7弹性力学平面问题实用教案

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1、平面问题平面问题(wnt)的基的基本方程本方程1. 平衡(pnghng)微分方程（2-2）2. 几何(j h)方程（2-9）3. 物理方程（平面应力问题）（2-15）4. 边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）第1页/共52页第一页，共53页。例7图示矩形(jxng)截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧(zu c)面：代入应力(yngl)边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！第2页/共52页第二页，共53页。xy上端面(dunmin)

2、：（方法(fngf)2）取图示微元体，可见，与前面结果(ji gu)相同。注意：必须按正向假设！由微元体的平衡求得，第3页/共52页第三页，共53页。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程 （重点）（重点）2-10 2-10 常体力情况常体力情况(qngkung)(qngkung)下的简化下的简化本讲主要(zhyo)内容42024/8/1第4页/共52页第四页，共53页。2-8按位移(wiy)求解平面问题2024/8/1ZS第5页/共52页第五页，共53页。平面问题平面问题(wnt)的基的基本方程本方程1. 平

3、衡(pnghng)微分方程（2-2）2. 几何(j h)方程（2-9）3. 物理方程（平面应力问题）（2-15）4. 边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）第6页/共52页第六页，共53页。2、弹性、弹性(tnxng)力学问题的求解方力学问题的求解方法法（1）按位移(wiy)求解（位移(wiy)法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理(wl)方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混

4、合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。第7页/共52页第七页，共53页。3、按位移求解平面问题的基本、按位移求解平面问题的基本(jbn)方方程程（1）将平衡(pnghng)方程用位移表示由应变表示(biosh)的物理方程将几何方程代入，有（2-19）（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（2-20）第8页/共52页第八页，共53页。（2）将边界条件用位移(wiy)表示位移(wiy)边界条件：应力(yngl)边界条件：（a）将式（a）代入，得（2-21）（2-17）式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程说明：（

5、1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。第9页/共52页第九页，共53页。（3）按位移求解平面问题(wnt)的基本方程（1）平衡(pnghng)方程：（2-20）（2）边界条件：位移(wiy)边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）第10页/共52页第十页，共53页。相容(xinrn)方程2-9按应力(yngl)求解平面问题2024/8/1ZS第11页/共52页第十一页，共53页。1、变形、变形(bin xng)协调方程协调方程（相容方程）（相容方程）按应力(yngl)求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡(pnghng)微分

6、方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：（2-9）作如下运算：第12页/共52页第十二页，共53页。显然(xinrn)有：（2-22） 形变协调方程(fngchng)（或相容方程(fngchng)）即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中(qzhng)：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。第13页/共52页第十三页，共53页。2、变形协调方程、变形协调方程(fngchng)的的应力表示应力表示（1）平面

7、应力(yngl)情形将物理(wl)方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：（b）第14页/共52页第十四页，共53页。将 (b) 代入 (a) ，得：将 上式整理(zhngl)得：（2-23）应力表示(biosh)的相容方程（2）平面(pngmin)应变情形将 上式中的泊松比代为： ， 得（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：注意：当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）第15页/共52页第十五页，共53页。3、按应力求解平面问题、按应力求解平面问题(wnt)的基本方程的

8、基本方程（1）平衡(pnghng)方程（2-2）（2）相容方程（形变(xngbin)协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。第16页/共52页第十六页，共53页。例8：例9：图示矩形截面悬臂梁，在自由(zyu)端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。课堂练习与讨论(toln)2024/8/1ZS第

9、17页/共52页第十七页，共53页。例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们(t men)是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡(pnghng)方程：（2-2） 满足(mnz)将式（a）代入相容方程：式（a）不是一组可能的应力场。第18页/共52页第十八页，共53页。例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解将式（b）代入应变(yngbin)表示的相容方程：式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变(yngbin)分量。

10、第19页/共52页第十九页，共53页。例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学(ci lio l xu)解答：式（a）满足平衡方程(fngchng)和相容方程(fngchng)？（a）式（a）是否(sh fu)满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。第20页/共52页第二十页，共53页。式（a）满足相容(xin rn)方程。再验证，式（a）是否(sh fu)满足边界条件？ 满足(mnz)满足近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相

