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1、8/1/20242下下下下回回回回停停停停第一节第一节 随机事件的概念随机事件的概念一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用三、三、随机试验随机试验五、五、随机事件的概念随机事件的概念二、二、随机现象随机现象 四、四、样本空间样本空间 样本点样本点一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生干局，谁先赢干局，谁先赢 s 局就算赢局就算赢, 当赌徒当赌徒A赢赢a局局(a s), 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支概率论是一门研究随机现象规律的数学分支.起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需整理和研
2、究大量的随机数据资保险等范畴中，需整理和研究大量的随机数据资料料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题的问题，却是来自赌博者的问题 . 数学家费马向数学家费马向帕斯卡提出下列的问题：帕斯卡提出下列的问题： “有两个赌徒相约赌若有两个赌徒相约赌若了古典概率论的基础了古典概率论的基础.而赌徒而赌徒B赢赢b局局(b s)时时, 赌博中止赌博中止, 那赌本如何那赌本如何分才合理分才合理?” 于是他们从不同的理由出发于是他们从不同的理由出发,都给都给
3、出出了正确的解法了正确的解法，而在三年后而在三年后,荷兰的数学家惠根荷兰的数学家惠根斯斯(1629-1695)亦用自己的方法解决了这一问题亦用自己的方法解决了这一问题, 更更写成了写成了论赌博中的计算论赌博中的计算一书一书, 此即概率论最此即概率论最早的论著早的论著, 在他们三人提出的解法中在他们三人提出的解法中, 首先都涉首先都涉及及了了数学期望数学期望(mathematical expectation)这一概念，这一概念，并由此奠定并由此奠定2. 概率论的应用概率论的应用 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域
4、大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域.许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的论、控制论等，都是以概率论作为基础的. 在一定条件下可以准确预言结果的现象称为在一定条件下可以准确预言结果的现象称为确定性现象确定性现象. .也称为必然现象也称为必然现象. “在一个标准大气压下在一个标准大气压下100度的水必定沸腾度的水必定沸腾 ”;1.确定性现象确定性现象 “恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然 作匀速直线运动作匀速直线运动”;“没有外力作用下，没有外力作用下，向上抛一
5、颗石子必然下落向上抛一颗石子必然下落 ”;实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: :确定性现象确定性现象, ,随机现象随机现象.二、随机现象二、随机现象二、随机现象二、随机现象 在基本条件完全相同的条件下，可能发生在基本条件完全相同的条件下，可能发生也可能不发生的也可能不发生的现象现象称为称为随机现象随机现象.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.结果
6、有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.结果有可能为结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.实例实例2 “在相同条件下生产同一种零件，观察在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸它们的尺寸”.结果结果: “它们的尺寸总会有一点差异它们的尺寸总会有一点差异 ”.实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇
7、上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可短可长可短. 个别随机现象个别随机现象： 原则上不能在相同条件下重原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例6）.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.3. 随机现象的分类随机现象的分类 大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现 （例（例1-5）. 2随机现象从表面上看，似乎杂乱无章随机现象从表面上看，似乎杂乱无章, 没没有规律有规律.但实践证明但实践证明, 如果同类的随机现象大量如果同类的随机现象大量重重复出现复
8、出现, 它的总体就呈现出一定的规律性它的总体就呈现出一定的规律性.注注 1随机现象随机现象揭示了条件和结果之间的揭示了条件和结果之间的非确非确定性定性联系联系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 这种规律性随着我们观察的次数的增多而这种规律性随着我们观察的次数的增多而愈加明显愈加明显.这种由大量同类随机现象所呈现出来这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性叫做的集体规律性叫做统计规律性统计规律性.概率论和数理统概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科计就是研究这种统计规律性的数学学科. 1. 允许在相同的条件下重复地进行允许在相同的条件下重复地进行; 2
9、. 每次试验的结果具有随机性，即结果每次试验的结果具有随机性，即结果会会2.定义定义 在概率论中在概率论中, 把具有以下把具有以下两个特征两个特征的试验的试验称为称为随机试验随机试验.三、随机试验三、随机试验三、随机试验三、随机试验1.问题的提出问题的提出 如何来研究随机现象如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果出现，出现，但能事先明确试验的所有可能结果但能事先明确试验的所有可能结果.注注注注 1 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的是一个广泛的术语术语.它它
10、包括各种各样的科学实验包括各种各样的科学实验, 也包括对客也包括对客观事物行的观事物行的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析分析分析 2随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以试验可以在相同的条件下重复地进行在相同的条件下重复地进行;(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面，正面，反面反面; ;进行一次进行一次试验之前不能确定试验之前不能确定哪一个结果会出现哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的
