《材料力学第9章应力状态分析ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学第9章应力状态分析ppt课件（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析第九章第九章 应力状态分析应力状态分析材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析本章主要内容本章主要内容应力状态的概念应力状态的概念二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法三向应力状态简介三向应力状态简介广义胡克定律广义胡克定律复杂应力状态下的应变比能复杂应力状态下的应变比能材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析只存在只存在t t：自由自由扭转、梁截面中性轴处扭转、梁截面中性轴处zyNFF一、为什么要研究一点的应力状态一、为什么要研究一点的应力状态一、
2、为什么要研究一点的应力状态一、为什么要研究一点的应力状态9-1 应力状态的概念1 1、s sa a和和t ta a是是a a的函数，需要研究一的函数，需要研究一点处不点处不 同方位上的应力情况，同方位上的应力情况，找到找到s smaxmax和和t tmaxmax2 2 2 2、全面进行强度计算的需要全面进行强度计算的需要全面进行强度计算的需要全面进行强度计算的需要 一点处的应力状态：一点处的应力状态：一点处的应力状态：一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。受力构件内一点处不同方位上应力的集合。受力构件内一点处不同方位上应力的集合。受力构件内一点处不同方位上应力的集合。只存在只
3、存在s s：轴轴向拉压、梁截面上下边缘向拉压、梁截面上下边缘 同时存在同时存在s s和和t t：梁截面其它各点：梁截面其它各点如何进行强度计算，强度条件如何建立？如何进行强度计算，强度条件如何建立？FFNFFaaa材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析二、研究一点应力状态的方法二、研究一点应力状态的方法二、研究一点应力状态的方法二、研究一点应力状态的方法单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。两个平行面上的应力大小相等。两个平行面上的应力大小相等。两个平
4、行面上的应力大小相等。（一个面的两侧）（一个面的两侧）（一个面的两侧）（一个面的两侧）9-1 应力状态的概念单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）单元体的特点：单元体的特点：单元体的特点：单元体的特点：只要知道单元体三对相互平行面上的应力，只要知
5、道单元体三对相互平行面上的应力，只要知道单元体三对相互平行面上的应力，只要知道单元体三对相互平行面上的应力，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，因此可用单元体三个互相垂直平面上的应因此可用单元体三个互相垂直平面上的应因此可用单元体三个互相垂直平面上的应因此可用单元体三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。力来表示一点的应力状态。力来表示一点的应力状态。力来表示一点的应力状态。FFA材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析三、三、三、三、主平面、主应力与主单元
6、体主平面、主应力与主单元体主平面、主应力与主单元体主平面、主应力与主单元体主单元体：主单元体：主单元体：主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。 主平面：主平面：主平面：主平面：切应力为零的截面（t =0）。主应力：主应力：主应力：主应力：主平面上的正应力。可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中，一定存在三对相互垂直的截面，这些截面上的切应力t =0，只有正应力s s。三个主应力记为：例：已知三个主应力数值为：例：已知三个主应力数值为：例：已知三个主应力数值为：例：已知三个主应力数值为：材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析四、应力状态分类四、应力状态分类四、应力状
7、态分类四、应力状态分类1 1、单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态三个主应力只有一个不等于三个主应力只有一个不等于三个主应力只有一个不等于三个主应力只有一个不等于0 0 0 02 2、二、二、二、二向应力状态向应力状态向应力状态向应力状态3 3、三、三、三、三向应力状态向应力状态向应力状态向应力状态三个主应力有两个不等于三个主应力有两个不等于三个主应力有两个不等于三个主应力有两个不等于0 0 0 0三个主应力全不等于三个主应力全不等于三个主应力全不等于三个主应力全不等于0 0 0 0简单简单简单简单应力状态应力状态应力状态应力状态复杂复杂复杂复杂应力状态应力状态应力状态应力状态单向
8、应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态二向应力状态二向应力状态二向应力状态二向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-2 平面应力状态分析1、正负号规定：一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力：拉为正压为负，：拉为正压为负，：绕单：绕单元体内部一点顺时针转为正，元体内部一点顺时针转为正，逆时针为负。逆时针为负。逆时针为正，逆时针为正，顺时针为负。顺时针为负。截面法截面法截面法截面法2
9、2、解：、解：、解：、解：应力平衡（应力平衡（应力平衡（应力平衡（ ）力平衡（力平衡（力平衡（力平衡（ ）各面上的力各面上的力各面上的力各面上的力efnfebntyyxxaaaantxy材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-2 平面应力状态分析一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力解：解：解：解：aaaantxyefnfebntyyxx材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析数学整理数学整理数学整理数学整理关系式关系式关系式关系式材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3 3 3、讨论：、讨论：、讨论：
10、、讨论：结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力符合切应力互等定理。符合切应力互等定理。符合切应力互等定理。符合切应力互等定理。febntyyxx材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态（弹性力学）（弹性力学）（弹性力学）（弹性力学）应力张量的第一、第二和第三不变量。应力张量的第一、第二和第三不变量。应力张量的第一、第二和第三不变量。应力张量的第一、第二和第