11、容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：第21页/共52页第二十一页，共53页。例7图示矩形截面(jimin)水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧(zu c)面：代入应力(yngl)边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！第22页/共52页第二十二页，共53页。2-10常体力情况(qngkung)下的简化2024/8/1ZS第23页/共52页第二十三页，共53页。1、常体力、常体力(tl)下平面问题的相容方程下平面问题的相容方程令： 拉普拉斯（L

12、aplace）算子(sun z)则相容(xin rn)方程可表示为： 平面应力情形 平面应变情形当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或（2-25）第24页/共52页第二十四页，共53页。2、常体力下平面问题、常体力下平面问题(wnt)的基本方程的基本方程（1）平衡(pnghng)方程（2-2）（2）相容方程(fngchng)（形变协调方程(fngchng)）（3）边界条件（2-18）（4）位移单值条件 对多连通问题而言。讨论：讨论：（1） Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果 相同 ）不同。（但（b）不同材料，具有相同

13、外力和边界条件时，其计算结果相同。 光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。满足： 的函数称为调和函数（解析函数）。第25页/共52页第二十五页，共53页。3、常体力、常体力(tl)下体力下体力(tl)与面力的变换与面力的变换平衡(pnghng)方程:相容(xin rn)方程:边界条件:令：常体力下， 满足的方程：(a)将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)第26页/共52页第二十六页，共53页。(c)表明(biomng)：（1）变换(binhun)后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；（2）变换后问题(wnt)

14、的边界面力改变为：结论：结论：当体力X =常数，Y =常数时，可先求解无体力而面力为：问题的解： ，而原问题的解为：第27页/共52页第二十七页，共53页。课堂练习与讨论(toln)2024/8/1ZS第28页/共52页第二十八页，共53页。xyxy例10：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用(zuyng)下的应力分析。原问题(wnt)：体力(tl)：边界面力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：体力：边界面力：(1) 当 y = 0 时，(2) 当 y = h 时，(3) 当 y = 2h 时，所求得的应力：原问题的应力原问题的应力第29页/共52页第二十九页，共5

15、3页。常体力(tl)下体力(tl)与面力转换的优点（好处）：原问题的求解(qi ji)方程变换后问题(wnt)的求解方程常体力问题无体力问题作用：(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：面力变换公式： 与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。第30页/共52页第三十页，共53页。2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）位移边界条件（4）边界条件：（1）（2）应力边界条件（3）物理方程：（2-15）平面应力问题第31页/共52页第三十一页，共53页。3. 平面问题一

16、点的应力、应变分析(b) 主应力与应力主向（2-7）（2-8）(c) 最大、最小剪应力及其方向max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。(a) 任意斜面上应力或第32页/共52页第三十二页，共53页。4.圣维南原理的应用（d）任意斜方向的线应变（2-11）（e）一点任意两线段夹角的改变（2-12） 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。P次要边界第33页/共52页第三十三页，共53页。5. 平面问题的求解方法：

17、（2-17）位移边界条件（2-21）应力边界条件（1）按位移求解基本(jbn)方程（2-20）平衡方程第34页/共52页第三十四页，共53页。（2）按应力求解平面问题的基本(jbn)方程（2-22） 形变协调方程（或相容方程）相容(xin rn)方程（2-23）（平面应力情形）应力(yngl)表示的相容方程（2-24）（平面应变情形）（2-25）（体力 fx、fy 为常数情形）第35页/共52页第三十五页，共53页。（1）平衡方程（2-2）（3）边界条件：（2-18）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（平面应力情形）按应力求解(qi ji)的基本方程常体力(tl)下可以简化：求解(qi

