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1、C5 可压缩流体流动基础可压缩流体流动基础C5 可压缩流体流动基础可压缩流体流动基础C5.1 引言（工程背景）引言（工程背景）C5.1.1 热力学基础知识热力学基础知识1.完全气体状态方程完全气体状态方程p=RTR 为气体常数，空气为气体常数，空气R=287J/kgK。当容积保持不变时称为比定容热容当容积保持不变时称为比定容热容c v(T)当压强保持不变时称为比定压热容当压强保持不变时称为比定压热容c p(T)比热比比热比 （空气（空气=1.4）2. 比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。C5.1.1 热力学基础知识热力学基础知识(2-1)
2、C5.1.1 热力学基础知识热力学基础知识(2-2)比内能比内能e(T)：单位质量气体分子热运动所具有的动能单位质量气体分子热运动所具有的动能比焓比焓h(T)：单位质量气体所具有的内能与压能之和单位质量气体所具有的内能与压能之和4.热力学第一定律：对气体所加的热能等于气体内能的增加热力学第一定律：对气体所加的热能等于气体内能的增加 和气体对外所作功之和。和气体对外所作功之和。5.热力学第二定律：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；热力学第二定律：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；在不可逆过程中熵值必定增加。在不可逆过程中熵值必定增加。6. 完全气体等熵流动完全气体等熵流动3. 内能与焓内能与
3、焓常数常数C5.2.1声速声速C5.2 声速声速、马赫波和激波马赫波和激波可压缩流体中微扰动的传播速度称为声速。可压缩流体中微扰动的传播速度称为声速。（1）声声速与流体弹性模量（速与流体弹性模量（K）和密度（）和密度（）有关）有关（2）声速与扰动频率）声速与扰动频率、振幅与振幅与周期无周期无关关C5.2 声速声速、马赫波和激波马赫波和激波（3）声速传播过程可视为绝热等熵过程，声速与温度有关）声速传播过程可视为绝热等熵过程，声速与温度有关求：求： 试比较两处的声速试比较两处的声速 由（由（C5.2.6)式式 例例C5.2.1 声速声速 已知已知: : 设海平面（设海平面（z0）的大气温度）的大气
4、温度 在对流层顶部（在对流层顶部（ ）的高空大气温度）的高空大气温度 解：解： 设空气气体常数和比热比分别为设空气气体常数和比热比分别为 。讨论：讨论： 说明海平面与说明海平面与11km高空的声速相差高空的声速相差13之多。之多。 C5.2.2马赫波马赫波无界可压缩流场绕点声源的运动无界可压缩流场绕点声源的运动1. 静止流场静止流场 V= 0 Ma = V/ c = 0 （图（图a）2.亚声速流场亚声速流场 0 V c 0 Ma c , Ma 1， 马赫锥马赫锥 ,马赫角马赫角（图（图d)C5.2.2马赫波马赫波(2-2) 例例C5.2.2 马赫锥与马赫角马赫锥与马赫角 求：求：飞机飞过观察站
5、正上方到观察站听到机声要多少时间飞机飞过观察站正上方到观察站听到机声要多少时间 已知已知: :一飞机在观察站上空一飞机在观察站上空H2000m，速度为，速度为V1836km/h,空气温度为空气温度为 T=15 解：解： 当地声速和飞机飞行马赫数为当地声速和飞机飞行马赫数为 设飞机在观察站上方时设飞机在观察站上方时,马赫波与地面交点离观察站距马赫波与地面交点离观察站距离为离为l, 时间时间t后到达观察站后到达观察站 飞机以超声速在静止的空气中飞行飞机以超声速在静止的空气中飞行,形成一个以飞机为形成一个以飞机为顶点后掠的顶点后掠的马赫锥马赫锥, ,其马赫角为其马赫角为,如图示如图示C5.2.3 激
