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1、总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二节第二节 偏导数及其在经济分析中的应用偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数高阶偏导数偏导数的定义、几何意义及计算方法偏导数的定义、几何意义及计算方法第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用小结小结 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系内容回顾内容回顾 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 2.多元函数极限的概念（求极限）多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质闭
2、区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）1.多元函数的定义（定义域）多元函数的定义（定义域）内容回顾内容回顾化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，无穷小的性质，重要极限，代入法无穷小的性质，重要极限，代入法 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 一元函数变化率概念一元函数变化率概念多元函数的偏导数多元函数的偏导数 是指这个函数对其中一个自变是指这个函数对其中一个自变 量的变化率量的变化率, ,而其它自变量保持不变而其它自变量保持不变. . 第八章第八章 多元函数
3、微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 偏增量偏增量一、偏导数的定义、几何意义及计算法一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变化率对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变而其它自变量保持不变.1.偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 偏导函数定义偏导函数定义 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分
4、学 上页上页 下页下页 返回返回 有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明：1.2. 求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；与一元函数类似与一元函数类似, ,多元分段函多元分段函数在分段点处的导数数在分段点处的导数, ,需用定需用定义求义求, ,这属于基本微分法这属于基本微分法. .解解 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 求解求解3.计算方法同一元函数的导数计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：( (请自己写出请自己写出) )4.偏导数的概念可以推广到二元
5、以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解法一解法一同一元函数的求导方法完全相同同一元函数的求导方法完全相同 解法二解法二 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解解例例2 求函数求函数 的偏导的偏导数数 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 证证偏导数记号是一个偏导数记号是一个说明说明: :不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 ! !此例
6、表明此例表明, ,整体记号整体记号, , 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 2.偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图这是一条平这是一条平面曲线的方面曲线的方程程 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 几何意义几何意义: : 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 二、偏导数存在与连续的关系二、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .
7、一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续，为什么不连续为什么不连续? ? 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 不一定不一定结论结论: :多元函数的偏导数与连续多元函数的偏导数与连续之间没有必然联系之间没有必然联系. .反之，反之，例如，例如，连续连续 偏导数存在偏导数存在. . 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义1 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
8、二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .三、高阶偏导数三、高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数例如例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z = f (x , y)关于关于x 的的n 1阶偏导数阶偏导数, ,再关于再关于y 的一阶的一阶偏导数为偏导数为 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解解 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解解 第八章
9、第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 练习练习 求函数求函数解解注意注意: :前几例均有前几例均有这一结论总成立吗这一结论总成立吗?的二阶偏导数及的二阶偏导数及 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 例如例如, , 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明: :本定理对本定理对n元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立. .函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的, , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方
10、便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序. .因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, , 有有而初等而初等 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 证证利用对称性利用对称性, ,有有例例6 证明函数证明函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解解例例7 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上
11、页上页 下页下页 返回返回 在一元函数微分学中在一元函数微分学中, ,我们引出了边际和弹性的概念我们引出了边际和弹性的概念, ,来分来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率, ,这些概念也可这些概念也可以推广到多元函数微分学中去以推广到多元函数微分学中去, ,并被赋予了丰富的经济含义并被赋予了丰富的经济含义. .四、偏导数在经济分析中的应用四、偏导数在经济分析中的应用实例实例 某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, ,除关心本品除关心本品牌电视机的价格取向外牌电视机的价格取向外, ,更关心其他品牌同类型电视机的价更
12、关心其他品牌同类型电视机的价格情况格情况, ,以决定自己的营销策略以决定自己的营销策略. .即该品牌电视机的销量即该品牌电视机的销量 是是它的价格它的价格 和其他品牌电视机价格和其他品牌电视机价格 的函数的函数. .通过分析其边际通过分析其边际 及及 可知道可知道, , 随着随着 及及 变化而变化而变化的规律变化的规律. .偏边际与偏弹性偏边际与偏弹性 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 1.需求函数的边际分析需求函数的边际分析 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回
13、 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 2.需求函数的偏弹性需求函数的偏弹性 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 交叉偏弹性交叉偏弹性解解: : 例例8 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 解：解：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性： 当交叉弹性大于零时，两商品互为
14、替代品；当交当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品零时，两商品为相互独立的商品. . 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 例例10解解： 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 例例10 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上页上页 下页下页 返回返回 1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义（
15、偏增量比的极限）；记号；几何意义定义（偏增量比的极限）；记号；几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义小结小结3. 高阶偏导数的定义与求法高阶偏导数的定义与求法（逐次求导法）（逐次求导法）4. 偏边际，偏弹性偏边际，偏弹性总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 作作 业业P311 T1(偶数偶数)，T2，T4(2), T5, T6预习：预习： 第三节第三节第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学
