第四章应力与应变关系

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1、地球物理场论地球物理场论 I I海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系宋 鹏第四章 应力与应变关系4.1 广义虎克定律4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度 在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6个方程才能求解弹性动力学问题。应力与应变关系应力与应变关系平衡运动微分方程几何方程 要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关系，这种关系通常被称为物理方程或本

2、构方程。即还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定律。应力与应变关系广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲线不同。图41给出低碳钢应力应变曲线。从图中可看出，该曲线大致可分为四个阶段：图41 某材料应力与应变关系曲线广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线( (一一) )弹性阶段弹性阶段OBOB段段 在此段内，撤去外力时 ，将沿OB线恢复回原点O，即变形完全消失。通常为 称为弹性极限。而

3、OA段为直线，说明当 时， 成线性关系 即 (4-1)广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 则称为比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。A点与B点非常接近，工程上弹性极限 和比例极限 并不严格区分。这种情况下，横向应变 与轴向应变 绝对值之比一般是常数，即称为横向变形系数或泊松比。（4-2）广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线( (二二) )屈服阶段屈服阶段BCBC段段 当 后，出现应变增加很快，而应力在很小范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的现象称屈服或流动，屈

4、服阶段的最低应力 称屈服极限。 ( (三三) )强化阶段强化阶段CDCD段段 过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化，强化阶段中的最高点D所对应的 称为强度极限。 广义虎克定律广义虎克定律-应力应变曲线应力应变曲线( (四四) )局部变形阶段局部变形阶段DGDG段段 过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。 在纯剪应力作用时， 与 也成正比， ，比例系数G称剪切弹性模量广义虎克定律广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示

5、。它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形式表示为：（4-3a）广义虎克定律广义虎克定律 在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如对 ，可得：广义虎克定律广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分量等于零时的值，而 实际上代表初应力，由于无初应力假设 等于零。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系式简化为： （4-3b）广义虎克定律广义虎克定律 上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上式一致。 上式

6、作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广，因此称为广义虎克定律。式中系数 是物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成矩阵形式广义虎克定律广义虎克定律(4-4) 可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常数独立。各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常数。（一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。（一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。图

7、42 应变主轴各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 如图42所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主轴，对应的剪应变 。现取 轴分别为1，2，3轴，则由广义虎克定律第4式得：（a） 式中 , 和 为该点主应变(对应1，2，3轴)。将此坐标系绕2轴转180，得新的坐标轴1，2，3，以 , 和 分别表示1，2，3轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应该不随方向面改变，故取 分别为1，2和3轴，同样由式（4-3）第4式得： 式中， 和 为

8、该点主应变(对应1，2，3轴)，而由转轴应力分量变换公式得：（b）各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律又由转轴应变分量变换公式(3-12)得(d) (c)，(d)代入(b)则有(e)（a）与(e)比较，可知各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 欲使上式成立，只有 。同理可证 。这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴重合。 ( (二二) )再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数 设所取的坐标轴为应力和应变主轴，则(f)各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 式中

9、表示 表示在 轴方向单位主应变引起 轴方向的主应力大小。对于各向同性体， 对 的影响应与 对 的影响， 对 的影响相同，故： (g) 由于各向同性，2和3对 的影响相同，2和3 对 的影响应与 和 对 的影响， 和2对 的影响相同，这样 (h)各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 由(g)和(h)可知，对应力和应变主轴而言，只有两个弹性常数是独立的分别用a和b表示，则由(f)知 (i)令 ， 且 则（i）变为 (j) 常数 和 称为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅常数。 各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律( (三三) )最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系最后

10、通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应力与应变关系应力与应变关系(k) 在各向同性弹性体中，设 为任意正交坐标系，它的三个轴与坐标系 应力主轴的方向余弦分别为 、 和 ，因为1，2，3轴是主轴，主轴方向的剪应变和剪应力等于零。根据转轴时应力分量变换公式得各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律又由转轴时应变分量变换公式得(l) 将(j)代入(k)中有(m) 各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律 比较式(l)和(m)并注意到 得 式中 是一不变量， 。同理可得其它应力分量与应变分量关系，综合为： (4-5n)各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律上式即为各向同性弹

