《第2章水动力弥散方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章水动力弥散方程（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2-1 水动力弥散方程的有关参数2-1-1 流体的密度（）所谓的流体密度 表示，量纲ML-3。多组分流体的密度实际上对于非均质的多组分流体而言，其密度是随着组成它的各种组分的浓度不同而变化的。假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为 ，取该液体中一体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中组分的质量为dm则 组分的质量密度：若将所有N种组分的质量密度进行求和：就等于该溶体的体系密度。某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓度。浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。2-1-2 多组分流体的流速组分的质点流速是指在dv内组分的各个分子的统计平均速度，也就是各个分子的速
2、度之和除以分子的个数。对每种多组分流体来看溶液中各种组分的速度是不相等的。流体体系的质点流速:流体体系中各组分的质量平均速度一般情况下， 组分的质点流速 与流体体系的质量平均流速 是不相等的，两者存在一个偏差：称为组分质点相对于质量平均速度 的扩散速度。2-1-3 流体的通量流体的流体的质质量通量量通量 ：流体在：流体在单单位位时间时间内通内通过单过单位面位面积积的流体的的流体的质质量量组组分的分的质质量通量量通量 单单位位时间时间内通内通过过与流体方向垂直的与流体方向垂直的单单位位面面积积上的上的组组分的分的质质量。量。组组分相分相对对与溶体与溶体质质量平均流速量平均流速 的的质质量量扩扩散
3、通量散通量 ：对对流体体系来流体体系来说说，显显然有：然有：这这是因是因为为2-2 溶液中组分的质量守恒方程（连续介质） 在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面，边长分别为 x、y、 z，质量守恒原理:在时间t内，组分在这个单元体中的净流出（或流出）量（暂不考虑起内部有质量产生和消失），应等于这个单元中组分的质量变化用方程的形式可表示为：质量守恒方程（连续介质）设设 分分别别表表示示组组分密度、分密度、x,y,z方向的速方向的速度分量。度分量。其中：其中： 经过经过t时间时间后，后，质质量均衡体中量均衡体中 的
4、的变变化量。化量。将上式左右两端同除以将上式左右两端同除以 得：得：再再对对方程两端取极限，即令方程两端取极限，即令即有：即有：即即若微小的若微小的质质量均衡体内存在着量均衡体内存在着组组分的源分的源汇项汇项，则则上式可改写上式可改写为为：多多组组分流体体系中分流体体系中组组分分的的质质量守恒方程量守恒方程 多多组组分分组组成的流体中，成的流体中，单位体积流体在单单位位时间时间内，由于化内，由于化学反学反应应或其它原因所或其它原因所产产生（或消失）的生（或消失）的组组分的分的质质量。量。 上述上述质质量守恒方程中，至少包括量守恒方程中，至少包括 4个未知个未知变变量量 有有时时可以独立可以独立
5、给给出（如抽、注、示踪出（如抽、注、示踪剂剂的速率），但有的速率），但有时时也与也与 有关，如吸附作用、溶解作用，不能有关，如吸附作用、溶解作用，不能简单简单的的 给给定，因此上定，因此上述方程不能述方程不能单单独求解，独求解，还还必必须须引入通量与引入通量与驱动驱动力之力之间间的关系式，即的关系式，即质质量通量与量通量与组组分密度分密度间间的关系。的关系。 在多在多组组分分组组成的溶体体系中，一种成的溶体体系中，一种组组分的运移受两个因素的分的运移受两个因素的驱动驱动：2-3 组分的对流扩散方程（连续介质）一是受流体的流一是受流体的流动动的控制，即的控制，即该组该组分按平均流速随分按平均流速
6、随这这个流体体系个流体体系的运移，的运移， 即即对对流流；二是二是该组该组分的自身分子分的自身分子扩扩散，即由散，即由浓浓度梯度引起的相度梯度引起的相对对于平均流速于平均流速运移的分子运移的分子扩扩散。散。下面在下面在组组分分质质量守恒方程基量守恒方程基础础上建立上建立组组分的分的对对流流扩扩散方程：散方程：引入引入组组分的分的质质量量扩扩散通量散通量 则则上式可写成：上式可写成： 是是组组分的分的质质量通量量通量 的的对对流分量。流分量。 是是组组分的分的质质量通量量通量 的的扩扩散分量。散分量。 对对于上有溶于上有溶质质、溶、溶剂剂两种两种组组分构成的二元体系，分构成的二元体系，组组分在等