11、三不变量。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析二、应力圆二、应力圆二、应力圆二、应力圆圆的方程圆的方程圆的方程圆的方程德国德国德国德国18951895年提出年提出年提出年提出febntyyxx材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析1 1、应力圆的绘制、应力圆的绘制: : 确定点确定点D1 1( (s sx, ,t tx) ): : 确定点确定点D2 2( (s sy, ,t ty) ) t tx= -t ty: : 连接连接D1 1D2 2与与s s 轴交于轴交于C点点: : 以以C为圆心，为圆心，CD1 1（ CD2 2 ）为半径画圆。）为半径画圆。试作
12、图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆: : 建立建立-坐标系坐标系otC二、应力圆二、应力圆二、应力圆二、应力圆材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析证明：证明：otC1 1、应力圆的绘制、应力圆的绘制试作图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆二、应力圆二、应力圆二、应力圆二、应力圆材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析otC2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力2 2、以、以CD1为起始半径，按为起始半径，按的旋转的旋转方向旋转方向旋转2 2，得到，得到E点。点。efn1 1、作单元
13、体的应力圆、作单元体的应力圆E点的坐标即为：点的坐标即为：只需证明：只需证明：EF材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析otC2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力证明证明式中：式中：式中：式中：efnFE试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力作应力圆应注意的几点：作应力圆应注意的几点：、正负号，与应力圆上点的正负号，与应力圆上点的象限关系。象限关系。点面对应关系：应力圆上一点点面对应关系：应力圆上一点对应于单元体中某一截面；对应于单元体
14、中某一截面；单元体上单元体上A、B面夹角面夹角，应力圆上弧长应力圆上弧长AB的圆心角的圆心角为为2 角角, ,且转向一致。且转向一致。efnBAaoC起始半径选择：需视起始半径选择：需视角从哪角从哪一个轴开始度量；一个轴开始度量；与与2 2对应：单元体上斜截对应：单元体上斜截面方位角面方位角，对应于应力圆上为，对应于应力圆上为2 角，自起始半径旋转，且与角，自起始半径旋转，且与转向一致；转向一致；AB试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力otCE材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析otCE3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注
15、意注意A1 1、A2 2点点数值数值数值数值efn方位方位方位方位A1点如何得到？点如何得到？以以CD1点为起始半径，点为起始半径，顺时针顺时针旋转旋转20至至CA1即可。即可。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注意注意A1 1、A2 2点点数值数值数值数值efn方位方位方位方位A1点如何得到？点如何得到？以以CD1 1点为起始半径点为起始半径，顺时针顺时针旋转旋转20至至CA1即可。即可。将负号放在分子上，以此确定的将负号放在分子上，以此确定的20的象限，的象限，0为为1与与x之间的夹角。之间的夹角。
16、otCE材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析otCE3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注意注意A1 1、A2 2点点数值数值数值数值efn方位方位方位方位主点法主点法主点法主点法作作D1K轴轴，交圆与交圆与K点点，则则A2K方方向即为向即为 1方向。方向。 K点称为主点点称为主点。主单元体主单元体主单元体主单元体K材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体解析法解析法方位方位方位方位主单元体主单元体主单元体主单元体数值数值数值数值efn如何直观判断如何直观判断1的方位
17、？的方位？材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体主单元体主单元体主单元体主单元体efn主应力方位所在的象限主应力方位所在的象限主应力方位所在的象限主应力方位所在的象限与正应力无关。与正应力无关。与正应力无关。与正应力无关。方法很多方法很多方法很多方法很多如何证明？如何证明？如何证明？如何证明？如何直观判断如何直观判断1的方位？的方位？材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体efn一种证明方法一种证明方法1 1的方位均在的方位均在2 2、4 4象限
18、内象限内材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析4 4、切应力极值、切应力极值极值极值极值极值方位方位方位方位最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力efnotCE材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法解解: :1 1 1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力50MPa20MPa45x材料力学材料力学第第9 9章
19、章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法解解: : 重新排序重新排序1 1 1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力2 2 2 2、主应力、主应力、主应力、主应力50MPa20MPa45x材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主
20、应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法解解: :1 1 1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力2 2 2 2、主应力、主应力、主应力、主应力3 3 3 3、方位、方位、方位、方位4 4 4 4、主单元体、主单元体、主单元体、主单元体50MPa20MPa45x材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的