11、性体的虎克定律。写成矩阵形式为：（4-6）各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律（4-7）将式中前三式相加得 其中 为第一应变不变量，式称为体积应变的虎克定律 利用式(4-6)，可以写出用应力表示应变的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律各向同性体的广义虎克定律（4-8）各向异性介质中的广义虎克定律各向异性介质中的广义虎克定律 均匀各向同性完全弹性的假设是对实际介质的近似。当使用精细观测手段研究较为复杂问题时，要考虑介质的不均性，以及介质的各向异性和介质的非完全弹性。若介质的弹性性质依方向而变化，称为各向异性。 对于各向异性介质的模型，在方程中，弹性常数 ,而其它常数不同，这样总共有

12、21个弹性常数， 对 的影响和 对 影响一样。这样可以导出复杂的数学关系。实际应用中经常使用简化模型，如横向均匀且各向同性介质(TI)(transverse isotropy)。 这种介质弹性性质在一个平面上是相同的的，它沿着平面的法线方向变化，如沉积岩(层理)，沿层理方向是均匀的，弹性性质在垂直于层理方向变化。各向异性介质中的广义虎克定律各向异性介质中的广义虎克定律这种简化的弹性介质层状介质模型有5个独立的弹性常数， ， 和 为 平面上和垂直于该平面方向的拉梅系数， 而 表示垂直平面上切应力和切应变的关系，广义虎克定律为：（4-9）各向异性介质中的广义虎克定律各向异性介质中的广义虎克定律写成

13、矩阵形式（4-10）各向异性介质中的广义虎克定律各向异性介质中的广义虎克定律即（4-11）各向异性介质中的广义虎克定律各向异性介质中的广义虎克定律在地震勘探中一般用Thomsen参数描述各向异性（4-12） Thomsen参数的优点是其大小恰恰反映了各向异性的强弱。工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式 在工程上，通过简单拉伸和纯剪切试验可以测定杨氏弹性模量E，泊松比和剪切模量G等弹性常数，所以用工程弹性常数来表达广义虎克定律更有实际意义。 首先考虑简单拉伸。如沿 轴方向，应力分量除 外，其它为零，在弹性极限内， 与沿 轴方向正应变成正比，其比例系数就是杨氏模量，横向正应变 ，

14、与 之比的绝对值就是泊松比 ，而且 方向拉伸， 和 方向必然收缩，故工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式即（4-13a） 将(4-13a)式代入均匀各向同性体广义虎克定律式，前三个式子相加，得:广义胡克定律工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式即(4-13b) 再把(4-13b)式代回到第一式中，得(4-13c) (4-13a)和(4-13c)比较得：(4-13d)工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式再由式(4-5n)第二式， ，得 (4-13e) (4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得(4-13f) (4-13a)和(4-1

15、3e)比较得：(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用杨氏模量 和泊松比 表示拉梅常数 和工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式根据试验（4-15）所以 。工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式 再考虑纯剪切情况。如设在 面内，应力分量除 外，其余应力分量均为零，又 ， 为剪切弹性模量，即： (f) (f)与(4-5n)后三式比较，得 （4-16）工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式将(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:（4-17）工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式 与(4-8)式对应。前三个式相加得到

16、用 E和表示的体积应变虎克定律： （4-18）式中 ，若物体受到均匀压缩，则则， （4-19）工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式式（4-19）反映了体积应变与压强p的关系，令 则其中K称为膨胀系数。工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式 在均匀各向同性介质中，经常使用拉梅弹性常数 及其杨氏弹性模量 ，泊松比 剪切模量 和围压膨胀模量 ，它们对弹性力学研究十分重要，特别是对地震波传播，直接反映介质的弹性性质或弹性波传播速度。它们六个可分为三组，两者间可以转换，其转换关系总结如下： 工程弹性常数及相互间关系式工程弹性常数及相互间关系式，制E，制K，G制(E)/(1+