7、温条分在等温条件（忽略件（忽略热扩热扩散）相散）相对对于于质质量平均速度量平均速度 的的扩扩散通量散通量 可依可依Fick定律得出：定律得出： 表示溶表示溶质质的分子的分子扩扩散系数：散系数：二元体系中二元体系中组组分的分的对对流流扩扩散方程散方程 对对于低于低浓浓度溶液，度溶液，浓浓度度C的改的改变变并不明并不明显显地影响地影响 ，于是，于是 可可视为视为常量，常量， 也可也可视为视为常数。常数。则则：稀稀释释的二元体系中的二元体系中组组分的分的对对流流扩扩散方程散方程 将上述对流扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可用来解决流动的地表水中组分的分布及变化规律（例如地表水体中污染物质的迁
8、移）。应用条件：1、二元体系；、二元体系；2、等温条件；、等温条件；3、低、低浓浓度；度；因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介质中所发生的现象。方程中微观变量C、 ，都是相对于流体的质点而言的，而实际工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。2-4 多孔介质中水动力弥散方程 上述对流扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架作为问题的边界。 将速度将速度 和和浓浓度度 在典型在典型单单元体的空隙体元体的空隙体积积 上取上取平均平均 值值 和和 ：速度速度 和和浓浓度
9、度 可分可分别别用平均用平均值值 、 和偏差和偏差 、 之之和来表示：和来表示：显显然然于是于是连续连续性水性水动动力方程可以写成：力方程可以写成：注意到：注意到：在典型在典型单单元体上的液相体元体上的液相体积积中取平均中取平均值值，得，得并且：梯度的平均等于平均的梯度；散度的平均等于平均的散度；并且：梯度的平均等于平均的梯度；散度的平均等于平均的散度；对时间导对时间导数的平均数的平均值值等于平均等于平均对时间对时间求求导导。可得：。可得：展开，得展开，得 在溶液在溶液连续连续体中的分子体中的分子扩扩散系数散系数 在多孔介在多孔介质质典型典型单单元元体的空隙体体的空隙体积积上取平均之后上取平均
10、之后变为变为多孔介多孔介质质的分子的分子扩扩散系数散系数它是一个它是一个张张量，一般量，一般讲讲，他在数，他在数值值上要小于上要小于 。在平均在平均过过程中而引入的宏程中而引入的宏观观水平上的附加水平上的附加变变量量为为 机械弥散机械弥散变变量，它是由于速度偏差量，它是由于速度偏差 而而产产生的弥散生的弥散通量。如果不存在速度偏差通量。如果不存在速度偏差 ，并忽略分子，并忽略分子扩扩散，散，则则溶溶质质呈呈现现“活塞式推活塞式推进进”或迁移。或迁移。 机械弥散系数（机械弥散系数（张张量）量） 实验实验表明：机械弥散通量表明：机械弥散通量类类似介似介质质中的分子中的分子扩扩散通量，也服从散通量，
11、也服从于于类类似似FickFick扩扩散定律的形式：散定律的形式：水水动动力弥散系数力弥散系数上式称上式称为为水水动动力弥散方程。力弥散方程。水动力弥散通量多孔介质的分子扩散系数机械弥散系数水水动动力弥散系数力弥散系数记则建立水建立水动动力弥散方程，我力弥散方程，我们们涉及了涉及了3 3个水平，即分子水平、微个水平，即分子水平、微观观水水平和宏平和宏观观水平。地下水水平。地下水动动力学中，一般力学中，一般仅仅涉及宏涉及宏观观水平。但水平。但对对于弥于弥散散问题问题，必，必须须涉及到此涉及到此3 3个水平。个水平。这这是因是因为为：不：不讲讲分子水平，就无分子水平，就无法理解分子法理解分子扩扩散
12、、不散、不讲讲微微观观水平，就搞不清机械弥散；水平，就搞不清机械弥散；但但为为了解决了解决问题问题，我，我们们最最终终不得不上升到宏不得不上升到宏观观水平上来。水平上来。 习惯上去掉“”，水动力弥散方程即表示为：写成微分的形式： I多多组组分分组组成的流体中，成的流体中，单位体积流体在单单位位时间时间内，由于化内，由于化学反学反应应或其它原因所或其它原因所产产生（或消失）的某生（或消失）的某组组分的分的质质量。量。展开：展开：对于一维流动二维水动力弥散：对于一维流动一维水动力弥散：2-5 源汇项源源汇项汇项 系指在系指在单单位位时间时间内、内、单单位液相体位液相体积积中由于化学反中由于化学反应
