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1、第八章第八章 非线性断裂力学非线性断裂力学8.1 8.1 引言引言8.28.2裂纹端部塑性区大小的估计及裂纹端部塑性区大小的估计及IrwinIrwin修正修正8.2.1 8.2.1 塑性理论的基本概念塑性理论的基本概念: : MisesMises屈服条件和屈服条件和TrescaTresca屈屈 服条件服条件8.2.2 8.2.2 塑性区尺寸的一级估算塑性区尺寸的一级估算8.2.3 8.2.3 塑性区应力松驰的影响塑性区应力松驰的影响塑性区尺寸的二级估算塑性区尺寸的二级估算8.2.4 Irwin8.2.4 Irwin的等效裂纹修正的等效裂纹修正8.3 8.3 Dugdale(DDugdale(D
2、-M)-M)模型模型8.4 8.4 BarenblattBarenblatt内聚力模型内聚力模型8.58.5裂纹扩展阻力裂纹扩展阻力R R和亚临界扩展和亚临界扩展8.68.6裂纹端部张开位移裂纹端部张开位移 (CTOD(CTOD) )8.6.1 COD8.6.1 COD判据判据8.6.2 8.6.2 帕里斯帕里斯(Paris)(Paris)位移公式位移公式8.6.3 8.6.3 无限远处均匀应力无限远处均匀应力 产生的张开位移产生的张开位移8.6.4 8.6.4 点力对引起的张开位移点力对引起的张开位移8.6.5 8.6.5 分布力引起的张开位移分布力引起的张开位移8.6.6 D-M8.6.6
3、 D-M模型的裂纹顶端张开位移模型的裂纹顶端张开位移8.7 8.7 J J积分积分8.7.1 J8.7.1 J积分的定义积分的定义8.7.2 J8.7.2 J积分的守恒性证明积分的守恒性证明8.7.3 J8.7.3 J积分与积分与K K及及G G的关系的关系8.8 8.8 非线性区尺度非线性区尺度8.8.1 8.8.1 定义定义8.8.2 Williams8.8.2 Williams和和EwingEwing的方法和的方法和FinnieFinnie的修正。的修正。8.8.3 8.8.3 尹祥础等的结果。尹祥础等的结果。8.2 8.2 裂纹端部裂纹端部塑性区大小的估算及塑性区大小的估算及Irwin
4、Irwin修正修正 8.2.18.2.1塑性理论的塑性理论的基本概念基本概念所谓所谓理想脆性材料理想脆性材料，即材料直到断裂前其，即材料直到断裂前其应力应变应力应变关系关系一直服从一直服从虎克定律虎克定律. . 岩石介质的性质在高温高压条件下会向岩石介质的性质在高温高压条件下会向 塑性转化塑性转化 . . 另外由于另外由于岩石其本身性质的极端复杂性岩石其本身性质的极端复杂性 ( (不完整性、多相性、非弹性不完整性、多相性、非弹性及及非均匀性等），再加上环境因素（高温、高压、长时期作用、非均匀性等），再加上环境因素（高温、高压、长时期作用、化学腐蚀化学腐蚀 , , 特别是超临界流体的应力腐蚀等）
5、的影响，在一特别是超临界流体的应力腐蚀等）的影响，在一定差应力条件下，也会像金属类似表现为延性定差应力条件下，也会像金属类似表现为延性 , , 在在本构关系本构关系上与塑性的表现类似上与塑性的表现类似 . . 塑性屈服的判据主要有塑性屈服的判据主要有 MisesMises条件和条件和TrescaTresca条件条件. . 1 1、MisesMises屈服条件屈服条件MisesMises屈服条件的表达形式：屈服条件的表达形式：2. 2. TrescaTresca屈服条件屈服条件 主应力空间中，是Tresca屈服条件表示为一个正六边形柱体 在单向拉伸时 有些材料即使其宏观性质接近弹性体，但是，由于
6、裂纹端部有些材料即使其宏观性质接近弹性体，但是，由于裂纹端部的应力集中程度很高，因此势必产生或多或少的塑性变形，的应力集中程度很高，因此势必产生或多或少的塑性变形，存在着或大或小的塑性区存在着或大或小的塑性区 . . 不过由于材料性质不同，工作环不过由于材料性质不同，工作环境各异，裂纹端部塑性区的大小差别很大境各异，裂纹端部塑性区的大小差别很大 . . 如果令如果令 r rp p表示塑表示塑性性区的特征尺寸，则比值区的特征尺寸，则比值 r rp p / /a a表征着塑性区的相对大小表征着塑性区的相对大小 . . 当当r rp p / /a a 11时，称之为时，称之为 小规模屈服小规模屈服