21、切应力、并作出主单元体。解析法解析法解解: :1 1 1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力、斜截面上的应力2 2 2 2、主应力、主应力、主应力、主应力3 3 3 3、方位、方位、方位、方位4 4 4 4、主单元体、主单元体、主单元体、主单元体50MPa20MPa45x5 5 5 5、讨论、讨论、讨论、讨论材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解
22、析法50MPa20MPa45x图解法图解法E: : : : 作应力圆作应力圆作应力圆作应力圆 : : : : 利用应力圆求：利用应力圆求：利用应力圆求：利用应力圆求：: : : : 选择比例尺，建立选择比例尺，建立选择比例尺，建立选择比例尺，建立- - - -坐标系坐标系坐标系坐标系量得：量得：: : : : 作主单元体作主单元体作主单元体作主单元体材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题2几种典型的单元体、应力圆几种典型的单元体、应力圆纯切应力状态纯切应力状态纯切应力状态纯切应力状态单向单向单向单向二向二向二向二向材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例
23、题3 试作图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-3 梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析一、梁截面内特征点的应力状态分析1 1、a点：单向应力状态点：单向应力状态2 2、e点：单向应力状态点：单向应力状态3 3、c点：纯切应力状态点：纯切应力状态ql材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-3 梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析一、梁截面内特征点的应力状态分析二向应力状态二向应力状态ql4 4、b、d两点：两点： 材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析q二、梁
24、的主应力迹线二、梁的主应力迹线主应力迹线主应力迹线主应力迹线主应力迹线主拉应力迹线主拉应力迹线主拉应力迹线主拉应力迹线主压应力迹线主压应力迹线主压应力迹线主压应力迹线9-3 梁的主应力、主应力迹线 根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的主拉应力方向；线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的主拉应力方向；线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的主拉应力方向；线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的
25、主拉应力方向；ql 在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。 由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。组曲线相互正交。上述曲线族称为梁
26、的主应力迹线。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析三、主应力迹线绘制及特点三、主应力迹线绘制及特点9-3 梁的主应力、主应力迹线1 1 1 1、绘制、绘制、绘制、绘制将梁划分成若干网格，计算节点的将梁划分成若干网格，计算节点的将梁划分成若干网格，计算节点的将梁划分成若干网格，计算节点的主应力方向。主应力方向。主应力方向。主应力方向。根据各点主应力方向，按主应力迹根据各点主应力方向，按主应力迹根据各点主应力方向，按主应力迹根据各点主应力方向，按主应力迹线的特点勾绘出主应力迹线。线的特点勾绘出主应力迹线。线的特点勾绘出主应力迹线。线的特点勾绘出主应力迹线。2 2 2 2、特点、
27、特点、特点、特点 主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交；主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交；主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交；主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交； 主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成45454545 在弯矩最大，剪力为在弯矩最大，剪力为在弯矩最大，剪力为在弯矩最大，剪力为0 0 0 0的截面上，主应力切线方向与轴线平行的截面上，主应力切线方向与轴线平行的截面上，主应力切线方向与轴线平行的截面上，主应力切线方向与轴线平行 在梁的上下边缘处与梁轴线平
28、行或正交。在梁的上下边缘处与梁轴线平行或正交。在梁的上下边缘处与梁轴线平行或正交。在梁的上下边缘处与梁轴线平行或正交。3 3 3 3、工程应用、工程应用、工程应用、工程应用在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按1111的迹线的迹线的迹线的迹线方向配置。方向配置。方向配置。方向配置。q弯起钢筋弯起钢筋弯起钢筋弯起钢筋材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、三类特殊平面上的应力一、三类特殊平面上的应力 三向应力状态是最一般的应力状态，在弹性三
29、向应力状态是最一般的应力状态，在弹性力学中详细分析，（解析法，图解法），本力学中详细分析，（解析法，图解法），本节只介绍应用应力圆求其最大的应力。节只介绍应用应力圆求其最大的应力。 1 1、平行于、平行于3斜面上的应力斜面上的应力9-4 三向应力状态的最大应力 前后两个面上前后两个面上( (3作用面）是一作用面）是一对相互平衡的力，对相互平衡的力，该斜截面上的该斜截面上的应力应力（ ，）与与3无关，只由无关，只由1和和2确定。确定。2 2、平行于、平行于2斜面上的应力斜面上的应力3 3、平行于、平行于1斜面上的应力斜面上的应力材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、三类特殊
30、平面上的应力一、三类特殊平面上的应力 9-4 三向应力状态的最大应力1 1、平行于、平行于3斜面上的应力斜面上的应力2 2、平行于、平行于2斜面上的应力斜面上的应力3 3、平行于、平行于1斜面上的应力斜面上的应力二、其他任意斜截面上的应力二、其他任意斜截面上的应力 研究表明研究表明: : 对于与三个主应力均不平对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在行的任意斜面上的应力，它们在 - 坐标平面内对应的点必位于由上述三坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。个应力圆所构成的绿色区域内。三、最大的应力三、最大的应力 材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分