13、应、生、生物化学作用或抽注水等物化学作用或抽注水等产产生减少生减少组组分的分的质质量。量。2-5-1 放射性密度与化学、生物化学反放射性密度与化学、生物化学反应应设设其其变变化化规规律律为为：即：衰变速率与当时浓度成正比 若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。2-5-2 吸附与解吸 吸附与解吸：在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表面产生吸附、解吸等物理化学作用。 这些作用的结果应该综合到源汇项中：如果固相表面吸附示踪剂，称为吸附，视为汇；否则，称为解吸，视为源。溶解相与吸附之溶解相与吸附之间间的吸附解析作用的吸
14、附解析作用往往是一个可逆的过程：多孔介多孔介质质孔隙度孔隙度固体骨固体骨架体架体积积溶解相溶解相A A的密度的密度吸附相吸附相的密度的密度对对于于饱饱水多孔介水多孔介质质 n= =常数常数（孔隙率），（孔隙率），则则则则在体在体积为积为1 1的含水的含水层层中，如果体系中某种溶中，如果体系中某种溶质质的吸附的吸附- -解吸解吸为为平衡，平衡，则则有有 I 表示单位时间内在单位液相体积由于这些作用增加或减少的示踪剂的质量。 （i）对对于非均衡吸附作用：于非均衡吸附作用： 吸附作用常数吸附作用常数解析作用常数解析作用常数 （ii）对对于均衡吸附作用：于均衡吸附作用：平衡常数平衡常数令则则上式可以写
15、上式可以写为为：该方程形式上也不再含有源汇项。只是用只是用 去除以水去除以水动动力弥散系数力弥散系数 和流速和流速 ，由于，由于 ，因因此吸附作用此吸附作用产产生的后果，相生的后果，相对对于于 和和 均减小均减小 ，起到减，起到减缓缓弥散的作用。所以把弥散的作用。所以把 称称为为：减：减缓缓因子。因子。将其代入将其代入对对流流弥散方程中整理得到：弥散方程中整理得到：2-5-3 抽水与注水抽水与注水 如果有抽水或注水井，含水如果有抽水或注水井，含水层层中示踪中示踪剂剂的的质质量就会量就会发发生生变变化：化：（i）当抽水）当抽水时时：若假若假设单设单位位时间时间内从内从单单位体位体积积含水含水层层
16、中的抽水量中的抽水量为为W。则则孔隙率孔隙率为为抽水点抽水点处处的溶的溶质浓质浓度度表示失去的溶表示失去的溶质质则则，水，水动动力弥散方程可写力弥散方程可写为为：（ii）单单位位时间时间内向内向单单位体位体积积含水含水层层中注入含有示踪中注入含有示踪剂剂的水（示踪的水（示踪剂浓剂浓度度C0）水水动动力弥散方程力弥散方程为为：或或 若含水量若含水量不等于常数（不等于常数（饱饱气气带带）。）。（iii）含水）含水层层中注入中注入浓浓度度C0的放射性示踪的放射性示踪剂剂，该该示踪示踪剂剂又与固体又与固体颗颗粒粒发发生均衡吸附作用，此生均衡吸附作用，此时时的水的水动动力弥散方程可表示力弥散方程可表示为
17、为：则则：研究非研究非饱饱和和带带中的溶中的溶质质运移运移非饱和水动力弥散方程。2-6 初始条件与边界条件水动力弥散方程揭示了溶质在地下水中运移的一般规律，对于一个具体问题，我们必须知道其初始的状态，以及边界条件，才能达到地下水中溶质的空间分布规律及其随时间的变化。2-6-1 初始条件初始条件 描述综合初始时刻，研究区D内各点（x,y,z)处的浓度分布状态的条件（数学表达式） 初始条件如初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时刻研究区各点的浓度即可。 例如：t=0时向某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C(x,y,z)=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注
18、入前浓度分布视为初始状态。设计地下污水治理方案时，可将现状污染物分布视为初始条件。2-6-2 边界条件 边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情况。主要有以下三类情况 1、第一类边界条件：给定浓度边界，即已知边界上的浓度分布。 为B B1上的已知函数为研究区D的第一类边界 2、第二类边界条件 给定弥散通量边界 指已知边界弥散通量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann边界条件，水动力弥散系数为研究区上的第二类边界为边界B2上某点（x，y，z）处的外法线方向上的单位向量已知函数，定义在B2上。 3、第三类边界条件 给定溶质通量边界
