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1、2.1函数及其表示2知识梳理考点自测1.函数与映射的概念 非空数集任意唯一确定非空集合任意一个唯一确定3知识梳理考点自测2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,_叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:、和.(3)相等函数:如果两个函数的相同,并且完全一致,那么我们就称这两个函数相等.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.x的取值范围A 函数值的集合f(x)|xA定义域 值域
2、对应关系定义域对应关系解析法 图象法 列表法对应关系4知识梳理考点自测1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一个函数.4.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.5知识梳理考点自测5.函数定义域的求法6知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数是其定义域到值域的映射.()(2)函数y=
3、f(x)的图象与直线x=1有两个交点.()(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.()(4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为y|y=x2-1,xR,即为y|y-1.()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.() 7知识梳理考点自测D解析解析:由4-x20,得A=-2,2.由1-x0,得B=(-,1),故AB=-2,1).故选D.C解析解析:由题中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.8知识梳理考点自测4f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.9知识梳理考点自测5.
4、如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中 是映射,是函数.(只填序号) 解析解析:函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以不是映射也不是函数;表示的对应是映射;是函数,由于中的集合A,B不是数集,所以不是函数.10考点一考点二考点三学科素养微专题考点四函数的基本概念函数的基本概念例1以下给出的同组函数中,表示同一函数的有.(只填序号)f2(x):f1(x):y=2x,f2(x):如图所示. 11考点一考点二考点三学科素养微专题考点四解析解析:不是同一函数.f1(x)的定义域为xR|x0,f2(x)的定义域为R.是同一函数,x与y的对应关系完全相同且定义域
5、相同,它们是同一函数的不同表示方式.是同一函数.理由同.12考点一考点二考点三学科素养微专题考点四思考怎样判断两个函数是同一函数?解题心得两个函数是否表示同一函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.13考点一考点二考点三学科素养微专题考点四对点训练对点训练1(1)下列四个图象中,是函数图象的是()A.B.C.D.(2)在下列函数中,与函数y=x相等的是()BB14考点一考点二考点三学科素养微专
6、题考点四(3)(2017福建厦门一模,文3)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=()A.3B.0C.1D.2A解析解析:(1)图象中的每一个x的值对应唯一的y值,因此都是函数图象;,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象.故选B.(2)观察选项中化简后的函数的对应关系及定义域是否和函数y=x相同,易得答案为B.(3)由题中函数f(x)的图象可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.15考点一考点二考点三学科素养微专题考点四求函数的定义域及函数值求函数的定义域及函
7、数值 AD16考点一考点二考点三学科素养微专题考点四17考点一考点二考点三学科素养微专题考点四思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.由实际问题求得的函数的定义域,除了要考虑函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.18考点一考点二考点三学科素养微专题考点四对点训练对点训练2(2017山东淄博月考)函数的定义域是()A.(0,2)B.(0,1)(1,2)C.(0,2D.(0,1)(1,2D19考点一考点二考点三
8、学科素养微专题考点四求函数的解析式求函数的解析式 20考点一考点二考点三学科素养微专题考点四21考点一考点二考点三学科素养微专题考点四22考点一考点二考点三学科素养微专题考点四思考求函数解析式有哪些基本的方法?解题心得函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)方程法:已知关于f(x)与或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x);提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解
9、析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.23考点一考点二考点三学科素养微专题考点四B2x+724考点一考点二考点三学科素养微专题考点四25考点一考点二考点三学科素养微专题考点四分段函数分段函数(多考向多考向)考向1求分段函数的函数值思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式?26考点一考点二考点三学科素养微专题考点四考向2由分段函数构成的等式求参数的值C思考求含有参数的分段函数的函数值如何选取函数的解析式?27考点一考点二考点三学科素养微专题考点四考向3由分段函数构成的不等式求自变量的取值范围思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式?28考点一考点二考点三学科素养微专题考点四
10、解题心得分段函数问题的求解策略:(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应采取分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.29考点一考点二考点三学科素养微专题考点四log322x|x-2或x1或x=0 30考点一考点二考点三学科素养微专题考点四31考点一考点二考点三学科素养微专题考点四32考点一考点二考点三学科素养微专题考点四33考点一考点二考点三学科素养微专题考点四34考点一考点二考点三学科素养微专题考点四如何求抽象函数的定义域抽象函数是
11、指没有明确给出具体解析式的函数,与其有关的问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但从提升能力方面考虑,还应有所涉及.35考点一考点二考点三学科素养微专题考点四典例若函数y=f(x)的定义域是1,2018,则函数的定义域是()A.0,2017B.0,1)(1,2017C.(1,2018D.-1,1)(1,2017点拨先利用换元法求出函数f(x+1)的定义域,则函数g(x)的定义域为f(x+1)的定义域与不等式x-10的解集的交集.答案:B36考点一考点二考点三学科素养微专题考点四解析:要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12018,解得0x2017,故函数f(x+1)的定义域为0,2017.解得0x1或1x2017.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,2017,故选B.反思提升函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围,即f(x)与f(g(x)的定义域都是自变量x的取值范围,常见有如下两种类型:(1)已知函数f(x)的定义域为D,则函数f(g(x)的定义域就是不等式g(x)D的解集;(2)已知函数f(g(x)的定义域为D,则函数f(x)的定义域就是函数y=g(x)(xD)的值域.37