6、波激波 1.定义：定义：强压缩扰动在超声速强压缩扰动在超声速流场流场中形成的流动参数强间断中形成的流动参数强间断面面 2.形成机理：以管中活塞强烈压缩为例形成机理：以管中活塞强烈压缩为例 4.形成条件：形成条件：二维三维流场：超声速运动二维三维流场：超声速运动C5.2.3 激波激波 3.特点：特点： p，T，V管内一维流场：强压缩扰动管内一维流场：强压缩扰动绝能流绝能流：与外界无能量交换的流动（无热量交换，无轴功，无：与外界无能量交换的流动（无热量交换，无轴功，无 摩擦功等）。摩擦功等）。由伯努利方程的第三种推广形式可得（忽略重力）由伯努利方程的第三种推广形式可得（忽略重力）上式中上式中h0为
7、总焓。完全气体的一维定场流动常用形式为为总焓。完全气体的一维定场流动常用形式为（绝能流）（绝能流）（绝能流）（绝能流） 总温总温(T0)和总声速和总声速(c0)在绝能流中保持常数，但总压在绝能流中保持常数，但总压(p0）和总密）和总密 度度(0)不一定保持相等。不一定保持相等。（绝能流）（绝能流）C5.3.1 绝能绝能流能量方程流能量方程C5.3.1 绝热流能量方程绝热流能量方程C5.3 一维定常可压缩流能量方程一维定常可压缩流能量方程C5.3.2 等熵流伯努利方程等熵流伯努利方程对完全气体对完全气体完全气体等熵流动（对空气完全气体等熵流动（对空气 ） 由一维定常能量方程由一维定常能量方程等熵
8、流伯努利方程等熵流伯努利方程C5.3.2 等熵流伯努利方程等熵流伯努利方程(3-1)(3-1)在绝能（热）条件下符合可逆过程的流动称为等熵流动。在绝能（热）条件下符合可逆过程的流动称为等熵流动。( (等熵流）等熵流）1. 用滞止状态参数表示用滞止状态参数表示等熵流等熵流称为等熵流气动函数。对完全气体见附录称为等熵流气动函数。对完全气体见附录FG1 表。表。C5.3.2 等熵流伯努利方程等熵流伯努利方程(3-2)(3-2)2. 用临界状态参数表示用临界状态参数表示临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态,等。等。如如在等熵流气动函数中令在等
9、熵流气动函数中令Ma =1可得可得在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。3. 最大速度最大速度对空气对空气C5.3.2 等熵流伯努利方程等熵流伯努利方程(3-3)(3-3)C5.3.3 等熵流气动函数等熵流气动函数滞止状态参数滞止状态参数空气（空气（=1.4）临界状态参数临界状态参数C5.3.3 等熵流气动函数等熵流气动函数 例例C5.3.3A 一维定常等熵状态参数一维定常等熵状态参数(2-1) (2-1) 已知已知: : 空气在一喷管内作定常空气在一喷管内作定常 等熵流动等熵流动。设截面设截面1的状态参数为的状态参数为 设截面设截面2的状态参数为的状态参
10、数为求：求：截面截面1和和2上的其他状态参数与流速上的其他状态参数与流速。解：解：截面截面1的其他参数为的其他参数为由由Ma10.4及及Ma20.9 查等熵流动气动函数表可得查等熵流动气动函数表可得利用等熵流利用等熵流T01T02， p01p02，可得可得由状态方程由状态方程验算验算讨论讨论: : 计算表明在这个收缩喷管中流速增大，温度、压强、密度均下降。计算表明在这个收缩喷管中流速增大，温度、压强、密度均下降。 例例C5.3.3A 一维定常等熵状态参数一维定常等熵状态参数(2-2) (2-2) C5 .4.1 截面变化对流动的影响截面变化对流动的影响1. 截面变化与截面变化与Ma数关系数关系