7、. . 在这种情况下，除了裂纹端部极在这种情况下，除了裂纹端部极小的区域内产生塑性变形以外，大部分区域仍处于弹性范围小的区域内产生塑性变形以外，大部分区域仍处于弹性范围 . . 对于这种情况，我们可以在线弹性断裂力学的基础上进行适对于这种情况，我们可以在线弹性断裂力学的基础上进行适当修正当修正. . 8.2.2 8.2.2 塑性区尺寸的塑性区尺寸的一级估算一级估算估算估算裂纹端部塑性区大小裂纹端部塑性区大小的简单方法的简单方法. . 1 1、I I型裂纹型裂纹型裂纹型裂纹裂纹端部的三个主应力为：裂纹端部的三个主应力为：裂纹端部的三个主应力为：裂纹端部的三个主应力为： 设材料服从设材料服从Mis
8、esMises屈服条件屈服条件塑性区边界的极坐标形式的曲线方程塑性区边界的极坐标形式的曲线方程 (8.10+8.9) (8.10+8.9) 8.108.98.11图8.1 I型裂纹塑性区的一级估算平面应力条件下得到：平面应变条件下得到：2 2、IIII型裂纹型裂纹型裂纹型裂纹裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为代入代入(8.10)(8.10)得到得到塑性区尺寸塑性区尺寸为为r r0202为为 = 0= 0（即裂纹延长线上）时（即裂纹延长线上）时平面应力平面应力的塑性区尺寸的塑性区尺寸. . 图8.2 II型裂纹塑性区的一级估算 图8.3 II
9、I型裂纹塑性区的一级估算 3. 3. IIIIII型裂纹型裂纹型裂纹型裂纹裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为裂纹端部的三个主应力为 （联合（联合（联合（联合8.108.10，塑性区边界的方程塑性区边界的方程塑性区边界的方程塑性区边界的方程为为为为: : : :）所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为z z轴，在轴，在轴，在轴，在xoyxoy平平平平面的投影是一个圆面的投影是一个圆面的投影是一个圆面的投影是一个圆( (图图图图8.3). 8.3
10、). 和以往的参考文献看法不同，这和以往的参考文献看法不同，这和以往的参考文献看法不同，这和以往的参考文献看法不同，这个结果不分平面应变和平面应力个结果不分平面应变和平面应力个结果不分平面应变和平面应力个结果不分平面应变和平面应力. . 8.2.3 8.2.3 塑性区应力松驰的影响塑性区应力松驰的影响塑性区尺寸的塑性区尺寸的二级估算二级估算以以I I型裂纹为例进行分析型裂纹为例进行分析虚线虚线ABAB为无塑性区时裂纹端部的弹性应力场为无塑性区时裂纹端部的弹性应力场. I. I型裂纹的主要型裂纹的主要应力分量应力分量 图8.4 塑性区尺度的二级估算在rr0范围内发生塑性屈服， 对于无限远处垂直裂
11、纹面作用均布拉力的情况对于无限远处垂直裂纹面作用均布拉力的情况, , 8.2.4 8.2.4 IrwinIrwin的等效裂纹修正的等效裂纹修正塑性区特征尺寸（8.20）对于高强度钢及某些脆性材料，其对于高强度钢及某些脆性材料，其K KI IC C较小，而较小，而 y y很高，因很高，因而塑性区尺寸而塑性区尺寸a a. . 这种情况称为这种情况称为小规模屈服小规模屈服. . IrwinIrwin提出：提出：只只需在计算应力强度因子需在计算应力强度因子K K时，以等效裂纹长度时，以等效裂纹长度2 2c c代替原裂纹代替原裂纹长度长度2 2a a，则线弹性断裂力学的结论仍然有效，则线弹性断裂力学的结