19、 指已知边界上溶质通量随时间变化规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。孔隙平均流速已知函数为研究区上的第三类边界数学模型：描述数学模型：描述实际问题实际问题的函数或数学方程。的函数或数学方程。地下水溶地下水溶质质运移数学模型：微分方程运移数学模型：微分方程+初始条件初始条件+边边界条件。界条件。一般可以写成：一般可以写成：2-7 数学模型例例1 1： 无限无限长长多孔介多孔介质质柱体，初始示踪柱体，初始示踪剂剂呈呈阶阶梯函数分布梯函数分布 设设有有一一无无限限长长均均质质砂砂柱柱，以以速速度度u做做稳稳定定流流动动，且且初初始始浓浓度度呈呈阶阶梯状分布（梯状分布（图图48）。）。解解：
20、该该问问题题属属于于一一维维稳稳定定流流动动一一维维水水动动力力弥弥散散问问题题，取取坐坐标标系系如如图图4-8，则则数学模型可写成数学模型可写成例例2 2： 半无限半无限长长多孔介多孔介质质柱体，一端柱体，一端为为定定浓浓度度边边界界 设设有有一一半半无无限限长长均均质质砂砂柱柱，一一维维稳稳定定流流动动，孔孔隙隙平平均均流流速速为为u，其一端其一端为为定定浓浓度度边边界，求其界，求其浓浓度分布。度分布。 解：取坐解：取坐标标系如系如图图410所示。所示。该问题该问题的数学模型可描述如下的数学模型可描述如下 例3： 一维稳定流动二维水动力弥散问题 在均在均质质各向同性、等厚的承各向同性、等厚
21、的承压压含水含水层层中存在着一中存在着一维稳维稳定流定流动动，孔隙平均流速，孔隙平均流速为为u，取，取x坐坐标轴标轴平行地下水流向（平行地下水流向（图图411）。）。这时这时，对对于水于水动动力弥散系数而言却是均力弥散系数而言却是均质质各向异性的，在各向异性的，在x方向方向为纵为纵向弥散系数向弥散系数DL，而在，而在y方向方向为为横向弥散系数横向弥散系数DT。 习题： 1.设计Fick试验仪，验证Fick定律，计算多孔介质分子扩散系数及水动力弥散系数。2.写出一维砂柱溶质运移数学模型 例一、如下图多孔介质A的边界外为另一种介质B则在A-B的边界上，溶质通量应该保持n为为孔隙率孔隙率例二、如右图
22、多孔介质为无孔隙介质，则通过该边界的流量和溶质的质量都为0。例三、多孔介质外围为Cr的河水。若忽略分子若忽略分子扩扩散：散：当是湖泊，水流静止：当是湖泊，水流静止：例四、多求介质边界为空气，此时两侧的浓度相等：浓度不变，变化率为0。方向方向导导数：数：梯度：梯度：定定义义：若在数量：若在数量场场中的一点中的一点M处处，存在，存在这样这样的矢量的矢量G，其方，其方向向为为函数函数u(M)在点在点M处变处变化率最大的方向，其模也正好是化率最大的方向，其模也正好是这这个最大个最大变变化率的数位，化率的数位，则则称矢量称矢量G为为函数函数u(M)在函数在函数u(M)在点在点M处处的梯度，的梯度，记记作
23、作方向方向导导数解决了函数数解决了函数u(M)u(M)在在给给定点定点处处沿某个方向的沿某个方向的变变化率化率问题问题梯度梯度试图试图指出函数指出函数u(M)u(M)沿那个方向的沿那个方向的变变化率最大，最大化率最大，最大变变化率是多少化率是多少 梯度与方向梯度与方向导导数的关系：数的关系：梯度的两个重要性梯度的两个重要性质质：（1）方向）方向导导数等于梯度在数等于梯度在该该方向上的投影。方向上的投影。G G在在l l方向上的投影正好等于函数方向上的投影正好等于函数u(M)u(M)在在该该方向上的方向方向上的方向导导数。因此数。因此当当l l方向与梯度方向一致方向与梯度方向一致时时，方向，方向
24、导导数取得最大数取得最大值值；当当l l方向与梯度方向垂直方向与梯度方向垂直时时，方向，方向导导数数0 0；当当l l方向与梯度方向相反方向与梯度方向相反时时，方向，方向导导数数-1-1；（2）数量）数量场场中每一点中每一点M处处的梯度，垂直于的梯度，垂直于过该过该点的等点的等值值面，面，且指向函数且指向函数u(M)增大的方向。增大的方向。梯度的另一个定梯度的另一个定义义：数量数量场场u=u(x,y,z)在点在点M(x,y,z)处处的梯度是矢量的梯度是矢量散度：散度：设设有矢量有矢量场场A(M)，于，于场场中一点中一点M处处作一包含点作一包含点M在内的任一在内的任一闭闭曲面曲面S，设设其所包其所包围围的空的空间间域域为为 ，以，以V表其体积，以 表从其内穿出表从其内穿出S的通量，若当的通量，若当 以任意方式以任意方式缩缩向点向点M时时，比，比值值矢量矢量场场的散度的散度实际实际上是通量相上是通量相对对于体于体积积的的变变化率。化率。之极限存在，之极限存在，则则称此极限称此极限为为矢量矢量场场A(M)在点在点M处处的散度，的散度，记为记为divA旋度：旋度：