11、由欧拉方程由欧拉方程得得由连续性方程由连续性方程得得C5 .4 一维变截面管定常等熵流动一维变截面管定常等熵流动C5.4.1 截面变化对流动的影响截面变化对流动的影响(3-1)收缩管收缩管扩张管扩张管在收缩段：加速在收缩段：加速在扩张段：继续加速在扩张段：继续加速C5.4.1 截面变化对流动的影响截面变化对流动的影响(3-2)对拉伐尔喷管对拉伐尔喷管, dV/dx为有限值为有限值,当当 时上式右边等于零时上式右边等于零,为临界截面为临界截面 例例C5.4.1 超声速流在变截面管中的质量守恒超声速流在变截面管中的质量守恒(2-1) (2-1) 试分析可压缩流体的超声速流在收缩管中减速或在扩张管中
12、加速试分析可压缩流体的超声速流在收缩管中减速或在扩张管中加速是否符合质量守恒定律。是否符合质量守恒定律。解：解：由连续方程（由连续方程（C5.4.3）式可得）式可得 将上式代入（将上式代入（C5.4.4）式可得）式可得 整理后得整理后得 由（b）式，当Ma1时，dp 与dA异号，且讨论讨论: : 说明当超声速流流过收缩管时，随着界面面积的减小，流体密度增说明当超声速流流过收缩管时，随着界面面积的减小，流体密度增大；而且密度的增长率超过面积的减小率，只有降低速度才能保证质量守大；而且密度的增长率超过面积的减小率，只有降低速度才能保证质量守恒。当超声速流流过扩张管时，随着截面积之增大，流体密度减小
13、，而且恒。当超声速流流过扩张管时，随着截面积之增大，流体密度减小，而且密度的减小率超过面积的增长率，只有增大流速才能保证质量守恒。因此密度的减小率超过面积的增长率，只有增大流速才能保证质量守恒。因此两种情况均符合质量守恒定律。两种情况均符合质量守恒定律。 例例C5.4.1 超声速流在变截面管中的质量守恒超声速流在变截面管中的质量守恒(2-2) (2-2) 在拉伐尔喷管中在拉伐尔喷管中2. 截面积与截面积与Ma 数关系数关系 对每一个对每一个A/A*有两个有两个Ma ：一个为亚声速，一个超声速。：一个为亚声速，一个超声速。3. 流量与流量与Ma 数关系数关系C5.4.1 截面变化对流动的影响截面
14、变化对流动的影响(3-3) 例例C5.4.1A 等熵流喷管临界截面等熵流喷管临界截面解：解：由于由于A x A e，说明这是一个收缩喷管。由说明这是一个收缩喷管。由Ma e0.8 查等熵气动函数表查等熵气动函数表 可得可得由等熵流气动函数表上按由等熵流气动函数表上按A/A*=1.73倒查得倒查得Ma x0.34已知已知: : 设喷管内有设喷管内有等熵流，出口截面积等熵流，出口截面积A e0.003m2，出口马赫数出口马赫数Ma e0.8。求求: : 喷管内截面积为喷管内截面积为A x0.005m2 处的马赫数处的马赫数Ma 。A*为假想的临界截面，即假想流体沿继续延伸的喷管流动，在截面积为假想
15、的临界截面，即假想流体沿继续延伸的喷管流动，在截面积A*处处达到声速，喷管其他截面上的参数与该假想临界截面上的参数关系符合等达到声速，喷管其他截面上的参数与该假想临界截面上的参数关系符合等熵流气动函数关系。现熵流气动函数关系。现C5 .4.2 喷管内等熵流动喷管内等熵流动 对空气对空气 增大增大 ,流量不变流量不变（壅塞现象）（壅塞现象）C5.4.2 喷管内等熵流动喷管内等熵流动(2-1)参见右下图参见右下图 例例C5.4.2 收缩喷管内的等熵流动收缩喷管内的等熵流动将将 T0 和和 p0 代入上式，由流量可求得代入上式，由流量可求得Ae （2）出口截面达声速时，由等熵流（出口截面达声速时，由
16、等熵流（C5.3.115.3.11b）式可得）式可得已知已知: : 设贮气罐中空气的滞止参数为设贮气罐中空气的滞止参数为 为保为保证收缩管内达到最大流量证收缩管内达到最大流量求求: :（1）试设计喷管内出口截面积试设计喷管内出口截面积A e （2）当背压）当背压 时流量时流量解解: :（1）由收缩喷管最大流量公式（由收缩喷管最大流量公式（C5.4.115.4.11b b）式，）式，令令 ，可得，可得 现现 ，不能影响喷管内的流量仍保持最大流量，不能影响喷管内的流量仍保持最大流量。2.收缩收缩扩张管扩张管 亚声速等熵流亚声速等熵流 超声速等熵流超声速等熵流 出现激波出现激波 口外膨胀口外膨胀C5