12、论仍然有效. . 等效裂纹长度等效裂纹长度2 2c c选取如下：选取如下：8.3 8.3 Dugdale(DDugdale(D-M)-M)模型模型 DugdaleDugdale也认为也认为，裂纹端部产生塑性区后，可以用一个等效，裂纹端部产生塑性区后，可以用一个等效裂纹所代替，如图裂纹所代替，如图8.58.5所示所示. . 裂纹裂纹ABAB长为长为2 2a a，等效裂纹，等效裂纹ABAB的的长度为长度为2 2c c，而，而 其中其中 为塑性区尺度为塑性区尺度. . n n在塑性区内裂纹实际上没有张开，这一段内的在塑性区内裂纹实际上没有张开，这一段内的 yyyy= = y y. . 由于由于AAA
13、A、BBBB段实际并未裂开，所以等效裂纹端点段实际并未裂开，所以等效裂纹端点AA及及BB处的处的应力强度因子应力强度因子K KI I应该为零应该为零. . n n在塑性区内等效裂纹面间相互作用着均匀的拉应力在塑性区内等效裂纹面间相互作用着均匀的拉应力 y y. . y y产生的应力强度因子产生的应力强度因子KK为负值，因为它的作用是使裂纹闭为负值，因为它的作用是使裂纹闭合合. . KK的绝对值等于外载作用下的应力强度因子的绝对值等于外载作用下的应力强度因子KK. . 图8.5 Dugdale带状屈服模型塑性区的大小：塑性区的大小：将上式与式(8.20)比较可知，二者非常接近(1/0.3183,
14、 /80.3927), D-M模型得到的塑性区略大. 8.4 8.4 BarenblattBarenblatt内聚力模型内聚力模型 BarenblattBarenblatt从分析裂纹端点的应力奇异性出发从分析裂纹端点的应力奇异性出发 . . 他认为，他认为， 从 物从 物理上考虑，应力奇异性的出现是不合理的理上考虑，应力奇异性的出现是不合理的 . . 应力奇异性的出应力奇异性的出现，是人们所采用的模型的不完善所引起的，不是不可避免现，是人们所采用的模型的不完善所引起的，不是不可避免的的. . 为了消除裂纹端点的应力奇异性，他提出了如图为了消除裂纹端点的应力奇异性，他提出了如图 8.68.6所
15、示所 示的的内聚力模型内聚力模型 . . 在裂纹端部的小区域内，二裂纹面间距离很在裂纹端部的小区域内，二裂纹面间距离很近，所以二表面原子或分子间的内聚力近，所以二表面原子或分子间的内聚力 g g( (x x) )是不能忽略的是不能忽略的 . . 图8.6 Barenblatt的内聚力模型内聚力内聚力g(xg(x) )所对应的应力强度因子所对应的应力强度因子K KI I, , 为了消除应力奇异性，外载荷所产生的应力强度因子与之和为了消除应力奇异性，外载荷所产生的应力强度因子与之和（代数和）必须为零（代数和）必须为零. . 当当g g( (r r) =) = y y( (常数常数) )时，就得到时
16、，就得到DugdaleDugdale模型模型. . n nBarenblattBarenblatt还研究了裂纹端部的位移，并且得到裂纹端部结还研究了裂纹端部的位移，并且得到裂纹端部结构与应力强度因子构与应力强度因子K KI I的关系，如图的关系，如图8.78.7所示所示. . n n因此，对于处于平衡状态的裂纹，因此，对于处于平衡状态的裂纹，K KI I必须为零必须为零. . 而裂纹端而裂纹端部的构造如图部的构造如图8.7(c)8.7(c)所示，上下二裂纹面在端点处相切所示，上下二裂纹面在端点处相切. . 图图8.7 8.7 裂纹端部位移、应力及应力强度因子之间的关系裂纹端部位移、应力及应力强
17、度因子之间的关系8.5 裂纹扩展阻力R和亚临界扩展塑性条件下的断裂准则塑性条件下的断裂准则. . 1 1、能量观点能量观点 对于理想脆性体，其断裂准则为对于理想脆性体，其断裂准则为 （ ）能量释放率能量释放率G G( (以以I I型裂纹为例型裂纹为例) )则为则为所以一旦加载至所以一旦加载至G = RG = R. . 裂纹开始扩展裂纹开始扩展. . 此后，随着裂纹的扩此后，随着裂纹的扩展，展，G G不断增大，而不断增大，而R R保持不变保持不变. . 因此必然发生失稳断裂因此必然发生失稳断裂. . 用用这这样的材料进行断裂实验时，其样的材料进行断裂实验时，其P P（载荷）（载荷）a a（裂纹半