11、点数观察出现的点数”. 2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 1. 问题的提出问题的提出2. 定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集的所有可能结果组成的集合称为合称为 E 的样本空间的样本空间, 记为记为 . 样本空间的元素样本空
12、间的元素 , 即试验即试验E 的每一个的每一个(最简最简单的不能再分解的单的不能再分解的)可能可能结果结果, 称为样本点，称为样本点， 记记作作 .四、样本空间四、样本空间四、样本空间四、样本空间 样本点样本点样本点样本点 随机试验的结果怎么去表述？随机试验的结果怎么去表述？ 现代集合论为表述随机试验提供了一个方现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具便的工具.例例例例1 1 1)观将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛N次次, ,观察正面出现的次数观察正面出现的次数.写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间. 2) 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.3)从一批产
13、品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录记录4) 出现正品与次品的情况出现正品与次品的情况.4) 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.5) 考察某地区考察某地区 12月份的平均月份的平均 气温气温.6) 从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命测试其寿命. 2 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同, 则对应的则对应的 样本空样本空 间也不同间也不同.如：如： 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面若观察正面 H、反面反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间为则样本空
14、间为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间则样本空间为为注注 1 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同. 3建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现象事实上就是建立随机现象的数学模型的数学模型.因此因此 , 一个样本空间可以概括许多一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题内容大不相同的实际问题.如：如： 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间,它既它既可以作为抛掷硬币出现可以作为抛掷硬币出现 正面正面 或出现或出现 反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能
15、用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等. 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. 随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集的子集称为称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.2. 2.
16、基本概念基本概念基本概念基本概念五、随机事件的概念五、随机事件的概念五、随机事件的概念五、随机事件的概念 如何描述满足某些条件的样本点如何描述满足某些条件的样本点?在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现是否会出现. 这就是这就是随机事件随机事件.1. 1. 问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出如：如： 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.(3) 必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.如：如： “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”.(
17、1) 基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.(2) 复合事件复合事件 由若干个样本点组成的点集由若干个样本点组成的点集.如：如： “点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” .3. 随机事件的分类随机事件的分类4. 4. 几点说明几点说明几点说明几点说明1随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母A, B, C, 来表示事件来表示事件.例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”,如：如： 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事就
18、是不可能事件件.(4) 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件, , 不可能事件不可能事件的对立面是必然事件的对立面是必然事件, ,它们互称为对立事件它们互称为对立事件.2随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件不可能事件不可能事件随随机机事事件件基
19、本事件基本事件 必然事件必然事件复合事件复合事件互为对立事件互为对立事件内容小结内容小结内容小结内容小结随机现象的特征随机现象的特征:1.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.随随机机试试验验 3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系. (1) 允许在相同的条件下重复地进允许在相同的条件下重复地进行行; (2) 每次试验的结果具有随机性，即结果每次试验的结果具有随机性，即结果会会不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果出现，但能事先明确试验的所有可能结果出现，但能事先明确试验的所有可能结果.答案答案: :例例1-1 写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百设以百 分制记分分制记分).2) 生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品的记录生产产品的总总 件数件数.备用题备用题备用题备用题