17、.4.2 喷管内等熵流动喷管内等熵流动(2-2) 例例C5.4.2A 收缩扩张管内的流动收缩扩张管内的流动(2-1)(2-1)两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例C5.4.2C5.4.2中质流量公中质流量公式可得式可得已知已知: :收缩扩张管的喉部面积为收缩扩张管的喉部面积为 ，出口面积，出口面积 ， 贮气罐中滞止参数贮气罐中滞止参数 （绝），（绝），求求: :（1）设计工况的出口参数和质量流量；设计工况的出口参数和质量流量；（2）若背压）若背压时出口处出现激波，试求时出口处出现激波，试求 时的流动状况。时的流动状况。解解: :（1） ， 查等熵流动
18、气动函数表得：查等熵流动气动函数表得： 代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流 代表扩张段为超声速流，代表扩张段为超声速流， 例例C5.4.2A 收缩扩张管内的流动收缩扩张管内的流动(2-2)(2-2) （2） 时，时， ，喷管内为亚声速等熵流动；，喷管内为亚声速等熵流动； 时，时， ，在扩张管内某处出，在扩张管内某处出现激波；现激波； 时，时， ，扩张管内为超声速等，扩张管内为超声速等熵流；熵流； 时，时， ，扩张管内仍为超声速流，但在出，扩张管内仍为超声速流，但在出口处形成膨胀波。口处形成膨胀波。C5 .5.1 绝热摩擦管流范诺流绝热摩擦管流范诺流一维等截
19、面连续性方程一维等截面连续性方程1.范诺线范诺线 完全气体熵增公式完全气体熵增公式由以上两式可导得由以上两式可导得完全气体一维定常绝热方程完全气体一维定常绝热方程基本方程基本方程: C5.5 摩擦与热交换等截面管流摩擦与热交换等截面管流C5.5.1 绝热摩擦管流范诺流绝热摩擦管流范诺流(3-1)C5.5.1 绝热摩擦管流范诺流绝热摩擦管流范诺流(3-2)由由(a) (b)式可得范诺线如图式可得范诺线如图:（1）摩擦作用使熵增加）摩擦作用使熵增加 2范诺流气动函数范诺流气动函数(以临界参数为参考以临界参数为参考)（2）使亚声速流加速）使亚声速流加速,但最大达声速但最大达声速, （3）使超声速流减
20、速）使超声速流减速,最小达声速最小达声速, 设最大管长设最大管长 为发展到为发展到Ma =1时极限管长，时极限管长，为管径为管径,为平均达西摩擦因子为平均达西摩擦因子亚声速流时亚声速流时查查Moody图图 超声速流时取超声速流时取3.摩擦造成壅塞现象摩擦造成壅塞现象在在 处达到声速处达到声速, 流量最大流量最大, 在在 段段, 由于总压强下降由于总压强下降流量通不过。亚声速时流量通不过。亚声速时, 入口段发生溢流入口段发生溢流, 流量减少至出口声速流量减少至出口声速; 超超声速时声速时, 产生激波产生激波,使出口截面为临界截面。使出口截面为临界截面。C5.5.1 绝热摩擦管流范诺流绝热摩擦管流
21、范诺流(3-3)对短管对短管 例例C5.5.1 绝热摩擦管流绝热摩擦管流(4-1)(4-1)（2）截面）截面2的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式(C5.3.4a)式式,已知已知: :空气从空气从 的贮气罐进入一根直径为的贮气罐进入一根直径为d=10mm的绝热光滑管入的绝热光滑管入 口处口处 经过有摩擦的流动到达截面经过有摩擦的流动到达截面2 2时时, ,求求: :(1)入口处入口处 (2)截面截面2处处 (3)入口处到截面入口处到截面2的长度的长度L .解解: :（1）利用等熵流动公式）利用等熵流动公式(C5.3.9a)求求（3） 按短管计算按短管计算