18、长）曲（裂纹半长）曲线如图线如图8.8(a)8.8(a)所示所示. . 当载荷当载荷P P小于某一临界值小于某一临界值PcPc时，裂纹不扩时，裂纹不扩展；而当展；而当P P到达到达PcPc时，裂纹即失稳扩展时，裂纹即失稳扩展. . 8.30对于通常的韧性材料（如中低碳结构钢），特别是试件厚度对于通常的韧性材料（如中低碳结构钢），特别是试件厚度很薄，成为平面应力状态时，用这样的试件进行断裂实验，很薄，成为平面应力状态时，用这样的试件进行断裂实验，其其P-aP-a曲线如图曲线如图 8.8(b)8.8(b)所示（在实际实验中，更常用的是所示（在实际实验中，更常用的是 P P8.31图8.8 不同断裂
19、类型的Pa曲线(a) (b) 随着裂纹扩展，随着裂纹扩展，a a不断增大，因而不断增大，因而K K及及G G也不断增大也不断增大 式式(8.30). (8.30). 因此，由式因此，由式(8.31(8.31）可知，在亚临界扩展阶段，阻力）可知，在亚临界扩展阶段，阻力R R必定随必定随a a不断增大，也就是说，在亚临界扩展时，不断增大，也就是说，在亚临界扩展时，R R不是常数，而是不是常数，而是a a的函数的函数. . R R随着裂纹长度增大的随着裂纹长度增大的主要原因主要原因，在于裂纹端部塑性，在于裂纹端部塑性区的尺度随着区的尺度随着a a的增加而增大的增加而增大. . 图8.9 阻力(R)曲
20、线图8.9中三条通过原点的虚线，代表不同应力水平下的能量释放率(或裂纹扩展力)G随a的变化情况.按式(8.30),它是通过原点的直线. 但是，这个公式是线弹性断裂力学的结论. 当裂纹端部产生塑性区后，严格说来，它可能不适用. 不过对于小规模屈服的情形，应该仍然近似适用. 由图中可见，当应力不够大时如图中的G( 1), G( 2), 虽然裂纹可能扩展，但只能是亚临界扩展. 因为裂纹扩展a后，G R，所以裂纹将发生失稳扩展. 裂纹失稳扩展的条件为：裂纹失稳扩展的条件为： 8.348.6 裂纹端部张开位移(CTOD) 8.6.1 COD8.6.1 COD判据判据裂纹端部张开位移裂纹端部张开位移（Cr
21、ack Tip Opening DisplacementCrack Tip Opening Displacement）简称）简称CTODCTOD，是指裂纹端部二裂纹面间张开的距离，是指裂纹端部二裂纹面间张开的距离. . 现常常叫做现常常叫做裂裂纹张开位移（纹张开位移（CODCOD），通常以符号），通常以符号 表示表示. . WellsWells提出，每种材料存在一个提出，每种材料存在一个CODCOD的的临界值临界值cc. . 当裂纹的当裂纹的CODCOD达到这一临界值时，裂纹将失稳扩展达到这一临界值时，裂纹将失稳扩展. . 所以，按照他的所以，按照他的提法，提法，裂纹断裂判据裂纹断裂判据为为采
22、 用采 用 IrwinIrwin弹塑性区交界点上裂纹面间的张开距离作为弹塑性区交界点上裂纹面间的张开距离作为CTODCTOD，以后简称，以后简称COD.COD.8.35按按IrwinIrwin的方法，引入长为的方法，引入长为2 2c c的等效裂纹后，裂纹前缘坐标的的等效裂纹后，裂纹前缘坐标的端点也从端点也从O O点（原裂纹端点）移至等效裂纹端点点（原裂纹端点）移至等效裂纹端点OO处，裂纹处，裂纹面上沿面上沿y y轴方向产生位移轴方向产生位移( (图图8.10).8.10).定义定义为为CTOD. CTOD. 由式由式(5.29)(5.29)图8.10 裂纹端部张开位移CTOD8.36令令 (
23、(平面应力平面应力) )代代入上入上式得式得由此可见，由此可见， 与与K KI I及及G GI I有非常密切的关系有非常密切的关系. . 因此，在小规模因此，在小规模屈服的条件下，下述断裂准则屈服的条件下，下述断裂准则 因此，因此，cc也和也和K KI IC C与与G GI IC C一样，是表一样，是表 征材料抗断裂能力的料常数征材料抗断裂能力的料常数. . 8.37需要注意的是需要注意的是，原裂纹端部外的屈服段落实际是没有张开位，原裂纹端部外的屈服段落实际是没有张开位移的，但在按移的，但在按IrwinIrwin的方法引入的等效裂纹后，就解除了这个的方法引入的等效裂纹后，就解除了这个位移约束，
