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1、会计学1大学大学(dxu)高数下二重积分的计算高数下二重积分的计算第一页，共62页。 先将二重积分化为二次积分，然后先后先将二重积分化为二次积分，然后先后(xinhu)计算两次定积分求得二重积分的值计算两次定积分求得二重积分的值.第1页/共61页第二页，共62页。如果如果(rgu)积分区域积分区域 D 可表示为：可表示为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标一、利用直角坐标一、利用直角坐标一、利用直角坐标(zhjiozubio)(zhjiozubio)(zhjiozubio)(zhjiozubio)系计系计系计系计算二重积分算二重积分算二重积分算二重积分1 1 1
2、 1、x x x x型区域型区域型区域型区域则则 D 称为称为(chn wi) x型型 区域区域 .第2页/共61页第三页，共62页。应用计算应用计算(j sun)“平平行截面面积为已知的立行截面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得第3页/共61页第四页，共62页。如果积分如果积分(jfn)区域区域 D 可表示可表示为：为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.2 2 2 2、y y y y型区域型区域型区域型区域(qy)(qy)(qy)(qy)则则 D 称为称为(chn wi) y型型 区域区域 .第4页/共61页第五页，共62页。 x x型区域的特点：型区域的特点
3、： 穿过区域且平行穿过区域且平行(pngxng)(pngxng)于于y y轴的直线与区域边界相交不多于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点两个交点. . y y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x x轴的轴的直线与区域边界直线与区域边界(binji)(binji)相交不多于两个交相交不多于两个交点点. .第5页/共61页第六页，共62页。1) 如果如果(rgu)积分区域积分区域 D 可表示为可表示为 x型型 区区域又可表示为域又可表示为 y型型 区域区域 ，且，且 f(x,y)在在D 上连续，上连续，则有：则有：3 3、其他、其他、其他、其他(qt)(qt)情形情形情
4、形情形采用采用(ciyng)哪一种次序积分就取决于被积函哪一种次序积分就取决于被积函数的结构数的结构.第6页/共61页第七页，共62页。2) 如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区域区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，可用平行坐标轴的直线段分割(fng)，把，把D 分割分割(fng)为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，二重积分，再根据重积分对区域可加性， 在各个标准区域在各个标准区域上的积分之和就是上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区域若区域(qy)如如图
5、，图，在分割后的三个区域在分割后的三个区域(qy)上分别使用积分公式上分别使用积分公式则必须分割则必须分割.第7页/共61页第八页，共62页。例例1 1解解求曲线求曲线(qxin)的交点：的交点：画出草图并将区域画出草图并将区域(qy)写成不等式形式：写成不等式形式：计算计算(j sun)：第8页/共61页第九页，共62页。计算计算(j sun)二重积分的几点说明：二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域区域 D 的几何形状确定的，因此计算的
6、几何形状确定的，因此计算(j sun)二二重积分应先画出积分区域重积分应先画出积分区域 D 的图形的图形.2) 第一次积分的上、下限是函数或常数第一次积分的上、下限是函数或常数(chngsh)，而，而第二次积分中的上、下限一定是常数第二次积分中的上、下限一定是常数(chngsh)，且下，且下限要小于上限限要小于上限.3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单区域的划分要尽量地简单.第9页/共61页第十页，共62页。解解如图如图第10页/共61页第十一页，共62页。解解积分积分(jfn)区域区域如图如图第11页/共61页第