17、)(1-2)K-(2/3)GE/2(1+)G(3+2)/(+)E(6GK)/K+(4/3)G/2(+)K-(2/3)G/2K+(4/3)G+(2/3)(1/3)E/2(1+)K简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 弹性体在外力作用下，发生变形，微元体要发生位移，这时外力对物体做了功，这个功以应变能的形式贮存在物体内。这种弹性体因变形而储存的能量称为弹性变形位能，简称变形能，又称应变位能或应变能。在物体弹性范围内，当卸去外力时，这个弹性应变能又完全释放出来，使物体恢复原来形状。简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力状态下弹性应变能和应变能

18、密度计算 设有一拉杆上端固定，下端挂一小盘，与盘同高的水平面上放有许多重块，每块重量为F，如图43(a)所示，在应力小于比例极限范围内加入载荷的重量与拉杆伸长成正比，是一条倾斜直线，如图43 (b)所示。简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算（a） (b)图43 载荷与杆件拉伸的关系简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算逐渐增加重块时，每增加一重块，拉杆就伸长 。这时。载荷下沉而做功，但损失位能，而杆件则获得变形能。载荷损失的位能在数量上等于它所做的功A(载荷缓慢增加，动能无明显变化，故可忽略不计)。根据能量守

19、恒定律，载荷损失的位能等于拉杆所获得的变形能。即应变能 ，当 时， ，由 ，在整个加力过程中，F从 ， 从 ，载荷做功0A。于是，简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算再利用应力、应变定义及虎克定律：式中E为弹性模量，S为横截面积， 为拉杆原长度，于是根据虎克定律，当载荷为 时， 简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算故也就是应变能为 由于拉杆整个体积内有各点的应力状态均相同，故当载荷 为时，原体积内每单位体积的变形能都等于 称为应变能密度应变能密度。（4-20）简单应力状态下弹性应变能和应变能密度计算简单应力

20、状态下弹性应变能和应变能密度计算 在纯剪应力情况下，通过薄壁面扭转试验可知，当剪应力不超过比例极限时，扭转角 与外力偶矩 成正比，同理可得剪切应变能 ，剪切应变能密度 其中空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度 在空间应力状态下，变形能数值上仍等于外力所作的功，它也决定于作用力的最终数值，而与加力先后顺序无关。用主应力和主应变表示空间应力状态下的应变能密度为(4-21a)将广义虎克定律代入(4-21a)式，用应力表示应变能密度为(4-21b)空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度 若正立方体形状单元体上的三个主应力不相等，相应的主应变也不相等

21、，单元体三个棱边的变形不同。单元体的变形表现为体积的增加或减小，形状的改变(正方体变为长方体)。因此可以认为应变能密度由两部分组成：(1)因体积变化而储存的应变能密度称体积改变应变能密度 ；(2)因形状改变而储存的应变能密度称形状改变应变能密度 ，于是 (4-22a) 空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度若单元体上以主应力的平均值 代替主应力，而单位体积的改变 与 ， ， 作用时仍相等。但以 代替主应力后，由于三个棱边的变形相同，所以只有体积变化而形状不变，所以(4-22b)空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度由广义虎克定律(4-17)式

22、得：代入(4-22b)式中得(4-22c) 根据（4-21b）和(4-22a)式得：(4-22d) 空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度若不是用主应力表示应变能量，一般情况为(4-22e) 证明：由空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度 根据(2-11)式中第，第，第应力不变量定义和关系：而：于是：空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度进一步 根据广义虎克定律(4-17)式，可得:证毕。空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度同理可得出以应变表示的应变能密度。(4-23) 进一步，应力与应变