24、该屈服区的上下表面可存在相对位移，造成位移位移约束，该屈服区的上下表面可存在相对位移，造成位移的间断的间断. . 因此这段位移是由图因此这段位移是由图8.108.10的计算模型化引起的的计算模型化引起的. . 在实在实际测试中，多在裂纹自由表面点测试张开位移，并采用如下际测试中，多在裂纹自由表面点测试张开位移，并采用如下经验性办法：扣去弹性张开位移以后裂纹自由表面各点的实经验性办法：扣去弹性张开位移以后裂纹自由表面各点的实测张开位移曲线中近似为直线部分测张开位移曲线中近似为直线部分( (弹性区部分应近似为直弹性区部分应近似为直线线) )线性外推到裂纹顶端所得到的张开位移线性外推到裂纹顶端所得到
25、的张开位移. . 8.6.2 8.6.2 帕里斯帕里斯(Paris)(Paris)位移公式位移公式如 图如 图 8.118.11所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位 1, 1, 受 力受 力 P P作作用，现在要求裂纹面上下两点用，现在要求裂纹面上下两点 D D1 1、D D2 2沿其联线方向的相对沿其联线方向的相对位移位移. . 根据卡斯提杨诺定理根据卡斯提杨诺定理 ( (见见2.10)2.10)，外力作用点沿作用力方向，外力作用点沿作用力方向的位移等于应变能对外力的偏导数，故的位移等于应变能对外力的偏导数，故 A A点 沿点 沿 P P方向的位移方向的位移
26、为为如在如在A A点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表示示A A点沿点沿P P方向的相对位移方向的相对位移. . 为了求为了求D D1 1、D D2 2点之间的相对位移，可以设想沿点之间的相对位移，可以设想沿D D1 1、D D2 2联线联线方向引入一对虚力方向引入一对虚力F F. . 这时系统应变能这时系统应变能U U就不仅和就不仅和P P、a a有关，有关，也和也和F F有关有关. . 即即图8.11 虚力对和相对位移A虚力对引起的相对位移为虚力对引起的相对位移为按上式先求出偏导数按上式先求出偏导数 ( (它 和它 和 F F有 关有
27、 关 ) )，再让虚力，再让虚力 F F趋 于趋 于零，这样就可获得没有虚力，仅是力零，这样就可获得没有虚力，仅是力 P P在在D D1 1、D D2 2间的相对位间的相对位移移. . 由由(5.111)(5.111)式，在恒载荷条件下，有式，在恒载荷条件下，有 ，积分得，积分得用用K KI IP P、K KI IF F分别代表力分别代表力P P和力和力F F所提供的应力强度因子所提供的应力强度因子. . 则总则总的应力强度因子是二者之和，即的应力强度因子是二者之和，即K KI I=K=KI IP P+K+KI IF F 8.398.40因为因为 ， 故在故在F F00的极限过程中的极限过程中
28、K KIFIF=0. =0. 上式上式变为变为这就是这就是 帕帕里里斯斯帕帕里里斯斯 ( (PariesParies) )位位移移公公式式位位移移公公式式 . . 其中第一项是无裂纹时其中第一项是无裂纹时 , , D D1 1、D D2 2点在力点在力 P P作用下沿其联线方向的相对位移作用下沿其联线方向的相对位移 . . 如如D D1 1、D D2 2点 是点 是裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时，裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时， D D1 1、D D2 2点重合，没点重合，没有相对位移，有相对位移， 8.41即即 ，这时，这时注意：注意： 在应用这个位移公式时，力在应用这个位移公式时，力