7、十二页，共62页。解解积分积分(jfn)区域区域如图如图第12页/共61页第十三页，共62页。解解第13页/共61页第十四页，共62页。解解第14页/共61页第十五页，共62页。第15页/共61页第十六页，共62页。第16页/共61页第十七页，共62页。例例1111解解先去掉先去掉(q dio)绝对值符号，绝对值符号，如图如图第17页/共61页第十八页，共62页。二、利用二、利用二、利用二、利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)积分域和被积函数的对称性计算二重积分积分域和被积函数的对称性计算二重积分积分域和被积函数的对称性计算二重积分积分域和被积函数的对称性计算二重积分第18页/
8、共61页第十九页，共62页。第19页/共61页第二十页，共62页。第20页/共61页第二十一页，共62页。第21页/共61页第二十二页，共62页。A第22页/共61页第二十三页，共62页。第23页/共61页第二十四页，共62页。第24页/共61页第二十五页，共62页。三、利用三、利用三、利用三、利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)极坐标系计算二重积分极坐标系计算二重积分极坐标系计算二重积分极坐标系计算二重积分第25页/共61页第二十六页，共62页。二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的公的公式（）式（）1、极点、极点(jdin)O在在D的外部的外部区域区
9、域(qy)特征如特征如图图第26页/共61页第二十七页，共62页。区域区域(qy)特征特征如图如图第27页/共61页第二十八页，共62页。二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的的公式（）公式（）区域区域(qy)特征如特征如图图2、极点、极点(jdin)O在在D的边的边界上界上第28页/共61页第二十九页，共62页。极坐标系下区域极坐标系下区域(qy)的的面积面积二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的公式的公式（）（）区域区域(qy)特征特征如图如图3、极点、极点O在在D的内部的内部第29页/共61页第三十页，共62页。第30页/共61页第三十一页
10、，共62页。第31页/共61页第三十二页，共62页。法二法二:积分积分(jfn)区域关于区域关于 x 轴轴对称对称,第32页/共61页第三十三页，共62页。解解第33页/共61页第三十四页，共62页。解解第34页/共61页第三十五页，共62页。解解第35页/共61页第三十六页，共62页。第36页/共61页第三十七页，共62页。第37页/共61页第三十八页，共62页。解解第38页/共61页第三十九页，共62页。解解第39页/共61页第四十页，共62页。解解第40页/共61页第四十一页，共62页。第41页/共61页第四十二页，共62页。第42页/共61页第四十三页，共62页。二重积分在直角坐标二重
11、积分在直角坐标(zh jio zu bio)下的计算公式下的计算公式（在积分中要正确（在积分中要正确(zhngqu)选择积分次序）选择积分次序）四、小结四、小结(xioji)(xioji)y型型x型型（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第43页/共61页第四十四页，共62页。二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分（在积分(jfn)中注意使用对称性）中注意使用对称性）第44页/共61页第四十五页，共62页。思考题思考题第45页/共61页第四十六页，共62页。思考题解答思考题解答(jid)第46页/共61页第四十七页，共62页。第47页/共61页第四十八页，
12、共62页。思考题思考题第48页/共61页第四十九页，共62页。思考题解答思考题解答(jid)第49页/共61页第五十页，共62页。练练 习习 题题第50页/共61页第五十一页，共62页。第51页/共61页第五十二页，共62页。第52页/共61页第五十三页，共62页。第53页/共61页第五十四页，共62页。练习题答案练习题答案(d n)第54页/共61页第五十五页，共62页。第55页/共61页第五十六页，共62页。练练 习习 题题第56页/共61页第五十七页，共62页。第57页/共61页第五十八页，共62页。第58页/共61页第五十九页，共62页。练习题答案练习题答案(d n)第59页/共61页
13、第六十页，共62页。第60页/共61页第六十一页，共62页。内容(nirng)总结会计学。先将二重积分(jfn)化为二次积分(jfn)，然后先后计算两次定积分(jfn)求得二重积分(jfn)的值.。如果积分(jfn)区域 D 可表示为：。一、利用直角坐标系计算二重积分(jfn)1、x型区域。则 D 称为 x型 区域 .。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,。则 D 称为 y型 区域 .。x型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.。积分(jfn)区域关于 x 轴对称,。（在积分(jfn)中要正确选择积分(jfn)次序）。练 习 题第六十二页，共62页。