22、上式表明截面上式表明截面2已接近临界截面已接近临界截面(Ma=1),再计算平均摩擦因子再计算平均摩擦因子入口处入口处:查表查表FA2, 例例C5.5.1 绝热摩擦管流绝热摩擦管流(4-2)(4-2)查查Moody图光滑管图光滑管,截面截面2:查表查表FA2,查查Moody图光滑管图光滑管,临界截面临界截面:由由(C5.3.4a)式式 , 例例C5.5.1 绝热摩擦管流绝热摩擦管流(4-3)(4-3)由由(C5.5.18)式式 , 例例C5.5.1 绝热摩擦管流绝热摩擦管流(4-4)(4-4)查查Moody图光滑管图光滑管, 。三个值平均。三个值平均C5.5.2 无摩擦热交换管流无摩擦热交换管流
23、(2-1)C5 .5.2 无摩擦热交换管流无摩擦热交换管流1. 瑞利线瑞利线 及熵增公式及熵增公式连续性方程和连续性方程和动量方程动量方程由以上两式可得由以上两式可得由由(a)(b)可得瑞利曲线如图可得瑞利曲线如图:(2) 亚声速流加热后加速亚声速流加热后加速,最大达声速最大达声速 (1) a点为最大熵值点点为最大熵值点, b为最高温度点为最高温度点(3) 超声速流加热后减速超声速流加热后减速,但最小达声速但最小达声速 2 . 瑞利流气动函数瑞利流气动函数气流达临界时流量为最大气流达临界时流量为最大, 继续加热使总压下降发生壅塞。继续加热使总压下降发生壅塞。亚声速时入口段发生溢流亚声速时入口段
24、发生溢流, 流量减小流量减小;超声速时壅塞产生激波超声速时壅塞产生激波,并移至入口并移至入口, 发生溢流后才能通过。发生溢流后才能通过。 3. 加热造成壅塞现象加热造成壅塞现象C5.5.2 无摩擦热交换管流无摩擦热交换管流(2-2) 例例C5.5.2 无摩擦加热管内的流动无摩擦加热管内的流动(2-1)(2-1) 求求: :（1 1）Ma2, T2, T02；（；（2 2）（热交换率）（热交换率） 解解: :（1）由由Ma1=0.24=0.24查等熵流气动函数表得查等熵流气动函数表得 T1 / T01 = 0.9886, T01 = 533K / 0.9886 = 539 K 。 由由Ma1=0
25、.24=0.24查瑞利流气动函数图得查瑞利流气动函数图得 T01 / T*0 = 0.24, T*0 = 539 K/ 0.24 = 2246 K ； 已知已知: : 空气在一等截面加热管中作无摩擦流动，质流量空气在一等截面加热管中作无摩擦流动，质流量 =1.83kg/s=1.83kg/s，管截，管截面积面积A=0.02m=0.02m2 2。在上游截面。在上游截面T1= =533K,p1= =126kPa(ab)，在下游截面，在下游截面为亚声为亚声速流速流, ,p2=101.3kPa 例例C5.5.2 无摩擦加热管内的流动无摩擦加热管内的流动(2-2) (2-2) T1 / T* = 0.3，
26、T* = 533K / 0.3 = 1777 K； p1 / p*= 2.2, p* = 126kPa / 2.2 = 57.3 kPa 。 在截面在截面，p2/p*=101.3/57.3=1.77,查瑞利流气动函数图得查瑞利流气动函数图得Ma2=0.5； 查得查得 T02 / T*0 = 0.69, T02 = 0.69(2246K) = 1550 K； 查得查得 T2 / T* = 0.78, T2 = 0.78(1777K)= 1386 K； （2 2）由能量方程（）由能量方程（B4.6.11B4.6.11）式，忽略重力，空气的）式，忽略重力，空气的cp=1004J/(kg-K)C5.6
27、正激波正激波C5 .6.1 基本方程基本方程连续性方程连续性方程动量方程动量方程能量方程能量方程状态方程状态方程 完全气体完全气体 C5 .6正激波正激波激波前后参数比与来流马赫数关系激波前后参数比与来流马赫数关系计算时查正激波气动函数表计算时查正激波气动函数表FG2。C5 .6.2正激波气动函数正激波气动函数C5.6.2正激波气动函数正激波气动函数 例例C5.6.1 收缩收缩- -膨胀喷管内激波前后参数膨胀喷管内激波前后参数(2-1)(2-1)解解: :（1）在扩张段内出现激波说明喉部成为临界截面）在扩张段内出现激波说明喉部成为临界截面查等熵流气动函数表得激波前查等熵流气动函数表得激波前(另