29、P P以 及以 及 D D1 1、D D2 2点的位置是点的位置是不变的不变的 . . 裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当裂纹裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当裂纹长度不断增大的过程长度不断增大的过程. . 应用上述得到的结果求解不同例子：应用上述得到的结果求解不同例子：8.6.3 8.6.3 无限远处均匀应力无限远处均匀应力 产生的张开位移产生的张开位移8.42图8.12 中心贯穿裂纹，受均匀拉应力如 图如 图 8.128.12，无限大板中心贯穿裂纹，长，无限大板中心贯穿裂纹，长 2 2c c，在无限远处作用，在无限远处作用着均匀的拉应力着均匀的拉应力 s s. . 求距离裂纹中
30、心为处的裂纹张开位移求距离裂纹中心为处的裂纹张开位移 ( (即即D D1 1、D D2 2点相对位移点相对位移 1). 1). 为 此 在为 此 在 D D1 1、D D2 2处各引入一对虚力处各引入一对虚力F F，根据，根据 (5.87)(5.87)式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子为为无限远处均匀应力在裂纹前端产生的应力场强度因子无限远处均匀应力在裂纹前端产生的应力场强度因子为为 ， 对长为对长为22的瞬时裂纹，的瞬时裂纹，用代替c，就得 由由(8.42)(8.42)式式因为当裂纹瞬时长度因为当裂纹瞬时长度xxbx. . 这 时 当这 时 当 bb
31、时，外力对时，外力对 -P-P不作用在裂纹面上，互相抵消，不作用在裂纹面上，互相抵消， K KI P I P=0=0，故积，故积分下限应为分下限应为b b. . 即即由于由于xx时时K KIFIF没有贡献，没有贡献，xbxb时时K KIPIP没有贡献，故没有贡献，故 , , 即即 8.6.5 8.6.5 分布力引起的张开位移分布力引起的张开位移图8.15 受分布力作用的中心贯穿裂纹8.6.6 D-M模型的裂纹顶端张开位移8.5.D-M模型 故裂纹顶端张开位移（即故裂纹顶端张开位移（即CODCOD） 为为由于由于D-MD-M模型对薄板较合适，故是平面应力状态，上式中的模型对薄板较合适，故是平面应
32、力状态，上式中的EE就是就是E E. . 即即按照上述按照上述CTODCTOD的定义，显然它只适用于的定义，显然它只适用于I I型裂纹型裂纹. . 但经过修但经过修正后，这一方法也能用之于正后，这一方法也能用之于II II、IIIIII型裂纹型裂纹. . 这时的定义应分这时的定义应分别别为：为：这时的这时的 应该称之为裂纹端部滑开位移应该称之为裂纹端部滑开位移(II(II型型) )及裂纹端部撕及裂纹端部撕开开位移位移(III(III型型). ). 8.7 J积分 8.7.1 8.7.1 J J积分的定义积分的定义其中其中WW为应变能密度：为应变能密度： 是积分回路，是从裂纹下表面上一点起，沿逆
33、时针方向，是积分回路，是从裂纹下表面上一点起，沿逆时针方向，绕过裂纹端点，止于裂纹上表面上一点的任一光滑曲线，如绕过裂纹端点，止于裂纹上表面上一点的任一光滑曲线，如图图8.168.16所示所示. . 8.618.7.2 8.7.2 J J积分的守恒性积分的守恒性J J积分的守恒性，即积分的守恒性，即J J积分与所选路径积分与所选路径 无关无关. . J J积分的守恒性积分的守恒性是是J J积分可能成为一个有意义的物理量的前提积分可能成为一个有意义的物理量的前提. . 8.7.3 8.7.3 J J积分与积分与K K及及G G的关系的关系物理意义？在线弹性条件下，非线弹性及弹塑性加载条件下，在线弹性条件下，非线弹性及弹塑性加载条件下，J J积分代积分代表着能量释放率表着能量释放率. . 图8.16 定义J积分用的简图8.8 8.8 非线性区尺度非线性区尺度