18、 ji)方法？（ 两种平面问题形式相同）（ 1）体力X、Y 转化为面力处理。（ 2）第36页/共52页第三十六页，共53页。逆解法(jif)与半逆解法(jif)应力(yngl)函数解法2024/8/1ZS第37页/共52页第三十七页，共53页。常体力下问题(wnt)的基本方程：边界条件、位移(wiy)单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程(fngchng)，其解：全解 = 齐次方程通解1、平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1) 特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2) 通解式(a) 的齐次方程：(c)(d)的通解。第38页/共52页第三十八页，共53页。将

19、式(d)第一(dy)式改写为由微分方程理论(lln)，必存在一函数 A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二(d r)式改写为(g)(h)比较式( f )与(h)，有也必存在一函数 B(x,y)，使得(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得第39页/共52页第三十九页，共53页。(i)(j)将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解(tngji)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式( f )与(h)，有也必存在一函数 B(x,y)，使得由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得(k)第40页/

20、共52页第四十页，共53页。(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解：(k) 对应于平衡(pnghng)微分方程的齐次方程通解。(3) 全解取特解为：则其全解为：(2-26) 常体力(tl)下平衡方程（a）的全解。 由式（2-26）看：不管(bgun)(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。(x,y) 平面问题的应力函数 Airy 应力函数第41页/共52页第四十一页，共53页。2、相容方程的应力函数、相容方程的应力函数(hnsh)表表示示(2-26)将式（2-26）代入常体力下的相容(xin rn)方程：(2-25)有：注意(zh y)到体力fx、 fy 为常量，有将上式展开，有(2-

21、27) 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。第42页/共52页第四十二页，共53页。2、相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力 fx、 fy 为常量，有将上式展开，有(2-27) 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。式（2-27）可简记(jin j)为：或：式中：满足方程(fngchng)(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）结论结论(jiln)(jiln)：应力函数应为一重调和函数第43页/共52页第四十三页，共53页。按应力求解平

22、面问题(wnt)（fx = 常量、fy = 常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将 代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法(2-28)（无体力(tl)情形）第44页/共52页第四十四页，共53页。3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法（1）逆解法(ji f)（1）根据问题(wnt)的条件（几何形状(xngzhun)、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2） 主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计

23、算式（2-26），求出 （具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。（2） 半逆解法（1）根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式 ；（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。第45页/共52页第四十五页，共53页。第二章小结(xioji)2024/8/1ZS第46页/共52页第四十六页，共53

24、页。1.两类平面(pngmin)问题：平面应力(yngl)问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程(fngchng)的异同）2.平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）3.平面问题的求解（1） 按位移求解平面问题（2） 按应力求解平面问题基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；（3）边界条件：应力、位移边界条件。相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）第47页/共52页第四十七页，共53页。（2）按应力求解平面问题相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式

25、、应力表示形式、应力函数表示。）应力(yngl)函数表示的应力(yngl)分量表达式：(2-26)常体力(tl)下的简化；应力函数的求解(qi ji)方法：（逆解法、半逆解法。）按应力求解平面问题的基本步骤：第48页/共52页第四十八页，共53页。（1）(2-27)（2）然后将 代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。按应力(yngl)求解平面问题的基本步骤：4.应力(yngl)边界条件的列写及圣维南原理的应用.5.任意斜面(ximin)上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。6.任意斜面上线

26、应变、变形后两线段夹角改变量的计算。第49页/共52页第四十九页，共53页。习题：预习弹性力学(lxu)简明教程第三章内容本讲作业(zuy)2024/8/1ZS第50页/共52页第五十页，共53页。下一讲再见！第51页/共52页第五十一页，共53页。感谢您的欣赏(xnshng)！第52页/共52页第五十二页，共53页。内容(nirng)总结平面问题的基本方程。第2页/共52页。 拉普拉斯（Laplace）算子。 平面应力情形(qng xing)。 平面应变情形(qng xing)。 对多连通问题而言。 Laplace方程，。 光弹性实验原理。逆解法与半逆解法。 常体力下平衡方程（a）的全解。 应力函数表示的相容方程。 主要适用于简单边界条件的问题。 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。（逆解法、半逆解法。第51页/共52页。感谢您的欣赏第五十三页，共53页。