两个端点的函数值是否异号；）判定两个端点的函数值是否异号；下一页上一页返回四、函数的间断点四、函数的间断点 定定义义 如如果果函函数数 f (x) 在在点点 x0 处处不不连连续续，则则称称点点x0 是是函函数数 y = f (x) 的的间间断断点点. 也称函数在该点也称函数在该点间断间断.1.1.间断点的概念间断点的概念下一页上一页返回由由函函数数的的点点连连续续定定义义可
15、可知知，函函数数f (x)在在点点x0 处处间断间断的条件有：的条件有： 函数函数f (x)在点在点x0 处处间断间断只要满只要满足上述三个条件之一即可足上述三个条件之一即可 注意注意下一页上一页返回2.2.间断点的分类间断点的分类 间断点情形的不同主要在于函数间断点情形的不同主要在于函数f (x)在点在点x0 处的左右极限是否存在处的左右极限是否存在，由此把间由此把间断点分为两类断点分为两类： 左、右极限都存在的间断点为左、右极限都存在的间断点为第一第一类间断点类间断点 . （1 1）第一类间断点）第一类间断点下一页上一页返回例例解解下一页上一页返回例例解解下一页上一页返回（2 2）第二类间
16、断点）第二类间断点 若若 x0 是函数是函数 y = f (x) 的间断点的间断点，且且在该点至少有一个单侧极限不存在在该点至少有一个单侧极限不存在，则则称称 x0 为为 f (x) 的的第二类间断点第二类间断点.注意注意 函数的间断点可以是多个函数的间断点可以是多个.下一页上一页返回例例1010解解下一页上一页返回练习练习1 1解解下一页上一页返回函数连续性的讨论方法函数连续性的讨论方法讨讨论论函函数数f(x)的的连连续续性性时时, ,若若f(x)是是初初等等函函数数, ,则则由由“初初等等函函数数在在其其定定义义区区间间内内连连续续”的的基基本本结结论论, ,只只要要找找出出f(x)没没有有定定义义的的点点, ,这这些些点点就就是是f(x)的的间间断断点点. .若若f(x)是是分分段段函函数数，则则在在段段点点处处往往往往要要从从左左, ,右右极极限限入入手手讨讨论论极极限限, ,函函数数值值等等, ,根根据据函函数数的的点点连连续续性性定定义义去去判判断断; ;在在非非段段点点处处, ,根根据据该该点点所所在在子子区区间间上上函函数数的表达式的表达式, ,按初等函数进行讨论按初等函数进行讨论下一页上一页返回练习练习2 2 讨论函数讨论函数 的连续性的连续性在在x=0 0与与x=2处的连续性处的连续性 练习练习3 3 讨论函数讨论函数下一页上一页返回
