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1、第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第第5课时二课时二 次次 函函 数数1理解并掌握二次函数的定义、图像及性质2会求二次函数在闭区间上的最值3能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题请注意从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用1二次函数的解析式的三种形式(3)顶点式：ya(xk)2h；对称轴方程是；顶点为2二次函数的单调性xk(k，h)3二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)ax2bxc(a0)的图
2、像与x轴交点的横坐标是方程的实根ax2bxc04设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值的分布情况另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数(3)二次函数yx2mx1在1，)上单调递增的充要条件是m2.(4)若二次函数f(x)满足f(2x)f(x)，则该二次函数在x1处取得最小值答案(1)(2)(3)(4)2已知某二次函数的图像与函数y2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的
3、解析式为()Ay2(x1)23By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23答案D解析设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23.3已知二次函数f(x)图像的对称轴是xx0，它在区间a，b上的值域为f(b)，f(a)，则()Ax0b Bx0aCx0(a，b) Dx0(a，b)答案D解析若x0(a，b)，f(x0)一定为最大值或最小值4已知二次函数yf(x)满足f(0)f(2)，若x1，x2是方程f(x)0的两个实根，则x1x2_.答案2解析f(0)f(2)，函数f(x)的图像关于x1对称x1x2212.5二次函数yax2bxc(a0)
4、的图像如图所示，确定下列各式的正负：b_0，ac_0，abc_0.答案例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式【思路】会利用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数解析式的三种形式题型一题型一 二次函数的解析式二次函数的解析式方法三：利用两根式由已知，f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8.a0(舍)或a4.f(x)4x24x7.【答案】f(x)4x24x7探究1根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 思考题思考题1例2求下列
5、函数的值域：(1)yx24x2，xR；(2)yx24x2，x5,0；(3)yx24x2，x6，3；(4)yx24x2，x0,2【思路】这些函数都是二次函数且解析式都相同，但是各自函数的定义域都是不同的，应该通过“配方”借助于函数的图像而求其值域题型二题型二 二次函数的值域与最值二次函数的值域与最值【解析】(1)配方，得y(x2)26，由于xR，故当x2时，ymin6，无最大值所以值域是6，)(图)(2)配方，得y(x2)26.因为x5,0，所以当x2时，ymin6.当x5时，ymax3.故函数的值域是6,3(图)(3)配方，得y(x2)26.因为x6，3，所以当x3时，ymin5.当x6时，y
6、max10.故函数的值域是5,10(图)(4)配方，得y(x2)26.因为x0,2，所以当x0时，ymin2.当x2时，ymax10.故函数的值域是2,10(图)【答案】(1)6，)(2)6,3(3)5,10(4)2,10【讲评】上述四个题目相同但所给的区间不同，最后得到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子探究2配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法求下列函数的值域：【答案】(1)0，(2)0,2思考题思考题
7、2例3已知函数f(x)x22ax1a在0x1时有最大值2，求实数a的值【思路】因为x有限制条件，要求函数最值，需作出函数图像，作图像先看开口方向，再看对称轴位置，因为此函数的对称轴是xa位置不定，并且在不同位置产生的结果也不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论【解析】当对称轴xa0时，如图1所示，当x0时，y有最大值ymaxf(0)1a，所以1a2，即a1，且满足a1时，如图3所示当x1时，y有最大值ymaxf(1)2aa2.a2，且满足a1，a2.综上可知：a的值为1或2.【答案】1或2探究3(1)求二次函数f(x)在某区间m，n上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间m，n的位置关系，以便
8、确定函数在该区间的单调性本题中的对称轴为xa，与区间0,1的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论已知f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围【思路】f(x)0恒成立，等价于f(x)的最小值0，即转化为求f(x)在2,2上的最小值思考题思考题3【答案】7a2例4已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)
9、0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求实数k的取值范围题型三题型三 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【答案】(1)f(x)x22x1，单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)(，1)探究4由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法 ， 转 化 为 求 函 数 最 值 问 题 ， 其 依 据 是 af(x)恒 成 立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.设二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件：f(x)f(2x)；函数f(x)的图像与直线yx相切(1)求f(x)的解析式； 思考题思考题41求二次函数的
10、解析式常用待定系数法(如例1)2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，可分成三个类型(1)顶点固定，区间也固定(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数1“a1”是“函数f(x)x22ax1在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)x22ax1在区间1，)上为增函数，则有对称轴xa1，故“a1”是“函数f(x)x22ax1在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件2已知m2，点(m1，y1)，(m，y2)，(m1，y3)都在二次函数yx22x的图像上，则()Ay1y2y3 By3y2y1Cy1y3y2 Dy2y1y3答案A3设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()答案D4如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2)答案D5若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小于1，则实数m的取值范围是_
