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1、第第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质,能进行简单的定积分计算,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决简单的问题.1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,所以f(x)f(x),可得a1,所以f(x)x3x,所以f(x)3x21,所以f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.答案D真 题
2、感 悟2.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1,则f(2)42(a2)a1e30a1,则f(x)(x2x1)ex1,f(x)(x2x2)ex1,令f(x)0,得x2或x1,当x1时,f(x)0;当2x1时,f(x)x1,设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2),试证明t0.(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10,所以x1x21.又x2x10,所以x21.又tf(x1)f(x2)(a2)(x
3、1x2)1.导数的几何意义函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0),相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错提醒求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.考 点 整 合2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)x3在(,)上单调递增,但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有f(x)0时,则f(x)为常数
4、函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.热点一导数与定积分的几何意义【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ln(x)3x,则曲线yf(x)在点(1,3)处
5、的切线方程是_.解析(1)令x0,则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数,即f(x)f(x),在点(1,3)处的切线方程为y32(x1),即2xy10.探究提高1.利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化,其中关键是确定切点的坐标.2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点(1)正确画出几何图形,结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.(2)根据图形的特征,选择合适的积分变量.在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值.又该切线与直线xa
6、y10垂直,所以k1k21,解得a1.热点二利用导数研究函数的单调性考法1确定函数的单调性(区间)【例21】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x,其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(,),且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0,则f(x)e2x,在(,)上单调递增.综上所述,当a0时,f(x)在R上单调递增;(2)当a0时,f(x)e2x0恒成立.所以f(1)0,即2b10.解得b3,经检验,适合题意,所以b3.令f(x)0,得0x0或f(x)0.所以f(x)在x2处取得
7、极小值.所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.探究提高1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a值,切记,需检验切线是否与x轴重合.2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零,但导数为零的点不一定是极值点,是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.(2)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练3】 已知函数f(x)excos xx.解(1)f(x)excos xx,f(0)1,f(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0,yf(x)在(0,f(0)
8、处的切线方程为y10(x0),即y1.(2)f(x)ex(cos xsin x)1,令g(x)f(x),g(x)g(0)0,f(x)0且仅在x0处等号成立,令f(x)0,即x2ax10,其中a24.当a240时,即2a2时,x2ax10恒成立.f(x)0,则f(x)在(0,)上递增,函数无极值点.若a2,则x1x20,f(x)在(0,)上单调递增.f(x)在(0,)上无极值点.若a2,则0x10,当x(x1,x2)时,f(x)0,故x1是f(x)的极大值点,x2是f(x)的极小值点.综上:当a2时,f(x)有两个极值点,当a2时,f(x)无极值点.当x(0,1)时,ex(x1)ln xx210
9、,即h(x)0,即h(x)0,h(x)单调递增.因此x1为h(x)的极小值点,即h(x)h(1)e1,故ae1.探究提高1.求函数f(x)的极值,则先求方程f(x)0的根,再检查f(x)在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.【训练4】 已知函数f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x1处取得极值,x(0,),f(x)bx2恒成立,求实数b的最大值.当a0时,f(x)0在(0,)上恒成立,函数f(x)在(0,)上单调递减.f(x)在(0,)上没有极值点.综上
10、,当a0时,f(x)在(0,)上没有极值点;当a0时,f(x)在(0,)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x1处取得极值,f(1)a10,则a1,从而f(x)x1ln x.则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,)上单调递增,1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a,b上的最值,就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有可能极小值大于极大值;(2)对于可导函数f(x),“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件;(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时,若函数的导函数中含有带参数的有理因式,因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关,则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题,一般需要求导,借助函数的单调性,转化为方程或不等式问题来解决,有正向思维直接求函数的极值或最值;也有逆向思维已知函数的极值或最值,求参数的值或范围,常常用到分类讨论、数形结合的思想.