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1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时, 说明流入 的流体质量少于
2、当 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185 10. 求力沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: 方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面
3、积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 练习练习:P185 题题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面原式 =P185 题题4(2) , P185 题题 9 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲面积分其中,解解:思考思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P184 3 (2) , (4) ; 3 (2) 5 ; 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 知识回顾知识回顾Knowledge Knowledge ReviewReview