23、分量可用应变能密度的偏导数表示空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度(4-24) 空间应力状态下应变能和应变能密度空间应力状态下应变能和应变能密度 最后给出弹性动力学问题解的唯一性定理：假如弹性体受已知体力作用，在物体表面处面力已知，或位移已知，或一部分上面力已知，而另一部分上位移已知；此外，初始条件已知，则弹性体在运动时，体内各点的应力分量，应变分量与位移分量均是唯一的。 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度 前节仅讨论应变能（变形位能），即处于平衡状态情形。当物体既运动又变形时，其内部通常既有动能又有应变能。单位体积内所含的动能称为动能密度，记作 ，单位体积所

24、含的应变能称为应变能密度，记作 ，单位体积内所含总能量(指动能和应变能即机械能，内能不考虑热能。注：内能包括势能和热能)， (4-25) 式中 为材料的密度。 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度利用广义虎克定律(4-5n)式，将 考虑物体处于运动状态时，即波传播时，应力和应变还应是时间的函数。为讨论弹性介质机械能的变化规律，先研究 对时间的变化率。中的应力分量用应变分量表示（即(4-23)式）：能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度(4-26) 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度 再研究动能密度 对时间 的变化率，并利用运动微分方程(2-19)式，得 (4-27) 能量密度与能通

25、量密度能量密度与能通量密度显然， 将(4-26)和(4-27)代入，合并同类项，利用 和 互易性得到 (4-28) 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度定义一个矢量场(4-29) 称为能通量密度矢量场能通量密度矢量场。则能量密度对时间的变化率能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度即能量密度对时间的变化率等于能流密度矢量的散度，表示 单位时间单位时间内通过与 方向垂直的单位面积的能量，称为能量密度矢量场，它又表明机械能(包括动能和应变能)以多大数量沿什么方向传播，即弹性波传播，这里给出了弹性波的一种定义，即机械能在弹性介质中的传播。例子，已知介质密度，圆频率，振幅A，试求沿 轴传播的平面简

26、谐波 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度的能通量密度， ，称圆波数， 为波的传播速度。 解：由 将， 代入能通量密度（4-29）式中得 能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度 当平面简谐波在介质中传播时，同一点介质的能通量密度是随时间变化的，其最大值与振幅平方、圆频率的平方，介质密度成正比。 研究能量密度和能通量密度的关系。先求能量密度， 动能动能动能密度动能密度能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度应变能应变能应变能密度 所以总的机械能密度能量密度与能通量密度能量密度与能通量密度再求能通量密度，即(4-30) 本章前面讨论说明：本章前面讨论说明：1.在外力作用下，弹性介质处于应变状

27、态下，积累一定弹性势能，当外力取消后，弹性介质趋于恢复原有形状，在此过程中，发生质点运动，其形式是质点绕其平衡位置往返振动，并且这种振动状态不断在介质中传播，直到弹性介质完全恢复原有形状而静止。这种弹性振动在介质中的传播就是弹性波，弹性波传播过程可以看作是一个能量由震源向周围介质传播的过程。本章前面讨论说明：本章前面讨论说明：2.质点在振动过程中离开平衡位置，它的动能最大。随着偏离平衡位置，质点运动速度降低，克服弹性束缚做功，动能转化为势能，当质点达到最大偏移位置时，质点运动速度为零，势能最大，有恢复原来平衡位置的能力。在质点恢复到平衡位置的运动过程中，弹性力对外做功，势能又减少，动能增大。如此往返振动，能量不断向周围介质传播。本章前面讨论说明：本章前面讨论说明：3、弹性波在介质中传播是能量从一部分介质到另一部分介质的传播，同一部分介质的总能量是随时间变化的。以平面纵波为例，介质同一处的能量密度是随时间变化的，其最大值与振幅的平方A2，频率的平方2，以及介质的密度成正比。本章前面讨论说明：本章前面讨论说明：下图是对本章及前几章内容的一个总结。图44 应力、应变和位移关系示意图应力返回应变返回