28、一值另一值0.275不合题意不合题意).其他参数为其他参数为:已知已知: :贮气罐的滞止参数贮气罐的滞止参数 收缩收缩- -扩张喷管喉部扩张喷管喉部 截面积为截面积为 扩张段内截面积扩张段内截面积 处出现激波处出现激波. .求求: :1）激波前后的状态参数）激波前后的状态参数 2)激波后的临界截面积激波后的临界截面积 查超声波气动函数表查超声波气动函数表,激波前后参数比激波前后参数比(2)查等熵流气动函数表查等熵流气动函数表讨论讨论: : 以上结果表明激波后的临界截面积比激波前增大以上结果表明激波后的临界截面积比激波前增大, 例例C5.6.1 收缩收缩- -膨胀喷管内激波前后参数膨胀喷管内激波
29、前后参数(2-2)(2-2)C5.6.3正激波前后参数变化正激波前后参数变化1.激波前后压强比激波前后压强比2.激波行进速度激波行进速度激波行进速度总是大于当地声速激波行进速度总是大于当地声速将上式与等熵关系比较如图示将上式与等熵关系比较如图示3.激波前后的熵增激波前后的熵增在超声速流中在超声速流中C5.6.3正激波前后参数变化正激波前后参数变化C5.7.1. 斜激波斜激波气流经过压缩马赫波后气流经过压缩马赫波后,流动方向向内偏射流动方向向内偏射(与斜壁与斜壁OO平行平行),流速略微降低。流速略微降低。微小内折角微小内折角d 的弯折点的弯折点O对气流产生一微弱对气流产生一微弱压缩扰动。压缩扰动
30、。OA线称为压缩马赫波线称为压缩马赫波,马赫角马赫角 为为2.当超声速流流经一凹曲面当超声速流流经一凹曲面OO时时,无数个这样的马赫波无数个这样的马赫波,叠加起叠加起 来形成一斜激波来形成一斜激波AA 。1.当当OO的内折角是有限值的内折角是有限值 时时,可将其看作有无数个微小角度可将其看作有无数个微小角度 d 组成组成,无数个马赫波叠加起来无数个马赫波叠加起来,形成斜激波形成斜激波OB.夹角为夹角为 ,称称 为斜激波角。为斜激波角。C5.7 二维超声速流动简介二维超声速流动简介C5.7.1. 斜激波斜激波(2-1)C5.7.1. 斜激波斜激波(2-2)3.3.当超声速流流经一尖壁时当超声速流
31、流经一尖壁时, ,在尖端将产生两条斜激波。若尖在尖端将产生两条斜激波。若尖劈的半角劈的半角 增大增大, ,斜激波角斜激波角 随之增大。当随之增大。当 增至一极限值增至一极限值 时时, ,附着于尖端的斜激波将发生脱体现象。附着于尖端的斜激波将发生脱体现象。 C5.7.2.膨胀波膨胀波C5.7.2.膨胀波膨胀波 当超声速气流流经一有微小外折角当超声速气流流经一有微小外折角d 的壁面时的壁面时,弯折点弯折点O对对气流产生一微弱膨胀扰动气流产生一微弱膨胀扰动,形成一道膨胀马赫波。气流经过膨胀形成一道膨胀马赫波。气流经过膨胀马赫波后马赫波后,方向向外偏射方向向外偏射(与斜壁与斜壁OO平行平行),流速略微增大。流速略微增大。1.当当OO的外折角为有限值的外折角为有限值 时时,可将其可将其看作有无数个微小角度看作有无数个微小角度d 叠加叠加,无数条膨无数条膨胀马赫波胀马赫波,形成一张角为形成一张角为的扇形区域的扇形区域,称称为普朗特为普朗特迈迈耶波。耶波。2.当超声速流流经一凸曲面时当超声速流流经一凸曲面时,所有马所有马赫赫波组成一发散的波系。波组成一发散的波系。C5.7.3 斜激波与膨胀波在自由边界上的反射斜激波与膨胀波在自由边界上的反射C5.7.3 斜激波与膨胀波在自由边界上的反射斜激波与膨胀波在自由边界上的反射1. 斜激波的反射斜激波的反射2. 膨胀波的反射膨胀波的反射