31、析一、广义胡克定律一、广义胡克定律单向应力状态胡克定律单向应力状态胡克定律: : 横向应变横向应变: :剪切胡克定律剪切胡克定律: :9-5 广义胡克定律、体积应变图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向均产生线应变。均产生线应变。主应变主应变: :主应力方向的线应变主应力方向的线应变1 1、1方向的主应变方向的主应变( (分别求每个主应力引起的线应变，再叠加分别求每个主应力引起的线应变，再叠加) )+ + +a a）主应力单元体主应力单元体材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9
32、-5 广义胡克定律、体积应变2、 2 、 3方向的主应变方向的主应变同理可得同理可得同理可得同理可得a a）主应力单元体主应力单元体+ + +1 1、1方向的主应变方向的主应变材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变a a）主应力单元体主应力单元体b b）一般单元体一般单元体可以证明，在线弹性，小变形条件下，各可以证明，在线弹性，小变形条件下，各向同性材料正应力只引起线应变，切应力向同性材料正应力只引起线应变，切应力只引起同一平面内的切应变。只引起同一平面内的切应变。线应变只和正应力有关，与切应力无关；线应变只和正应
33、力有关，与切应力无关；切应变只和切应力有关，与正应力无关。切应变只和切应力有关，与正应力无关。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之间的物理关系，称为广义胡克定律间的物理关系，称为广义胡克定律应力分量应力分量应变分量应变分量三个弹性常数间关系三个弹性常数间关系a a）主应力单元体主应力单元体b b）一般单元体一般单元体材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题4解：解：材料力学材料力学第第9 9章章
34、 应力状态分析应力状态分析例题5解：解：铝块内取一单元体分析铝块内取一单元体分析: :平衡条件可求吗？平衡条件可求吗？因铝块较软，可视槽型钢块不变形。因铝块较软，可视槽型钢块不变形。若采用主应力记号，则：若采用主应力记号，则：F1010材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变二、体积应变二、体积应变体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。解：解：材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析讨论讨论9-5 广义胡克定律、体积应变该式表明任一点的体积应变与该点处
35、三个主应力之和成正比。该式表明任一点的体积应变与该点处三个主应力之和成正比。例例: :平面纯切应力状态有：平面纯切应力状态有：故其体积不发生变化。故其体积不发生变化。在小变形条件下，切应在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料力不引起各向同性材料的体积改变。的体积改变。一般空间应力状态：一般空间应力状态：体积应力：体积应力：体积模量体积模量: :纯切应力状态纯切应力状态纯切应力状态纯切应力状态一、广义胡克定律一、广义胡克定律二、体积应变二、体积应变材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度 弹性体在外力作用下，将产生变形，弹性体在外力作用下，将产
36、生变形， 外力外力对弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的对弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的损失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在损失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在弹性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形弹性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形能全部转化为其他形式的能量。能全部转化为其他形式的能量。弹性变形能：弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。又称为应变能。 在数值上等于外力所作的功。在数值上等于外力所作的功。 一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度
37、弹性变形能：弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。又称为应变能。 在数值上等于外力所作的功。在数值上等于外力所作的功。 一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。单位体积内的应变能，又称比能。杆内所有点应力状态相同杆内所有点应力状态相同单向应力状态单向应力状态应变能密度可视为应变能密度可视为在其相应的在其相应的所作的功。所作的功。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。
38、单位体积内的应变能，又称比能。单向应力状态单向应力状态二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度根据叠加原理有：根据叠加原理有：代入广义胡克定律，化简可得代入广义胡克定律，化简可得1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度应变能密度可视为应变能密度可视为在其相应的在其相应的所作的功。所作的功。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度、体积改变应变能密度、形状改变应变
39、能密度一般情况下，单元体产生的变形包含一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变体积改变和和形状改变形状改变。单元体（单元体（b b）均匀受拉，不发生形状改变，只是体积变化。）均匀受拉，不发生形状改变，只是体积变化。单元体（单元体（c c）三个主应力之和为零，不发生体积改变，）三个主应力之和为零，不发生体积改变，只是形状变化。只是形状变化。平均应力平均应力材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密
40、度、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度一般情况下，单元体产生的变形包含一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变体积改变和和形状改变形状改变。平均应力平均应力体积改变应变能密度体积改变应变能密度材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度体积改变应变能密度体积改变应变能密度注意：此公式注意：此公式只能用主应力只能用主应力参与计算参与计算形状改变应变能密度形状改变应变能密度材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析
